Πολυώνυμα 📐

Η Έννοια του Πολυωνύμου

Έστω $x$ μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή.

Καλούμε μονώνυμο του $x$ κάθε παράσταση της μορφής $αx^ν$, όπου $α$ είναι ένας πραγματικός αριθμός και $ν$ ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του $x$ καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. 🤓

• Παραδείγματα: $2x^3$, $-\frac{3}{5}x^5$, $0x^4$, $2x$ και οι αριθμοί $2, -3, 0$ είναι μονώνυμα του $x$.

Καλούμε πολυώνυμο του $x$ κάθε παράσταση της μορφής:

όπου $ν$ είναι ένας φυσικός αριθμός και $α_0, α_1, ..., α_ν$ είναι πραγματικοί αριθμοί.

• Τα μονώνυμα $α_νx^ν, α_{ν-1}x^{ν-1}, ..., α_1x, α_0$ λέγονται όροι του πολυωνύμου.
• Οι αριθμοί $α_ν, α_{ν-1}, ..., α_1, α_0$ λέγονται συντελεστές αυτού.
• Ειδικότερα ο $α_0$ λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου.

Τα πολυώνυμα της μορφής $α_0$, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο $0$ λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. 0️⃣

Παραδείγματα πολυωνύμων του $x$:

• $3x^3 + 2x^2 - x + 2$
• $0x^2 - 5x + 1$
• $5x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 0x + \frac{1}{3}$
• Οι αριθμοί $2, 0$ κτλ.

Ισότητα Πολυωνύμων

Η ισότητα μεταξύ δύο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής:

Δύο πολυώνυμα $α_νx^ν + ... + α_1x + α_0$ και $β_μx^μ + ... + β_1x + β_0$, με $μ \ge ν$, θα λέμε ότι είναι ίσα όταν:

Δηλαδή, δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν οι συντελεστές των ομοιόβαθμων όρων τους είναι ίσοι (θεωρώντας ότι λείπουν οι όροι με συντελεστή μηδέν).

Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με $P(x), Q(x)$, κτλ.

Βαθμός Πολυωνύμου

Έστω ένα πολυώνυμο $P(x) = α_νx^ν + α_{ν-1}x^{ν-1} + ... + α_1x + α_0$.

• Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε το $P(x)$ είναι ίσο με το μηδενικό πολυώνυμο (σημειώνεται $0$).
• Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε το $P(x)$ παίρνει τη μορφή:

Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός $κ$ λέγεται βαθμός του πολυωνύμου $P(x)$.

Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. 🤔

Παράδειγμα: Το πολυώνυμο $P(x) = -4x^3 + 3x - 7$ είναι 3ου βαθμού, ενώ το $Q(x) = 7$ είναι μηδενικού βαθμού.

Αριθμητική Τιμή Πολυωνύμου

Έστω ένα πολυώνυμο $P(x) = α_νx^ν + α_{ν-1}x^{ν-1} + ... + α_1x + α_0$. Αν αντικαταστήσουμε το $x$ με έναν ορισμένο πραγματικό αριθμό $ρ$, τότε ο πραγματικός αριθμός

που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για $x=ρ$. 🔢

Αν είναι $P(ρ) = 0$, τότε ο $ρ$ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου.

Παράδειγμα: Για το πολυώνυμο $P(x) = -x^3 + 2x^2 + 4x + 1$:

• για $x=1$ είναι $P(1) = -(1)^3 + 2 \cdot (1)^2 + 4 \cdot (1) + 1 = -1 + 2 + 4 + 1 = 6$.
• για $x=-1$ είναι $P(-1) = -(-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) + 1 = 1 + 2 - 4 + 1 = 0$, που σημαίνει ότι ο $-1$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x)$. 🎉

Είναι φανερό ότι:

• Το σταθερό πολυώνυμο $c$ έχει τιμή $c$ για όλες τις τιμές του $x$.
• Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του $x$.

Πράξεις με Πολυώνυμα

Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. ➕➖✖️

Πρόσθεση

Αφαίρεση

Πολλαπλασιασμός

Παραδείγματα - Εφαρμογές 💡

i) Να βρεθούν οι τιμές του $λ \in \mathbb{R}$ για τις οποίες το πολυώνυμο $P(x) = (λ^2 - 1)x^3 + (λ^2 - 3λ + 2)x + λ - 1$ είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ii) Να βρεθούν οι τιμές του $λ \in \mathbb{R}$ για τις οποίες τα πολυώνυμα $Q(x) = λ^2x^3 + (λ - 2)x^2 + 3$ και $R(x) = (5λ - 6)x^3 + (λ^2 - 4)x^2 + λ + 1$ είναι ίσα.

Λύση

i) Το $P(x)$ θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο για εκείνες τις τιμές του $λ$ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις:

• $λ^2 - 1 = 0 \implies λ = 1$ ή $λ = -1$
• $λ^2 - 3λ + 2 = 0 \implies (λ - 1)(λ - 2) = 0 \implies λ = 1$ ή $λ = 2$
• $λ - 1 = 0 \implies λ = 1$

Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η $λ = 1$. Επομένως για $λ = 1$ το πολυώνυμο $P(x)$ είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ii) Τα $Q(x)$ και $R(x)$ είναι ίσα αν και μόνο αν οι συντελεστές των ομοιόβαθμων όρων είναι ίσοι. Δηλαδή, πρέπει να συναληθεύουν οι εξισώσεις:

• $λ^2 = 5λ - 6 \implies λ^2 - 5λ + 6 = 0 \implies (λ - 2)(λ - 3) = 0 \implies λ = 2$ ή $λ = 3$
• $λ - 2 = λ^2 - 4 \implies λ^2 - λ - 2 = 0 \implies (λ - 2)(λ + 1) = 0 \implies λ = 2$ ή $λ = -1$
• $3 = λ + 1 \implies λ = 2$

Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η $λ = 2$. Επομένως για $λ = 2$ τα πολυώνυμα $Q(x)$ και $R(x)$ είναι ίσα.