Κάθετες και Πλάγιες 📐

Ας εξερευνήσουμε τις έννοιες της κάθετης και της πλάγιας ευθείας από ένα σημείο προς μια ευθεία!

Έστω μια ευθεία $ε$ και ένα σημείο $Σ$ εκτός αυτής. 🗺️
Από το $Σ$ φέρνουμε την κάθετο $ΣΚ$ προς την ευθεία $ε$ . Το σημείο $Κ$ λέγεται ίχνος της καθέτου πάνω στην $ε$ .

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα $ΣΒ$ που ενώνει το $Σ$ με ένα σημείο $Β$ της $ε$ , διαφορετικό του $Κ$ , λέγεται πλάγια ευθεία ή πλάγιο τμήμα. Το σημείο $Β$ λέγεται ίχνος της πλάγιας $ΣΒ$ πάνω στην $ε$ .

Το μήκος του κάθετου τμήματος $ΣΚ$ λέγεται απόσταση του σημείου $Σ$ από την ευθεία $ε$ . 📏

Η απόσταση είναι το κάθετο τμήμα — όχι όποιο τμήμα να 'ναι

Όταν λέμε «απόσταση του $Σ$ από την $ε$ » εννοούμε μόνο το μήκος $ΣΚ$ της καθέτου. Ένα πλάγιο τμήμα $ΣΒ$ ενώνει επίσης το $Σ$ με την $ε$ , αλλά δεν είναι η απόστασή του από αυτήν.

Θεώρημα Ι 🏛️

Αν δύο πλάγια τμήματα που ξεκινούν από το ίδιο σημείο $Σ$ είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους $Β$ και $Γ$ πάνω στην ευθεία $ε$ απέχουν εξίσου από το ίχνος $Κ$ της καθέτου, και αντίστροφα.

Δηλαδή:

Αν $ΣΒ = ΣΓ$ , τότε $ΚΒ = ΚΓ$ .
Αν $ΚΒ = ΚΓ$ , τότε $ΣΒ = ΣΓ$ .

Σύνδεση με ισοσκελές τρίγωνο

Αν $ΣΒ = ΣΓ$ , το τρίγωνο $ΣΒΓ$ είναι ισοσκελές. Η κάθετος $ΣΚ$ είναι τότε ύψος και διάμεσος, άρα $ΚΒ = ΚΓ$ . Αντίστροφα, αν $ΚΒ = ΚΓ$ , τα ορθογώνια τρίγωνα $ΣΚΒ$ και $ΣΚΓ$ είναι ίσα (ΠΓΠ), άρα $ΣΒ = ΣΓ$ .

Θεώρημα ΙΙ ⚖️

Από ένα σημείο $Σ$ εκτός ευθείας $ε$ φέρουμε το κάθετο $ΣΚ$ και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα $ΣΒ$ και $ΣΓ$ :

i) Το κάθετο τμήμα $ΣΚ$ είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο τμήμα ( $ΣΒ$ ).

Σημαντικό!

Η απόσταση ενός σημείου $Σ$ από μια ευθεία $ε$ είναι η μικρότερη απόσταση του $Σ$ από οποιοδήποτε σημείο της ευθείας $ε$ . Αυτό σημαίνει $ΣΚ < ΣΒ$ .

ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα.

Δηλαδή:

Αν $ΣΓ > ΣΒ$ , τότε $ΚΓ > ΚΒ$ .
Αν $ΚΓ > ΚΒ$ , τότε $ΣΓ > ΣΒ$ .

Γιατί ισχύει;

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ΣΚΒ$ , η γωνία $Κ$ είναι ορθή (η μεγαλύτερη), άρα η υποτείνουσα $ΣΒ$ είναι μεγαλύτερη από την κάθετη πλευρά $ΣΚ$ .
Αν συγκρίνουμε δύο πλάγιες $ΣΒ$ και $ΣΓ$ , η μεγαλύτερη πλάγια αντιστοιχεί στο ίχνος που απέχει περισσότερο από το ίχνος $Κ$ της καθέτου. Αν $ΚΓ > ΚΒ$ , τότε η γωνία $ΣΒΚ$ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία $ΣΓΒ$ , που σημαίνει ότι η απέναντι πλευρά $ΣΓ$ είναι μεγαλύτερη από την $ΣΒ$ .