Κριτήρια Ισότητας Τριγώνων 📐✨

Ας εξερευνήσουμε πώς μπορούμε να ξέρουμε αν δύο τρίγωνα είναι ακριβώς ίδια!

Δύο τρίγωνα λέγονται ίσα τρίγωνα όταν έχουν ίσες όλες τις πλευρές τους και όλες τις γωνίες τους. Δεν χρειάζεται όμως να τα ελέγξουμε όλα: αρκούν τρία κατάλληλα στοιχεία. Αυτά ακριβώς μας τα δίνουν τα κριτήρια ισότητας.

2ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων (Γ-Π-Γ)

ΘΕΩΡΗΜΑ (2ο Κριτήριο - ΓΠΓ) 🧐
Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Πώς το ξέρουμε;) 🤔

Η απόδειξη γίνεται με εις άτοπον απαγωγή.

Έστω ότι τα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ έχουν $ΒΓ = Β'Γ'$, $Β = Β'$ και $Γ = Γ'$.

Θέλουμε να δείξουμε ότι έχουν και $ΑΒ = Α'Β'$. Ας υποθέσουμε ότι $ΑΒ \neq Α'Β'$, π.χ. $ΑΒ > Α'Β'$. Τότε, υπάρχει σημείο $Δ$ στην $ΑΒ$ ώστε $ΔΒ = Α'Β'$.

Τα τρίγωνα $ΔΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ έχουν:

• $ΔΒ = Α'Β'$ (από την κατασκευή του $Δ$)
• $ΒΓ = Β'Γ'$ (από την υπόθεση)
• $Β = Β'$ (από την υπόθεση)

Άρα, τα τρίγωνα $ΔΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ είναι ίσα (με το 1ο κριτήριο ΠΓΠ, αφού η γωνία $Β$ είναι η περιεχόμενη στις δύο ίσες πλευρές). Επομένως, $ΔΓΒ = Γ'$.

Αλλά ξέραμε ότι $Γ = Γ'$, άρα $ΔΓΒ = Γ$. Αυτό είναι άτοπο (αδύνατο!), γιατί το $Δ$ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας $ΑΓΒ$, άρα $ΔΓΒ < Γ$.

Άρα, η αρχική μας υπόθεση ότι $ΑΒ \neq Α'Β'$ είναι λάθος. Πρέπει $ΑΒ = Α'Β'$.

Επειδή τώρα τα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $Α'Β'Γ'$ έχουν $ΑΒ = Α'Β'$, $ΒΓ = Β'Γ'$ και $Β = Β'$, είναι ίσα (ΠΓΠ). ✅

3ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων (Π-Π-Π)

ΘΕΩΡΗΜΑ (3ο Κριτήριο - ΠΠΠ) 🤩
Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Πορίσματα (Γρήγορα Συμπεράσματα) 💡

Από τα κριτήρια ισότητας προκύπτουν χρήσιμα συμπεράσματα:

ΠΟΡΙΣΜΑ Ι
Η διάμεσος ισοσκελές τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος.

• Απόδειξη: Σε ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $ΑΒ = ΑΓ$ και $ΑΔ$ η διάμεσος ($ΒΔ = ΔΓ$). Τα τρίγωνα $ΑΒΔ$ και $ΑΓΔ$ έχουν:

  • $ΑΒ = ΑΓ$ (από υπόθεση)
  • $ΒΔ = ΔΓ$ (αφού $ΑΔ$ διάμεσος)
  • $ΑΔ$ κοινή πλευρά

  Άρα, τα τρίγωνα $ΑΒΔ$ και $ΑΓΔ$ είναι ίσα (ΠΠΠ). Επομένως έχουν ίσα και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους: $Α_1 = Α_2$ (άρα $ΑΔ$ διχοτόμος της γωνίας $Α$) και $Δ_1 = Δ_2$. Επειδή οι $Δ_1, Δ_2$ είναι και εφεξής και παραπληρωματικές, η καθεμία είναι ορθή γωνία, άρα $ΑΔ$ είναι και ύψος. 📏

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ
Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του.

• Απόδειξη: Έστω ευθύγραμμο τμήμα $ΑΒ$ και ένα σημείο $Μ$, ώστε $ΜΑ = ΜΒ$. Αν $Κ$ είναι το μέσο του $ΑΒ$, τότε το τρίγωνο $ΑΜΒ$ είναι ισοσκελές. Η διάμεσός του $ΜΚ$ (αφού $Κ$ μέσο) είναι, σύμφωνα με το Πόρισμα Ι, και ύψος. Δηλαδή η $ΜΚ$ είναι η μεσοκάθετος του $ΑΒ$. ✔️

ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙΙ
Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικύκλιο, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. 🏹

• Απόδειξη: Έστω δύο τόξα $ΑΒ$ και $ΓΔ$ ενός κύκλου $(Ο, ρ)$ μικρότερα του ημικυκλίου, με χορδή $ΑΒ = ΓΔ$. Τα τρίγωνα $ΟΑΒ$ και $ΟΓΔ$ έχουν:

  • $ΟΑ = ΟΓ (= ρ)$ (ακτίνες)
  • $ΟΒ = ΟΔ (= ρ)$ (ακτίνες)
  • $ΑΒ = ΓΔ$ (από υπόθεση)

  Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα (ΠΠΠ). Επομένως, οι αντίστοιχες κεντρικές γωνίες είναι ίσες: $ΑΟΒ = ΓΟΔ$. Άρα και τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα: τόξο $ΑΒ$ = τόξο $ΓΔ$. 🌈

ΠΟΡΙΣΜΑ IV
Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. (Η λογική είναι παρόμοια με το Πόρισμα ΙΙΙ).

Ανακεφαλαίωση 📝

Συνοπτικά, δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:

• Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ).
• Μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (ΓΠΓ).
• Και τις τρεις πλευρές ίσες μία προς μία (ΠΠΠ).