Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 📐

Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας $ω$ , προκύπτουν κάποιες σχέσεις που τους συνδέουν. Αυτές οι σχέσεις λέγονται τριγωνομετρικές ταυτότητες και είναι πολύ χρήσιμες! ✨

Ας δούμε τις βασικές.

1. Η θεμελιώδης ταυτότητα $ημ^2ω + συν^2ω = 1$ 🎉

ημ^2ω + συν^2ω = 1

Απόδειξη

Αν $Μ(x, y)$ είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας $ω$ τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε ισχύει:

$x = συνω$ και $y = ημω$

Επειδή η ακτίνα του κύκλου είναι $(ΟΜ) = 1$ , από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο που σχηματίζεται με τους άξονες, έχουμε:

(ΟΜ)^2 = |x|^2 + |y|^2 = x^2 + y^2

Αφού $(ΟΜ) = 1$ , ισχύει:

x^2 + y^2 = 1

Αντικαθιστώντας τα $x$ και $y$ , παίρνουμε:

συν^2ω + ημ^2ω = 1 \quad ✅

2. Οι ταυτότητες $εφω = \frac{ημω}{συνω}$ και $σφω = \frac{συνω}{ημω}$ 🤔

Απόδειξη

Στο ίδιο σημείο $Μ(x, y)$ του τριγωνομετρικού κύκλου, έχουμε:

εφω = \frac{y}{x} = \frac{ημω}{συνω} \quad (εφόσον\ x = συνω \neq 0)

σφω = \frac{x}{y} = \frac{συνω}{ημω} \quad (εφόσον\ y = ημω \neq 0)

Προσοχή!

Η $εφω$ δεν ορίζεται όταν $συνω = 0$ .

Η $σφω$ δεν ορίζεται όταν $ημω = 0$ .

3. Η ταυτότητα $εφω \cdot σφω = 1$ 🤝

Απόδειξη

Είναι:

εφω = \frac{ημω}{συνω} \quad \text{και} \quad σφω = \frac{συνω}{ημω} \quad (εφόσον\ συνω \neq 0\ \text{και}\ ημω \neq 0)

Επομένως:

εφω \cdot σφω = \frac{ημω}{συνω} \cdot \frac{συνω}{ημω} = 1 \quad 👍

4. Οι ταυτότητες $συν^2ω = \frac{1}{1 + εφ^2ω}$ και $ημ^2ω = \frac{εφ^2ω}{1 + εφ^2ω}$ 🤓

Απόδειξη

i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας $ημ^2ω + συν^2ω = 1$ με $συν^2ω \neq 0$ και έχουμε:

\frac{ημ^2ω}{συν^2ω} + \frac{συν^2ω}{συν^2ω} = \frac{1}{συν^2ω}

\implies εφ^2ω + 1 = \frac{1}{συν^2ω}

\implies συν^2ω = \frac{1}{1 + εφ^2ω}

ii) Αν στην ταυτότητα $ημ^2ω + συν^2ω = 1$ θέσουμε $συν^2ω = \frac{1}{1 + εφ^2ω}$ , έχουμε:

ημ^2ω + \frac{1}{1 + εφ^2ω} = 1

\implies ημ^2ω = 1 - \frac{1}{1 + εφ^2ω}

\implies ημ^2ω = \frac{(1 + εφ^2ω) - 1}{1 + εφ^2ω}

\implies ημ^2ω = \frac{εφ^2ω}{1 + εφ^2ω}

Χρήσιμο Tip!

Αυτές οι ταυτότητες μας επιτρέπουν να βρίσκουμε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε μόνο έναν από αυτούς και το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία! 🧭

Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 📐

1. Η θεμελιώδης ταυτότητα ημ2ω+συν2ω=1ημ^2ω + συν^2ω = 1ημ2ω+συν2ω=1 🎉

2. Οι ταυτότητες εφω=ημωσυνωεφω = \frac{ημω}{συνω}εφω=συνωημω​ και σφω=συνωημωσφω = \frac{συνω}{ημω}σφω=ημωσυνω​ 🤔

3. Η ταυτότητα εφω⋅σφω=1εφω \cdot σφω = 1εφω⋅σφω=1 🤝

4. Οι ταυτότητες συν2ω=11+εφ2ωσυν^2ω = \frac{1}{1 + εφ^2ω}συν2ω=1+εφ2ω1​ και ημ2ω=εφ2ω1+εφ2ωημ^2ω = \frac{εφ^2ω}{1 + εφ^2ω}ημ2ω=1+εφ2ωεφ2ω​ 🤓

1. Η θεμελιώδης ταυτότητα $ημ^2ω + συν^2ω = 1$ 🎉

2. Οι ταυτότητες $εφω = \frac{ημω}{συνω}$ και $σφω = \frac{συνω}{ημω}$ 🤔

3. Η ταυτότητα $εφω \cdot σφω = 1$ 🤝

4. Οι ταυτότητες $συν^2ω = \frac{1}{1 + εφ^2ω}$ και $ημ^2ω = \frac{εφ^2ω}{1 + εφ^2ω}$ 🤓