Έργο Βάρους και Μεταβολή της Κινητικής Ενέργειας ⬇️🏀

Ένα αφετηριακό παράδειγμα: η μπάλα που πέφτει 🤔

Ας φανταστούμε έναν μαθητή που πετάει μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω. Η μπάλα ανεβαίνει, φτάνει σε ένα υψηλότερο σημείο όπου στιγμιαία σταματά, και μετά πέφτει ξανά προς τα κάτω. Καθώς η μπάλα πέφτει, κινείται όλο και πιο γρήγορα, δηλαδή αποκτά όλο και μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, μέχρι τη στιγμή που φτάνει ξανά στο χέρι του μαθητή.

Το ερώτημα που θα απαντήσουμε σε αυτή την ενότητα είναι: πώς σχετίζεται η κινητική ενέργεια που αποκτά η μπάλα με το έργο που παράγει το βάρος της καθώς πέφτει; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα οδηγεί σε μία από τις πιο χρήσιμες σχέσεις της Μηχανικής: το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας.

Υπολογισμός του έργου του βάρους κατά την πτώση 💪🌍

Καθώς η μπάλα πέφτει, πάνω της ασκείται η δύναμη της βαρύτητας, δηλαδή το βάρος της $B$, η οποία την τραβάει κατακόρυφα προς τα κάτω. Επειδή η μπάλα μετατοπίζεται προς τα κάτω κατά ένα ύψος $h$, και η μετατόπιση αυτή γίνεται ακριβώς προς την κατεύθυνση που ασκείται το βάρος, το βάρος παράγει έργο πάνω στη μπάλα.

Θυμόμαστε ότι το έργο μιας σταθερής δύναμης $F$ που μετατοπίζει ένα σώμα κατά $x$, σχηματίζοντας γωνία $θ$ με τη μετατόπιση, δίνεται από τον τύπο:

Στην περίπτωσή μας:

1. Η δύναμη είναι το βάρος, άρα $F = B$.
2. Η μετατόπιση είναι το ύψος πτώσης, άρα $x = h$.
3. Το βάρος και η μετατόπιση έχουν την ίδια ακριβώς κατεύθυνση (και τα δύο δείχνουν προς τα κάτω), οπότε η γωνία μεταξύ τους είναι $θ = 0°$, και $\text{συν}0° = 1$.

Αντικαθιστώντας στον τύπο του έργου, το έργο του βάρους $W_B$ κατά την πτώση από ύψος $h$ είναι:

Σύνδεση του έργου με την ταχύτητα 🔗

Το επόμενο βήμα είναι να συνδέσουμε το έργο του βάρους με την ταχύτητα $υ$ που αποκτά η μπάλα στο τέλος της πτώσης, χρησιμοποιώντας όσα ξέρουμε από την κινηματική της ελεύθερης πτώσης (κίνηση με σταθερή επιτάχυνση $g$, με αρχική ταχύτητα μηδέν):

Θα αντικαταστήσουμε διαδοχικά, ώστε να εκφράσουμε το $W_B$ συναρτήσει της ταχύτητας $υ$ αντί του χρόνου $t$:

Βήμα 1 — Αντικατάσταση του $h$ και του $B$ στη σχέση (1):

Το βάρος γράφεται $B = mg$, όπου $m$ η μάζα της μπάλας. Αντικαθιστώντας το $h$ από τη σχέση (2) και το $B = mg$ στη σχέση (1):

Βήμα 2 — Αντικατάσταση του χρόνου $t$ με την ταχύτητα $υ$:

Από τη σχέση (3) λύνουμε ως προς τον χρόνο: $t = υ/g$. Αντικαθιστώντας:

Οι όροι $g^2$ απλοποιούνται, και καταλήγουμε σε μια σχέση που δεν περιέχει πλέον ούτε το $g$ ούτε τον χρόνο $t$, παρά μόνο τη μάζα και την ταχύτητα:

Ορισμός της κινητικής ενέργειας 💨

Η ποσότητα $\frac{1}{2}mυ^2$ που προέκυψε είναι εξαιρετικά σημαντική στη Φυσική. Ονομάζεται κινητική ενέργεια του σώματος, συμβολίζεται με $K$, και ορίζεται ως:

Η κινητική ενέργεια εξαρτάται από δύο μεγέθη: τη μάζα $m$ του σώματος και το τετράγωνο της ταχύτητάς του $υ^2$. Αυτό σημαίνει ότι:

• Όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα ενός σώματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η κινητική του ενέργεια, για την ίδια ταχύτητα.
• Όσο πιο γρήγορα κινείται ένα σώμα, τόσο μεγαλύτερη είναι η κινητική του ενέργεια — και μάλιστα η εξάρτηση είναι από το τετράγωνο της ταχύτητας, όχι απλώς την ταχύτητα: αν διπλασιαστεί η ταχύτητα ενός σώματος, η κινητική του ενέργεια τετραπλασιάζεται.

Αντικαθιστώντας τον ορισμό της κινητικής ενέργειας στη σχέση που βρήκαμε, η σχέση $W_B = \frac{1}{2}mυ^2$ γράφεται πιο απλά ως:

Αυτό σημαίνει ότι, για μια μπάλα που πέφτει ξεκινώντας από την ηρεμία (αρχική ταχύτητα μηδέν), το έργο που παράγει το βάρος της κατά την πτώση είναι ακριβώς ίσο με την κινητική ενέργεια που αποκτά η μπάλα στο τέλος της πτώσης. Το έργο του βάρους «μετατρέπεται» εξ ολοκλήρου σε κινητική ενέργεια.

Όταν το σώμα έχει ήδη αρχική ταχύτητα: η μεταβολή της κινητικής ενέργειας 📈

Το παραπάνω αποτέλεσμα, $W_B = K$, ισχύει μόνο στην ειδική περίπτωση όπου το σώμα ξεκινά από την ηρεμία ($υ_{αρχ} = 0$). Τι γίνεται όμως αν η μπάλα δεν ξεκίνησε ακίνητη, αλλά είχε ήδη κάποια αρχική ταχύτητα $υ_{αρχ}$ πριν αρχίσει να δρα το βάρος — για παράδειγμα, αν κάποιος την είχε ήδη πετάξει προς τα κάτω;

Σε αυτή τη γενικότερη περίπτωση, χρειαζόμαστε μια νέα ποσότητα: τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας, που συμβολίζεται με $ΔK$ (το σύμβολο $Δ$, «δέλτα», δηλώνει πάντα «μεταβολή», δηλαδή «τελική τιμή μείον αρχική τιμή»). Ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της τελικής κινητικής ενέργειας $K_{τελ}$ και της αρχικής κινητικής ενέργειας $K_{αρχ}$ του σώματος:

όπου $K_{αρχ} = \frac{1}{2}mυ_{αρχ}^2$ και $K_{τελ} = \frac{1}{2}mυ_{τελ}^2$, με $υ_{αρχ}$ και $υ_{τελ}$ την αρχική και την τελική ταχύτητα του σώματος αντίστοιχα.

Αποδεικνύεται ότι το έργο του βάρους $W_B$ είναι πάντα ίσο με αυτή τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας, ανεξάρτητα από το αν το σώμα ξεκίνησε από την ηρεμία ή είχε ήδη κάποια αρχική ταχύτητα:

Παρατηρούμε ότι η ειδική περίπτωση $W_B = K$ που βρήκαμε νωρίτερα είναι απλώς η μορφή που παίρνει η $W_B = ΔK$ όταν $K_{αρχ} = 0$, δηλαδή όταν το σώμα ξεκινά ακίνητο: τότε $ΔK = K_{τελ} - 0 = K_{τελ} = K$.

Το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) 🌟

Το αποτέλεσμα $W_B = ΔK$ που βρήκαμε για το βάρος δεν είναι ιδιαίτερο μόνο σε αυτή τη δύναμη. Μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε δύναμη, ακόμα και όταν πάνω σε ένα σώμα δρουν πολλές δυνάμεις ταυτόχρονα (π.χ. βάρος, τριβή, δύναμη από κάποιο σχοινί κ.λπ.).

Σε αυτή τη γενική περίπτωση, ορίζουμε το συνολικό έργο (συμβολίζεται $W_{ολ}$ ή $ΣW$) ως το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα — δηλαδή προσθέτουμε τα έργα με το πρόσημό τους, αφού κάποιες δυνάμεις μπορεί να παράγουν θετικό έργο (βοηθούν την κίνηση) και άλλες αρνητικό (αντιστέκονται σε αυτήν).

Η θεμελιώδης αρχή, γνωστή ως Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) ή απλά Θεώρημα της Κινητικής Ενέργειας, δηλώνει ότι:

Η μαθηματική έκφραση του θεωρήματος είναι:

Το Θ.Μ.Κ.Ε. είναι ένα από τα πιο ισχυρά εργαλεία της Μηχανικής, γιατί συνδέει δύο διαφορετικές οπτικές πάνω στο ίδιο φαινόμενο:

• Τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα, μέσω του έργου τους.
• Την ταχύτητα του σώματος, μέσω της κινητικής του ενέργειας.

Αυτό ανοίγει δύο δρόμους επίλυσης προβλημάτων:

1. Αν ξέρουμε τα έργα των δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας, και από αυτή την τελική ταχύτητα του σώματος (αν ξέρουμε την αρχική).
2. Αν ξέρουμε την αρχική και την τελική ταχύτητα ενός σώματος, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας, και από αυτή το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκήθηκαν πάνω του — ακόμα κι αν δεν ξέρουμε τις δυνάμεις αναλυτικά.