Βασικοί Γεωμετρικοί Τόποι 📍

Ο Γεωμετρικός τόπος είναι το σύνολο όλων των σημείων, που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα. 🤔

Η λέξη-κλειδί στον ορισμό είναι το «όλα τα σημεία και μόνον αυτά»: ένα σχήμα είναι γεωμετρικός τόπος για μια ιδιότητα όταν, πρώτον, κάθε σημείο του έχει την ιδιότητα και, δεύτερον, κανένα σημείο εκτός του σχήματος δεν την έχει.

Επομένως:

• Ο κύκλος είναι ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία του και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να απέχουν μια ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο. ⭕
• Η μεσοκάθετος ενός τμήματος είναι επίσης ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. 📏
• Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ένας άλλος γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά (από τα σημεία της γωνίας) ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. 📐

Η μέθοδος αντιμετώπισης ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου 🔎

Η αντιμετώπιση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου απαιτεί μια ιδιαίτερη διαδικασία: δεν αρκεί μία απόδειξη, χρειάζονται δύο.

1. Ευθύ: Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο που έχει την ιδιότητα και δείχνουμε ότι ανήκει σε ένα συγκεκριμένο σχήμα.
2. Αντίστροφο: Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο του σχήματος αυτού και δείχνουμε ότι έχει την ιδιότητα.

Μόνο όταν αποδειχθούν και τα δύο μπορούμε να πούμε ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ακριβώς αυτό το σχήμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Παράδειγμα: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, που διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β. 💡

Λύση:

Έστω Μ ένα σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, δηλαδή το κέντρο ενός κύκλου που διέρχεται από τα Α, Β. Τότε $MA = MB$, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου και επομένως το Μ ανήκει στη μεσοκάθετο ε του τμήματος ΑΒ. ✅

Αντίστροφα: Έστω Ν ένα σημείο της μεσοκαθέτου ε του ΑΒ. Τότε θα είναι $NA = NB$, οπότε ο κύκλος (Ν, ΝΑ) διέρχεται και από το Β. ✅

Επομένως κάθε σημείο της ε είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα Α, Β.

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος ε του τμήματος ΑΒ. ✨