Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο 📐

Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γίνει πιο εύκολος! 🎉 Μπορούμε να τους βρούμε χρησιμοποιώντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών από 0° μέχρι 90° (δηλαδή γωνιών του 1ου τεταρτημορίου). Ας δούμε πώς!

Θεωρούμε δύο γωνίες $\omega$ και $\omega'$ που οι τελικές πλευρές τους τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία $Μ$ και $Μ'$ αντίστοιχα.

Γωνίες αντίθετες 🔄

Αν οι γωνίες $\omega$ και $\omega'$ είναι αντίθετες, δηλαδή αν $\omega' = -\omega$ , τότε τα σημεία $Μ(x, y)$ και $Μ'(x, -y)$ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $x'x$ . Αυτό σημαίνει ότι έχουν την ίδια τετμημένη και αντίθετες τεταγμένες. 🤔

Με βάση τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών, έχουμε:

\begin{aligned} \text{συν}(-\omega) &= \text{συν}\omega \\ \text{ημ}(-\omega) &= -\text{ημ}\omega \\ \text{εφ}(-\omega) &= -\text{εφ}\omega \\ \text{σφ}(-\omega) &= -\text{σφ}\omega \end{aligned}

Συμπέρασμα

Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. 👍

Παραδείγματα:

✓ Έχουμε:

\begin{aligned} \text{ημ}(-30^\circ) &= -\text{ημ}(30^\circ) = -\frac{1}{2} \\ \text{συν}(-30^\circ) &= \text{συν}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{εφ}(-30^\circ) &= -\text{εφ}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \text{σφ}(-30^\circ) &= -\text{σφ}(30^\circ) = -\sqrt{3} \end{aligned}

✓ Επίσης, έχουμε:

\begin{aligned} \text{ημ}\left(-\frac{\pi}{4}\right) &= -\text{ημ}\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{συν}\left(-\frac{\pi}{4}\right) &= \text{συν}\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{εφ}\left(-\frac{\pi}{4}\right) &= -\text{εφ}\frac{\pi}{4} = -1 \\ \text{σφ}\left(-\frac{\pi}{4}\right) &= -\text{σφ}\frac{\pi}{4} = -1 \end{aligned}

Γωνίες με άθροισμα 180° ➕

Αν οι γωνίες $\omega$ και $\omega'$ έχουν άθροισμα 180°, δηλαδή αν $\omega' = 180^\circ - \omega$ , τότε τα σημεία $Μ(x, y)$ και $Μ'(-x, y)$ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα $y'y$ . Αυτό σημαίνει ότι έχουν την ίδια τεταγμένη και αντίθετες τετμημένες. 😮

Με βάση τους ορισμούς, συμπεραίνουμε ότι:

\begin{aligned} \text{ημ}(180^\circ - \omega) &= \text{ημ}\omega \\ \text{συν}(180^\circ - \omega) &= -\text{συν}\omega \\ \text{εφ}(180^\circ - \omega) &= -\text{εφ}\omega \\ \text{σφ}(180^\circ - \omega) &= -\text{σφ}\omega \end{aligned}

Συμπέρασμα

Οι γωνίες με άθροισμα 180° έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ✅

Παραδείγματα:

✓ Επειδή $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ , έχουμε:

\begin{aligned} \text{ημ}150^\circ &= \text{ημ}(180^\circ - 30^\circ) = \text{ημ}30^\circ = \frac{1}{2} \\ \text{συν}150^\circ &= \text{συν}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{συν}30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{εφ}150^\circ &= \text{εφ}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{εφ}30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \text{σφ}150^\circ &= \text{σφ}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{σφ}30^\circ = -\sqrt{3} \end{aligned}

✓ Επειδή $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ , έχουμε:

\begin{aligned} \text{ημ}\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \text{ημ}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \text{ημ}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{συν}\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \text{συν}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{συν}\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \\ \text{εφ}\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \text{εφ}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{εφ}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} \\ \text{σφ}\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \text{σφ}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{σφ}\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}

Γωνίες που διαφέρουν κατά 180° ↔️

Αν οι γωνίες $\omega$ και $\omega'$ διαφέρουν κατά 180°, δηλαδή αν $\omega' = 180^\circ + \omega$ , τότε τα σημεία $Μ(x, y)$ και $Μ'(-x, -y)$ είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων $Ο$ . Αυτό σημαίνει ότι έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες.

Με βάση τους ορισμούς, συμπεραίνουμε ότι:

\begin{aligned} \text{ημ}(180^\circ + \omega) &= -\text{ημ}\omega \\ \text{συν}(180^\circ + \omega) &= -\text{συν}\omega \\ \text{εφ}(180^\circ + \omega) &= \text{εφ}\omega \\ \text{σφ}(180^\circ + \omega) &= \text{σφ}\omega \end{aligned}

Συμπέρασμα

Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180° έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. ✔️

Παραδείγματα:

✓ Επειδή $210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$ , έχουμε:

\begin{aligned} \text{ημ}210^\circ &= \text{ημ}(180^\circ + 30^\circ) = -\text{ημ}30^\circ = -\frac{1}{2} \\ \text{συν}210^\circ &= \text{συν}(180^\circ + 30^\circ) = -\text{συν}30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{εφ}210^\circ &= \text{εφ}(180^\circ + 30^\circ) = \text{εφ}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \text{σφ}210^\circ &= \text{σφ}(180^\circ + 30^\circ) = \text{σφ}30^\circ = \sqrt{3} \end{aligned}

✓ Επειδή $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ , έχουμε:

\begin{aligned} \text{ημ}\left(\frac{4\pi}{3}\right) &= \text{ημ}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\text{ημ}\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{συν}\left(\frac{4\pi}{3}\right) &= \text{συν}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\text{συν}\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \\ \text{εφ}\left(\frac{4\pi}{3}\right) &= \text{εφ}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{εφ}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \\ \text{σφ}\left(\frac{4\pi}{3}\right) &= \text{σφ}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{σφ}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}

Γωνίες με άθροισμα 90° 📐✨

Αν οι γωνίες $\omega$ και $\omega'$ έχουν άθροισμα 90°, δηλαδή $\omega' = 90^\circ - \omega$ , τότε τα σημεία $Μ(x, y)$ και $Μ'(y, x)$ είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της γωνίας $xOy$ , δηλαδή την ευθεία $y=x$ . Επομένως, η τετμημένη του καθενός ισούται με την τεταγμένη του άλλου. 🤩

Με βάση τους ορισμούς, συμπεραίνουμε ότι:

\begin{aligned} \text{ημ}(90^\circ - \omega) &= \text{συν}\omega \\ \text{συν}(90^\circ - \omega) &= \text{ημ}\omega \\ \text{εφ}(90^\circ - \omega) &= \text{σφ}\omega \\ \text{σφ}(90^\circ - \omega) &= \text{εφ}\omega \end{aligned}

Συμπέρασμα

Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90°, τότε το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης. 💯

Παράδειγμα:

✓ Επειδή $60^\circ = 90^\circ - 30^\circ$ , έχουμε:

\begin{aligned} \text{ημ}60^\circ &= \text{συν}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \text{συν}60^\circ &= \text{ημ}30^\circ = \frac{1}{2} \\ \text{εφ}60^\circ &= \text{σφ}30^\circ = \sqrt{3} \\ \text{σφ}60^\circ &= \text{εφ}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}

Συγκεντρωτικός πίνακας 📋

Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει όλες τις περιπτώσεις αναγωγής στο 1ο τεταρτημόριο που είδαμε:

Σχέση γωνιών	ημ	συν	εφ	σφ
$-\omega$ (αντίθετες)	$-\text{ημ}\omega$	$\text{συν}\omega$	$-\text{εφ}\omega$	$-\text{σφ}\omega$
$180^\circ - \omega$	$\text{ημ}\omega$	$-\text{συν}\omega$	$-\text{εφ}\omega$	$-\text{σφ}\omega$
$180^\circ + \omega$	$-\text{ημ}\omega$	$-\text{συν}\omega$	$\text{εφ}\omega$	$\text{σφ}\omega$
$90^\circ - \omega$	$\text{συν}\omega$	$\text{ημ}\omega$	$\text{σφ}\omega$	$\text{εφ}\omega$

Προσοχή στο πρόσημο

Το πιο συχνό λάθος είναι να ξεχνάμε το πρόσημο μπροστά από τον τριγωνομετρικό αριθμό. Θυμήσου: στις περιπτώσεις $180^\circ - \omega$ και $180^\circ + \omega$ το είδος του αριθμού (ημ, συν, εφ, σφ) δεν αλλάζει, ενώ στην περίπτωση $90^\circ - \omega$ ο τριγωνομετρικός αριθμός μετατρέπεται στον συνημιτονοειδή του (ημ ↔ συν, εφ ↔ σφ). Το πρόσημο καθορίζεται πάντα από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η αρχική γωνία $\omega$ .