Σχετικές Θέσεις Κύκλου και Ευθείας — Εφαπτόμενα Τμήματα 📐⚪

Ας εξερευνήσουμε τη σχέση μεταξύ μιας ευθείας γραμμής και ενός κύκλου!

Σχετικές Θέσεις Ευθείας και Κύκλου

Θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R, δηλαδή τον (Ο, R), και μια ευθεία ε. Η θέση της ευθείας ως προς τον κύκλο εξαρτάται από ένα και μόνο μέγεθος: την απόσταση $δ$ του κέντρου Ο από την ευθεία ε, δηλαδή το μήκος της καθέτου ΟΑ που φέρνουμε από το Ο προς την ε. Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να συγκρίνουμε την απόσταση $δ$ με την ακτίνα $R$.

1. Όταν $δ > R$ — η ευθεία είναι εξωτερική 📏

Η ευθεία ε βρίσκεται εξ ολοκλήρου έξω από τον κύκλο. Το ίχνος Α της καθέτου είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού $OA = δ > R$. Κάθε άλλο σημείο Μ της ευθείας είναι επίσης εξωτερικό, γιατί η κάθετη είναι μικρότερη από κάθε πλάγια, οπότε $OM > OA > R$.

Επομένως η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και η ευθεία ονομάζεται εξωτερική του κύκλου.

2. Όταν $δ = R$ — η ευθεία είναι εφαπτομένη 🤝

Η ευθεία ε έχει ένα ακριβώς κοινό σημείο με τον κύκλο: το ίχνος Α, αφού $OA = δ = R$. Κάθε άλλο σημείο Μ της ευθείας είναι εξωτερικό του κύκλου, αφού $OM > OA = R$.

• Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής.
• Η ευθεία ονομάζεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α.
• Η ακτίνα ΟΑ που καταλήγει στο σημείο επαφής Α είναι κάθετη στην εφαπτομένη ε. 🚦
• Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική. ✨

3. Όταν $δ < R$ — η ευθεία είναι τέμνουσα ✂️

Τώρα το ίχνος Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, αφού $OA = δ < R$. Πάνω στην ευθεία όμως υπάρχουν και σημεία Μ που είναι εξωτερικά του κύκλου (όσο απομακρυνόμαστε από το Α, η απόσταση ΟΜ μεγαλώνει, ώστε τελικά $OM > R$). Ανάμεσα λοιπόν στο εσωτερικό σημείο Α και σε ένα εξωτερικό σημείο Μ, η ευθεία συναντά τον κύκλο σε ένα σημείο Β. Το ίδιο συμβαίνει και στην αντίθετη ημιευθεία, όπου προκύπτει ένα δεύτερο σημείο Β'.

Άρα η ευθεία έχει δύο διαφορετικά κοινά σημεία Β και Β' με τον κύκλο και ονομάζεται τέμνουσα του κύκλου.

Ανακεφαλαίωση: 📝

Εφαπτόμενα Τμήματα 🤏

Τι συμβαίνει όταν έχουμε ένα σημείο Ρ έξω από έναν κύκλο (Ο, R);

• Από το σημείο Ρ μπορούμε να φέρουμε δύο εφαπτόμενες προς τον κύκλο, που τον αγγίζουν στα σημεία επαφής Α και Β.
• Τα ευθύγραμμα τμήματα ΡΑ και ΡΒ ονομάζονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου από το σημείο Ρ.

Θεώρημα 🏛️

Τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται (σχεδιάζονται) από ένα εξωτερικό σημείο Ρ προς έναν κύκλο είναι ίσα μεταξύ τους, δηλαδή $PA = PB$.

Απόδειξη. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ. Έχουν:

• $\hat{A} = \hat{B} = 90^\circ$, γιατί η ακτίνα είναι κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής ✅
• ΟΡ κοινή υποτείνουσα ✅
• $OA = OB = R$, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου ✅

Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα τρίγωνα, με βάση το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων «υποτείνουσα – κάθετη πλευρά». Επομένως οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ίσες, δηλαδή $PA = PB$. 🎉

Πόρισμα 💡

Αν Ρ είναι εξωτερικό σημείο ενός κύκλου (Ο, R) και ΡΑ, ΡΒ τα εφαπτόμενα τμήματα, τότε η διακεντρική ευθεία ΡΟ:

1. Είναι μεσοκάθετος της χορδής ΑΒ που ενώνει τα σημεία επαφής — δηλαδή είναι κάθετη στο ΑΒ και περνά από το μέσο του.
2. Διχοτομεί τη γωνία $\hat{APB}$ των εφαπτόμενων τμημάτων, δηλαδή $\hat{APO} = \hat{BPO}$.
3. Διχοτομεί τη γωνία $\hat{AOB}$ των ακτίνων που καταλήγουν στα σημεία επαφής, δηλαδή $\hat{AOP} = \hat{BOP}$.

Και τα τρία προκύπτουν από την ισότητα των τριγώνων ΑΟΡ και ΒΟΡ: από αυτήν παίρνουμε τις ίσες γωνίες, ενώ η μεσοκάθετος προκύπτει επειδή τα σημεία Ρ και Ο ισαπέχουν και τα δύο από τα Α και Β ($PA = PB$ και $OA = OB$).