Λογάριθμοι 🧮

Εισαγωγή στους Λογάριθμους 📈

Ας δούμε ένα πρόβλημα για να καταλάβουμε γιατί χρειαζόμαστε τους λογάριθμους.

Πρόβλημα πληθυσμού: Ο πληθυσμός της γης αυξάνεται με ετήσιο ρυθμό 1,7%. Το 1987 ήταν 5 δισεκατομμύρια κάτοικοι. Αν συνεχίζει να αυξάνεται με τον ίδιο ρυθμό, πότε θα διπλασιαστεί;

Λύση:

Σύμφωνα με τον τύπο $a_ν = a_1 (1 + \frac{\epsilon}{100})^ν$, ο πληθυσμός της γης μετά από $t$ χρόνια θα είναι:

Ψάχνουμε την τιμή του $t$ για την οποία ισχύει $N(t) = 2 \cdot 5 \cdot 10^6 = 10^7$ κάτοικοι. Δηλαδή λύνουμε την εξίσωση:

ή ισοδύναμα:

Η εξίσωση $1.017^t = 2$ λύνεται με τη βοήθεια των λογαρίθμων· η λύση είναι $t \approx 41$.

Επομένως, ο πληθυσμός θα διπλασιαστεί σε 41 περίπου χρόνια από το 1987, δηλαδή γύρω στο 2028.

Η Έννοια του Λογάριθμου 💡

Η εκθετική συνάρτηση $f(x) = a^x$ είναι γνησίως μονότονη για $a>0$ και $a \neq 1$. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε $\theta > 0$, η εξίσωση $a^x = \theta$ έχει μοναδική λύση ως προς $x$.

Τη μοναδική αυτή λύση την ονομάζουμε λογάριθμο του $\theta$ ως προς βάση $a$, και τη συμβολίζουμε με $\log_a \theta$.

Ορισμός: Αν $a > 0$ με $a \neq 1$ και $\theta > 0$, τότε:

Ο $\log_a \theta$ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον $a$ για να βρούμε το $\theta$.

Παραδείγματα

• $\log_2 8 = 3$, γιατί $2^3 = 8$
• $\log_4 2 = \frac{1}{2}$, γιατί $4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$
• $\log_{10} 0.001 = -3$, γιατί $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001$
• $\log_{0.5} 0.25 = 2$, γιατί $0.5^2 = 0.25$

Από τον ορισμό προκύπτουν άμεσα οι εξής σχέσεις (για $a>0, a \neq 1, \theta > 0, x \in \mathbb{R}$):

Ιδιότητες των Λογαρίθμων 🔢

Οι ιδιότητες που ακολουθούν είναι πολύ σημαντικές για τους υπολογισμούς με λογάριθμους θετικών αριθμών. Προκύπτουν από τις αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων.

Αν $a > 0$ με $a \neq 1$, τότε για οποιουσδήποτε $\theta_1, \theta_2 > 0$ και $k \in \mathbb{R}$ ισχύουν:

1. Λογάριθμος γινομένου

Απόδειξη: Έστω ότι $\log_a \theta_1 = x_1$ και $\log_a \theta_2 = x_2$ (1). Τότε έχουμε $a^{x_1} = \theta_1$ και $a^{x_2} = \theta_2$, οπότε $a^{x_1} \cdot a^{x_2} = \theta_1 \theta_2$, δηλαδή $a^{x_1+x_2} = \theta_1 \theta_2$. Από τον ορισμό του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την $\log_a(\theta_1 \theta_2) = x_1 + x_2$. Λόγω της (1), έχουμε τελικά $\log_a(\theta_1 \theta_2) = \log_a \theta_1 + \log_a \theta_2$.

2. Λογάριθμος πηλίκου

Απόδειξη: Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο όπως στην ιδιότητα του γινομένου.

3. Λογάριθμος δύναμης

Απόδειξη: Έστω ότι $\log_a \theta = x$ (2). Τότε έχουμε $a^x = \theta$, οπότε $a^{kx} = (a^x)^k = \theta^k$. Από τον ορισμό του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την $\log_a \theta^k = kx$. Λόγω της (2), προκύπτει ότι $\log_a \theta^k = k \cdot \log_a \theta$.

Παράδειγμα εφαρμογής ιδιοτήτων

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την τιμή της παράστασης:

Έχουμε διαδοχικά:

Δεκαδικοί και Φυσικοί Λογάριθμοι 🔟

Δεκαδικοί λογάριθμοι (ή κοινοί λογάριθμοι)

Πριν την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το 10. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται δεκαδικοί λογάριθμοι ή κοινοί λογάριθμοι.

Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού $\theta$ συμβολίζεται απλά με $\log \theta$ (αντί για $\log_{10} \theta$). Επομένως:

Οι δεκαδικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα με τη βοήθεια υπολογιστή τσέπης (πλήκτρο log):

• $\log 213 \approx 2.328379603$
• $\log 0.325 \approx -0.488116639$

Φυσικοί λογάριθμοι (ή νεπέριοι λογάριθμοι) 🌱

Στα μαθηματικά και τις επιστήμες συναντάμε συχνά λογάριθμους με βάση τον αριθμό $e$ ($e \approx 2.71828...$). Η σταθερά e παίζει κεντρικό ρόλο στην περιγραφή διαφόρων φυσικών φαινομένων. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται φυσικοί λογάριθμοι ή νεπέριοι λογάριθμοι.

Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού $\theta$ συμβολίζεται με $\ln \theta$ (αντί για $\log_e \theta$). Επομένως:

Οι φυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα με υπολογιστή τσέπης (πλήκτρο ln):

• $\ln 325 \approx 5.783825172$
• $\ln 0.37 \approx -0.994252273$

Αλλαγή Βάσης Λογάριθμου 🔄

Αν και οι υπολογιστές τσέπης υπολογίζουν συνήθως $\log \theta$ και $\ln \theta$, μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Αυτό γίνεται με τον ακόλουθο τύπο αλλαγής βάσης.

Αν $a, \beta > 0$ με $a, \beta \neq 1$, τότε για κάθε $\theta > 0$ ισχύει:

Απόδειξη: Έστω ότι $\log_\beta \theta = x$. Τότε $\beta^x = \theta$. Λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη αυτής της ισότητας ως προς τη βάση $a$:

Άρα, $\log_\beta \theta = \frac{\log_a \theta}{\log_a \beta}$.

Σύμφωνα με τον τύπο αυτό, επιλέγοντας ως βάση $a$ το 10 ή το $e$:

Επομένως, ο υπολογισμός του $\log_\beta \theta$ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών ή των φυσικών λογαρίθμων των $\theta$ και $\beta$.

Παράδειγμα