Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 📈

Περιοδικές Συναρτήσεις 🔄

Φανταστείτε ένα φέρι-μποτ ⛴️ που πηγαινοέρχεται μεταξύ δύο λιμανιών Α και Β. Η απόστασή του από το λιμάνι Α αλλάζει με τον χρόνο. Παρατηρούμε ότι κάθε $1\frac{1}{2}$ ώρα, το φέρι-μποτ επαναλαμβάνει την ίδια ακριβώς κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι αν σε μια χρονική στιγμή $t$ βρίσκεται σε μια απόσταση από το λιμάνι Α, στην ίδια απόσταση θα βρίσκεται και τη χρονική στιγμή $t + 1\frac{1}{2}$ ώρες, αλλά και τη χρονική στιγμή $t - 1\frac{1}{2}$ ώρες.

Η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση $d$ του φέρι-μποτ από το λιμάνι Α, με τη βοήθεια του χρόνου $t$, έχει τις ίδιες τιμές τις χρονικές στιγμές $t$, $t + 1\frac{1}{2}$, $t - 1\frac{1}{2}$. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο $1\frac{1}{2}$ ώρες.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι μια κούνια 🤸. Το ύψος της κούνιας σε σχέση με τον χρόνο $t$ είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση, συνήθως με περίοδο 2 δευτερόλεπτα (sec).

Γενικός Ορισμός

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός $T > 0$ τέτοιος, ώστε για κάθε $x \in A$ να ισχύει:

Ο πραγματικός αριθμός $T$ λέγεται περίοδος της συνάρτησης $f$.

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Πραγματικών Αριθμών 🔢

Γνωρίζουμε ότι για κάθε γωνία $ω$ υπάρχει μία μόνο τιμή για το $\eta\mu\omega$ και το $\sigma\upsilon\nu\omega$, με $-1 \le \eta\mu\omega \le 1$ και $-1 \le \sigma\upsilon\nu\omega \le 1$. Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε συναρτήσεις που αντιστοιχίζουν κάθε πραγματικό αριθμό $x$ (που ερμηνεύεται ως γωνία σε rad) στην τιμή $\eta\mu x$ ή $\sigma\upsilon\nu x$.

Πολλές εφαρμογές, όπως η αρμονική ταλάντωση, περιγράφονται από τύπους όπως $f(t) = \alpha \cdot \eta\mu(\omega t)$, όπου $α$ και $ω$ είναι σταθερές και $t$ είναι ο χρόνος.

Η Συνάρτηση Ημίτονο ($\eta\mu$) 🌊

Η συνάρτηση που αντιστοιχίζει κάθε πραγματικό αριθμό $x$ στο $\eta\mu x$ (όπου $x$ είναι σε rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με $\eta\mu$.

Επειδή $\eta\mu(\omega + 360^\circ) = \eta\mu(\omega - 360^\circ) = \eta\mu\omega$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$ θα ισχύει:

Άρα, η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$. ✅

Η Συνάρτηση Συνημίτονο ($\sigma\upsilon\nu$) 🌊

Ομοίως, η συνάρτηση που αντιστοιχίζει κάθε πραγματικό αριθμό $x$ στο $\sigma\upsilon\nu x$ λέγεται συνάρτηση συνημίτονο και συμβολίζεται με $\sigma\upsilon\nu$.

Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$. ✅

Η Συνάρτηση Εφαπτομένη ($\varepsilon\phi$) 📐

Η συνάρτηση εφαπτομένη, που συμβολίζεται με $\varepsilon\phi$, ορίζεται ως εξής:

Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο $\mathbb{R}_1 = \{x \in \mathbb{R} | \sigma\upsilon\nu x \neq 0\}$.

Επειδή για κάθε $x \in \mathbb{R}_1$ ισχύει $\varepsilon\phi(x + \pi) = \varepsilon\phi(x - \pi) = \varepsilon\phi x$, η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο $\pi$. ✅

Η Συνάρτηση Συνεφαπτομένη ($\sigma\phi$) 📐

Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με $\sigma\phi$, ορίζεται ως εξής:

Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο $\mathbb{R}_2 = \{x \in \mathbb{R} | \eta\mu x \neq 0\}$.

Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο $\pi$. ✅

Μελέτη της Συνάρτησης $f(x) = \eta\mu x$ 📊

Επειδή η συνάρτηση $f(x) = \eta\mu x$ είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $2\pi$, π.χ. το $[0, 2\pi]$.

Μονοτονία:

• Όταν το $x$ μεταβάλλεται από $0$ μέχρι $\frac{\pi}{2}$, η τεταγμένη $y = \eta\mu x$ αυξάνεται. Άρα η $f(x) = \eta\mu x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0, \frac{\pi}{2}]$. ⬆️
• Ομοίως βρίσκουμε ότι η $f(x) = \eta\mu x$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$. ⬇️
• Και γνησίως αύξουσα στο $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$. ⬆️

Ακρότατα:

• Παρουσιάζει μέγιστο για $x = \frac{\pi}{2}$, το $\eta\mu \frac{\pi}{2} = 1$. ✨
• Παρουσιάζει ελάχιστο για $x = \frac{3\pi}{2}$, το $\eta\mu \frac{3\pi}{2} = -1$. 📉

Πίνακας Μεταβολών και Τιμών:

Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση, χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών:

Γραφική Παράσταση:

Παριστάνοντας τα σημεία αυτά και ενώνοντάς τα με μια συνεχή γραμμή, προκύπτει η γραφική παράσταση της $y = \eta\mu x$ στο διάστημα $[0, 2\pi]$. Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$, η γραφική της παράσταση επαναλαμβάνεται στα διαστήματα $[2\pi, 4\pi]$, $[4\pi, 6\pi]$ κτλ. καθώς και στα $[-2\pi, 0]$, $[-4\pi, -2\pi]$ κτλ. Η γραφική παράσταση λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη.

Συμμετρία:

Γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα, δηλαδή $\eta\mu(-x) = -\eta\mu x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση $f(x) = \eta\mu x$ είναι περιττή συνάρτηση και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων $O(0,0)$.

Μελέτη της Συνάρτησης $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$ 📊

Επειδή η συνάρτηση $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$ είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $2\pi$, π.χ. το $[0, 2\pi]$.

Πίνακας Μεταβολών:

Πίνακας Τιμών:

Γραφική Παράσταση:

Σχεδιάζοντας τα σημεία και ενώνοντάς τα, παίρνουμε τη γραφική παράσταση της $y = \sigma\upsilon\nu x$ στο $[0, 2\pi]$. Λόγω της περιοδικότητας, η καμπύλη επαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα πλάτους $2\pi$.

Συμμετρία:

Γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο, δηλαδή $\sigma\upsilon\nu(-x) = \sigma\upsilon\nu x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση $f(x) = \sigma\upsilon\nu x$ είναι άρτια συνάρτηση και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y'y$. ↔️

Μελέτη της Συνάρτησης $f(x) = \varepsilon\phi x$ 📈📉

Επειδή η συνάρτηση $f(x) = \varepsilon\phi x$ είναι περιοδική με περίοδο $\pi$, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους $\pi$, π.χ. το $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση δεν ορίζεται στα $-\frac{\pi}{2}$ και $\frac{\pi}{2}$.

Μονοτονία:

Όταν το $x$ παίρνει τιμές από $-\frac{\pi}{2}$ προς το $\frac{\pi}{2}$, το σημείο Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά από το Β' προς το Β. Η τεταγμένη του σημείου Ε αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η $f(x) = \varepsilon\phi x$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. ⬆️

Ασύμπτωτες:

• Όταν το $x$ «τείνει» στο $-\frac{\pi}{2}$ από μεγαλύτερες τιμές, η $\varepsilon\phi x$ «τείνει» στο $-\infty$. Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία $x = -\frac{\pi}{2}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$.
• Όταν το $x$ «τείνει» στο $\frac{\pi}{2}$ από μικρότερες τιμές, η $\varepsilon\phi x$ «τείνει» στο $+\infty$. Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία $x = \frac{\pi}{2}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$.

Πίνακας Τιμών:

Γραφική Παράσταση:

Σχεδιάζοντας τα σημεία και λαμβάνοντας υπόψη τις ασύμπτωτες, παίρνουμε την καμπύλη της $y = \varepsilon\phi x$ στο $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Λόγω της περιοδικότητας ($\pi$), η ίδια καμπύλη επαναλαμβάνεται σε κάθε διάστημα της μορφής $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.

Συμμετρία:

Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της $f(x) = \varepsilon\phi x$ έχει κέντρο συμμετρίας το Ο, αφού $\varepsilon\phi(-x) = -\varepsilon\phi x$ (περιττή συνάρτηση).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Εύρεση Περιόδου ⏱️

Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης $f(x) = 2\ \eta\mu(3x + \frac{\pi}{4})$.

Λύση:

Η βασική συνάρτηση ημίτονο ($\eta\mu$) είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$.

Αναζητούμε τον μικρότερο θετικό αριθμό $T$ τέτοιον ώστε $f(x+T) = f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

Έχουμε:

Για να ισχύει $f(x+T) = f(x)$, η διαφορά στη φάση, $3T$, πρέπει να είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο της περιόδου $2\pi$ της συνάρτησης ημίτονο.

Δηλαδή, πρέπει να ισχύει:

Επειδή θέλουμε τον μικρότερο θετικό αριθμό $T$, επιλέγουμε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $k$, δηλαδή $k=1$.

Άρα, η περίοδος της συνάρτησης $f(x) = 2\ \eta\mu(3x + \frac{\pi}{4})$ είναι $T = \frac{2\pi}{3}$. ✅