Η Λογαριθμική Συνάρτηση 📈

Ορισμός της Λογαριθμικής Συνάρτησης 🔍

Έστω $α$ ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας ($α > 0$ και $α \neq 1$). Όπως είδαμε προηγουμένως, για κάθε $x > 0$ ορίζεται ο $\log_α x$. Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε $x \in (0, +\infty)$ στο $\log_α x$, ορίζουμε τη συνάρτηση:

Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση $α$.

Συμμετρία με την Εκθετική Συνάρτηση 🔄

Ας θεωρήσουμε τη λογαριθμική συνάρτηση $f(x) = \log_α x$. Επειδή $\log_α x = y \Leftrightarrow a^y = x$, αν το σημείο $Μ(ξ, η)$ είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $y = \log_α x$, τότε το $Ν(η, ξ)$ θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $y = a^x$ και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, $Μ(ξ, η)$ και $Ν(η, ξ)$ είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες $xÔy$ και $x'Ôy'$ (δηλαδή την ευθεία $y=x$).

Επομένως:

Αν λάβουμε υπόψη την παραπάνω συμμετρία και όσα μάθαμε για την εκθετική συνάρτηση $F(x) = a^x$, καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα για τη λογαριθμική συνάρτηση $g(x) = \log_α x$:

Ιδιότητες όταν $a > 1$ 👍

• Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $(0, +\infty)$.
• Έχει σύνολο τιμών το σύνολο $\mathbb{R}$ των πραγματικών αριθμών.
• Είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι αν $x_1 < x_2$, τότε $\log_α x_1 < \log_α x_2$.
  • Απ' όπου προκύπτει ότι: $\log_α x < 0$, αν $0 < x < 1$ και $\log_α x > 0$, αν $x > 1$.
• Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $Α(1, 0)$ και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα $Oy'$ (τον αρνητικό ημιάξονα των y).

Ιδιότητες όταν $0 < a < 1$ 👎

• Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $(0, +\infty)$.
• Έχει σύνολο τιμών το σύνολο $\mathbb{R}$ των πραγματικών αριθμών.
• Είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι: αν $x_1 < x_2$, τότε $\log_α x_1 > \log_α x_2$.
  • Απ' όπου προκύπτει ότι: $\log_α x > 0$, αν $0 < x < 1$ και $\log_α x < 0$, αν $x > 1$.
• Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα $x'x$ στο σημείο $Α(1, 0)$ και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα $Oy'$ (τον αρνητικό ημιάξονα των y).

Μονοτονία και Λογαριθμικές Εξισώσεις ⚖️

Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι:

αν $x_1 \neq x_2$, τότε $\log_α x_1 \neq \log_α x_2$

οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι:

αν $\log_α x_1 = \log_α x_2$, τότε $x_1 = x_2$

Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:

Εξισώσεις όπως η προηγούμενη, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στο λογάριθμο, λέγονται λογαριθμικές εξισώσεις.

Παράδειγμα Επίλυσης

Να λυθεί η εξίσωση $\log_2(x^2 - 1) = 3$.

Λύση:

Η εξίσωση γράφεται:

(Εκφράζουμε το 3 ως λογάριθμο με βάση 2)

(Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα $\log_α x_1 = \log_α x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2$)

Οι λύσεις είναι $x=3$ και $x=-3$. ✅

Παραδείγματα - Εφαρμογές ✍️

Εφαρμογή 1: Γραφικές Παραστάσεις

Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:

i) $φ(x) = \ln x$

ii) $f(x) = \ln x + 1$

iii) $g(x) = \ln(x - 2)$

Λύση

Για τη γραφική παράσταση της $φ(x) = \ln x$ κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών:

Τοποθετώντας τα σημεία $(x, y)$ του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $φ(x) = \ln x$.

Η γραφική παράσταση της $f(x) = \ln x + 1$ προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της $φ(x) = \ln x$ κατά 1 μονάδα προς τα πάνω ⬆️.

Η γραφική παράσταση της $g(x) = \ln(x - 2)$ προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της $φ(x) = \ln x$ κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά ➡️.