Ανισοτικές Σχέσεις στα Τρίγωνα 📐

Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε κυρίως με ισότητες: ίσα τρίγωνα, ίσες πλευρές, ίσες γωνίες. Τώρα θα δούμε τι μπορούμε να συμπεράνουμε όταν τα στοιχεία ενός τριγώνου δεν είναι ίσα — ποια γωνία είναι μεγαλύτερη, ποια πλευρά είναι μεγαλύτερη και ποια τρία μήκη μπορούν πράγματι να φτιάξουν τρίγωνο.

Σχέση Εξωτερικής και Απέναντι Γωνίας

ΘΕΩΡΗΜΑ 💡

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου.

Δηλαδή η εξωτερική γωνία στην κορυφή Γ είναι μεγαλύτερη και από τη γωνία Α και από τη γωνία Β — τις δύο εσωτερικές γωνίες που δεν είναι εφεξής της.

ΠΟΡΙΣΜΑ ✅

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτουν δύο σημαντικά συμπεράσματα:

1. Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία γωνία ορθή (90°) ή αμβλεία (>90°). Δεν μπορεί να έχει δύο ορθές ούτε δύο αμβλείες γωνίες, ούτε μία ορθή και μία αμβλεία.
2. Το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε γωνιών κάθε τριγώνου είναι πάντα μικρότερο από 180°.

Ανισοτικές Σχέσεις Πλευρών και Γωνιών

ΘΕΩΡΗΜΑ ⚖️

Σε κάθε τρίγωνο:

1. Απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες. Δηλαδή, αν η πλευρά $β$ είναι μεγαλύτερη από την πλευρά $γ$ ($β > γ$), τότε και η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη $β$ (δηλαδή η $Β$) είναι μεγαλύτερη από τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη $γ$ (δηλαδή η $Γ$). Άρα: αν $β > γ$, τότε $Β > Γ$.
2. Αντίστροφα: Απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται όμοια άνισες πλευρές. Δηλαδή, αν η γωνία $Β$ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία $Γ$ ($Β > Γ$), τότε και η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη $Β$ (δηλαδή η $β$) είναι μεγαλύτερη από την πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη $Γ$ (δηλαδή η $γ$). Άρα: αν $Β > Γ$, τότε $β > γ$.

Με μια φράση: στη μεγαλύτερη πλευρά αντιστοιχεί η μεγαλύτερη γωνία και αντίστροφα.

Πώς το αποδεικνύουμε; 🤔

Για το (1), παίρνουμε σημείο Δ στη μεγαλύτερη πλευρά $β$ (δηλαδή στην ΑΓ) τέτοιο ώστε ΑΔ = $γ$ (= ΑΒ). Έτσι το τρίγωνο ΑΒΔ γίνεται ισοσκελές και οι γωνίες του στη βάση ΒΔ είναι ίσες. Χρησιμοποιώντας ύστερα την ιδιότητα της εξωτερικής γωνίας στο τρίγωνο ΒΔΓ, καταλήγουμε ότι $Β > Γ$. Το αντίστροφο (2) αποδεικνύεται με εις άτοπον απαγωγή.

ΠΟΡΙΣΜΑ ✅

1. Αν μια γωνία τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. 💪
2. Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές (έχει και δύο πλευρές ίσες, τις απέναντι από τις ίσες γωνίες).
3. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο (έχει και τις τρεις πλευρές ίσες).

Το πρώτο πόρισμα εξηγεί γιατί σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά.

Τριγωνική Ανισότητα

ΘΕΩΡΗΜΑ ❗️

Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι:

1. Μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών.
2. Μεγαλύτερη από την απόλυτη διαφορά των δύο άλλων πλευρών.

Για ένα τρίγωνο με πλευρές $α$, $β$, $γ$, ισχύει:

ΠΟΡΙΣΜΑ ✅

Κάθε χορδή ενός κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου. Γίνεται ίση μόνο όταν η χορδή είναι η ίδια η διάμετρος.