Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις 📐

Πολυωνυμικές Εξισώσεις 📝

Μια πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν είναι μια εξίσωση της μορφής:

Για παράδειγμα:

• $2x^3 - 5x^2 + x - 2 = 0$ είναι πολυωνυμική εξίσωση 3ου βαθμού.
• $-3x^6 + 5x^2 + 1 = 0$ είναι πολυωνυμική εξίσωση 6ου βαθμού.

Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης $P(x) = 0$ ονομάζουμε κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει $P(ρ) = 0$.

Γνωρίζουμε ήδη πώς να λύνουμε εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού. Για εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 2, η επίλυση γίνεται πιο σύνθετη.

Μέθοδος Παραγοντοποίησης 🧩

Η επίλυση εξισώσεων $P(x) = 0$ βαθμού μεγαλύτερου του 2 συχνά βασίζεται στην παραγοντοποίηση του πολυωνύμου $P(x)$. Χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία:

Δηλαδή, αναλύουμε το $P(x)$ σε γινόμενο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού και λύνουμε τις επιμέρους εξισώσεις.

Παράδειγμα: Να λυθεί η εξίσωση $x^3 - 3x + 2 = 0$.

Οι ρίζες είναι οι $x = 1$ (διπλή ρίζα) και $x = -2$. ✅

Θεώρημα Ακέραιων Ριζών 🧐

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω η πολυωνυμική εξίσωση $α_νx^ν + α_{ν-1}x^{ν-1} + ... + α_1x + α_0 = 0$, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος $ρ \neq 0$ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου $α_0$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Ιδέα):

Αν ο $ρ \neq 0$ είναι ρίζα, ισχύει:

Λύνοντας ως προς $α_0$:

Βγάζοντας κοινό παράγοντα το ρ:

Επειδή όλοι οι όροι $α_i$ και ο ρ είναι ακέραιοι, η παράσταση στην παρένθεση είναι ακέραιος αριθμός. Άρα, ο ρ διαιρεί τον $α_0$. 👍

Εφαρμογή 1: Επίλυση $x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0$ 💡

Πρόβλημα: Να λυθεί η εξίσωση $x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0$.

Λύση:

Οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Σύμφωνα με το θεώρημα ακέραιων ριζών, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου $a_0 = 2$. Οι διαιρέτες του 2 είναι: $\pm 1, \pm 2$.

Εξετάζουμε με το σχήμα Horner αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$.

• Για $ρ = 1$: $P(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 + 2 = 1 - 3 + 1 + 2 = 1 \neq 0$. Άρα το 1 δεν είναι ρίζα.
• Για $ρ = -1$: $P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 3 - 1 + 2 = -3 \neq 0$. Άρα το -1 δεν είναι ρίζα.
• Για $ρ = 2$: $P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 + 2 = 8 - 12 + 2 + 2 = 0$. Άρα το 2 είναι ρίζα! 🎉

Από το σχήμα Horner για $ρ = 2$:

Το πηλίκο της διαίρεσης $P(x) : (x - 2)$ είναι $x^2 - x - 1$.

Επομένως, η εξίσωση γράφεται: $(x - 2)(x^2 - x - 1) = 0$.

Λύνουμε την $x^2 - x - 1 = 0$:

Οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι οι αριθμοί: $2$, $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ και $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Εφαρμογή 2: Επίλυση $x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 8x + 4 = 0$ 💡

Πρόβλημα: Να λυθεί η εξίσωση $x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 8x + 4 = 0$.

Λύση:

Οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου $a_0 = 4$, δηλαδή $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί ($1, 5, 9, 8, 4$), οι θετικοί αριθμοί αποκλείεται να είναι ρίζες της. Επομένως, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι $-1, -2, -4$.

Εξετάζουμε με το σχήμα Horner:

• Για $ρ = -1$: $P(-1) = 1 - 5 + 9 - 8 + 4 = 1 \neq 0$. Άρα το -1 δεν είναι ρίζα.
• Για $ρ = -2$:

Άρα το -2 είναι ρίζα του $P(x)$. 🎉

Η εξίσωση γράφεται: $(x + 2)(x^3 + 3x^2 + 3x + 2) = 0$.

Τώρα εξετάζουμε το πολυώνυμο $Q(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2$. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του είναι οι διαιρέτες του 2, δηλαδή $\pm 1, \pm 2$. Επειδή οι συντελεστές είναι θετικοί, οι πιθανές ρίζες είναι $-1, -2$.

• Γνωρίζουμε ήδη ότι $Q(-1) \neq 0$ (αφού $P(-1) \neq 0$).
• Εξετάζουμε το $ρ = -2$ για το $Q(x)$:

Άρα το -2 είναι ρίζα και του $Q(x)$. 🎉

Επομένως, $Q(x) = (x + 2)(x^2 + x + 1)$.

Η αρχική εξίσωση γράφεται:

Η εξίσωση $x^2 + x + 1 = 0$ έχει διακρίνουσα $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$, άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Η τελική εξίσωση έχει μόνο μία διπλή πραγματική ρίζα, τον αριθμό $-2$.

Πρόσημο Γινομένου ➕➖

Για να μελετήσουμε το πρόσημο ενός γινομένου πολυωνύμων $P(x) = A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x)$, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα $A(x), B(x), \dots, \Phi(x)$ ξεχωριστά. Συνήθως οι παράγοντες είναι της μορφής:
   • $ax + \beta$ (πρωτοβάθμιοι)
   • $ax^2 + \beta x + \gamma$ (τριώνυμα)
2. Συνθέτουμε τα πρόσημα όλων των παραγόντων για να βρούμε το τελικό πρόσημο του $P(x)$.

Εφαρμογή: Πρόσημο Γινομένου

Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του $x \in \mathbb{R}$ το πρόσημο του γινομένου $P(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6)(2x^2 + x + 1)$.

Λύση:

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά:

✔️ $x - 1$:

• $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
• $x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$
• $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

(Είναι θετικό για $x > 1$, μηδέν για $x = 1$ και αρνητικό για $x < 1$.)

✔️ $x^2 + x - 6$:

• Ρίζες: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$. Άρα $x = 2$ και $x = -3$.
• Επειδή ο συντελεστής του $x^2$ είναι $a = 1 > 0$, το τριώνυμο είναι:
  • Θετικό για $x < -3$ και για $x > 2$.
  • Μηδέν για $x = -3$ και $x = 2$.
  • Αρνητικό για $-3 < x < 2$.

✔️ $2x^2 + x + 1$:

• Διακρίνουσα: $\Delta = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$.
• Επειδή $\Delta < 0$ και ο συντελεστής του $x^2$ είναι $a = 2 > 0$, το τριώνυμο $2x^2 + x + 1$ είναι πάντα θετικό για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

Συνθέτουμε τα πρόσημα στον παρακάτω πίνακα:

Συμπέρασμα:

• $P(x) > 0$ (θετικό) για $x \in (-3, 1) \cup (2, +\infty)$
• $P(x) < 0$ (αρνητικό) για $x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)$
• $P(x) = 0$ (μηδέν) για $x = -3$, $x = 1$ και $x = 2$

Ανισώσεις Γινόμενο 📈📉

Για να λύσουμε ανισώσεις της μορφής $A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x) > 0$ (ή $< 0$), ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με την εύρεση του προσήμου του γινομένου $P(x) = A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x)$:

1. Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο $P(x)$ (αν δεν είναι ήδη παραγοντοποιημένο).
2. Βρίσκουμε τις ρίζες κάθε παράγοντα.
3. Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων για το $P(x)$.
4. Από την τελευταία γραμμή του πίνακα, βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία το $P(x)$ έχει το ζητούμενο πρόσημο (θετικό για $> 0$, αρνητικό για $< 0$).

Παράδειγμα: Για την ανίσωση $(x - 1)(x^2 + x - 6)(2x^2 + x + 1) < 0$, χρησιμοποιώντας τον πίνακα προσήμων της προηγούμενης εφαρμογής, διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν $x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)$.

Εφαρμογή: Επίλυση Ανίσωσης $x^3 - 3x^2 + x + 2 > 0$ 📊

Πρόβλημα: Να λυθεί η ανίσωση $x^3 - 3x^2 + x + 2 > 0$.

Λύση:

Αν εργαστούμε όπως στην Εφαρμογή 1 (επίλυση της εξίσωσης $x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0$), η ανίσωση γράφεται:

Οι ρίζες του πολυωνύμου $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$ είναι οι $2$, $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ και $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Τοποθετούμε τις ρίζες αυτές πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Παρατηρούμε ότι στο διάστημα $(2, +\infty)$, οι παράγοντες $x - 2$ και $x^2 - x - 1$ είναι θετικοί:

• $x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0$
• Για το τριώνυμο $x^2 - x - 1$, οι ρίζες είναι $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Επειδή $2 > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, στο διάστημα $(2, +\infty)$ το τριώνυμο είναι ομόσημο του $a=1$, δηλαδή θετικό.

Άρα, στο διάστημα $(2, +\infty)$, το γινόμενο $P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 1)$ είναι θετικό, δηλαδή $P(x) > 0$. ✅