Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας 📐

Έστω μια οξεία γωνία $ω$. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $OM_1M$ με γωνία $Μ_1\hat{O}Μ = ω$, ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας $ω$ ως εξής:

• Ημίτονο (ημω):

  $$ημω = \frac{(MM_1)}{(OM)} = \frac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$$

• Συνημίτονο (συνω):

  $$συνω = \frac{(OM_1)}{(OM)} = \frac{\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}$$

• Εφαπτομένη (εφω):

  $$εφω = \frac{(MM_1)}{(OM_1)} = \frac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{προσκείμενη κάθετη}}$$

Οι λόγοι αυτοί είναι σταθεροί για μια δεδομένη γωνία $ω$, ανεξάρτητα από το σημείο Μ που θα επιλέξουμε πάνω στην πλευρά της.

Συνεφαπτομένη Οξείας Γωνίας 🤓

Ορίζουμε επίσης τη συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας $ω$, την οποία συμβολίζουμε με σφω, ως το σταθερό πηλίκο:

Παρατηρούμε ότι $σφω = \frac{1}{εφω}$, εφόσον $εφω \neq 0$.

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας $ω$, με $0^\circ \le ω \le 360^\circ$ 🔄

Έστω ένα σύστημα συντεταγμένων $Oxy$. Μια ημιευθεία $Ot$ περιστρέφεται γύρω από το $O$ από την αρχική της θέση $Ox$ (αρχική πλευρά) κατά τη θετική φορά, μέχρι να σχηματίσει γωνία $ω$ (τελική πλευρά).

Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο $M(x, y)$ στην τελική πλευρά $Ot$. Η απόσταση του $M$ από το $O$ είναι $ρ = (OM) = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$.

Τότε, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $ω$ ορίζονται ως εξής:

• $ημω = \dfrac{y}{ρ}$
• $συνω = \dfrac{x}{ρ}$
• $εφω = \dfrac{y}{x}$ (εφόσον $x \neq 0$)
• $σφω = \dfrac{x}{y}$ (εφόσον $y \neq 0$)

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνιών Μεγαλύτερων των 360° και Αρνητικών Γωνιών ➕➖

• Γωνίες > 360°: Μια γωνία $ω$ μεγαλύτερη από 360° σχηματίζεται όταν η ημιευθεία $Ox$ περιστρέφεται θετικά, συμπληρώνει μια ή περισσότερες πλήρεις περιστροφές ($ν \cdot 360^\circ$) και επιπλέον διαγράφει μια γωνία $μ$ ($0^\circ \le μ < 360^\circ$). Η γωνία αυτή έχει τη μορφή:

  $$ω = ν \cdot 360^\circ + μ, \quad όπου \; ν \in \mathbb{N}^* \; και \; 0^\circ \le μ < 360^\circ$$

  Παράδειγμα: $390^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 30^\circ$

• Αρνητικές Γωνίες: Μια αρνητική γωνία σχηματίζεται όταν η ημιευθεία $Ox$ περιστρέφεται κατά την αρνητική φορά. Η γωνία αυτή έχει τη μορφή:

  $$ω = -(ν \cdot 360^\circ + μ), \quad όπου \; ν \in \mathbb{N} \; και \; 0^\circ \le μ < 360^\circ$$

  Παράδειγμα: $-390^\circ = -(1 \cdot 360^\circ + 30^\circ)$

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αυτών των γωνιών ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τις γωνίες από 0° μέχρι 360°.

Περιοδικότητα Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων 🔁

Αν θεωρήσουμε μια γωνία $ω$ (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά την $Ox$:

• Περιστρέφοντας την ημιευθεία $Ox$ κατά τη θετική φορά, αν συμπληρώσει $k$ πλήρεις στροφές ($k \in \mathbb{Z}$) και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία $ω$, θα έχει διαγράψει γωνία $k \cdot 360^\circ + ω$.
• Περιστρέφοντας την ημιευθεία $Ox$ κατά την αρνητική φορά, αν συμπληρώσει $k$ πλήρεις στροφές ($k \in \mathbb{Z}$) και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία $-ω$, θα έχει διαγράψει γωνία $-k \cdot 360^\circ - ω$.

Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής $k \cdot 360^\circ + ω$, με $k \in \mathbb{Z}$, επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία $ω$, έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Επομένως, για κάθε $k \in \mathbb{Z}$ ισχύει:

• $ημ(k \cdot 360^\circ + ω) = ημω$
• $συν(k \cdot 360^\circ + ω) = συνω$
• $εφ(k \cdot 360^\circ + ω) = εφω$
• $σφ(k \cdot 360^\circ + ω) = σφω$

Ο Τριγωνομετρικός Κύκλος ⭕

Για έναν πιο εύκολο υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Ορισμός: Είναι ένας κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων $O(0,0)$ και ακτίνα $ρ = 1$.

Έστω ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας $ω$ τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο $M(x, y)$. Επειδή $ρ = 1$, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $ω$ απλοποιούνται:

• $ημω = \dfrac{y}{ρ} = \dfrac{y}{1} = y$ (η τεταγμένη του σημείου Μ)
• $συνω = \dfrac{x}{ρ} = \dfrac{x}{1} = x$ (η τετμημένη του σημείου Μ)
• $εφω = \dfrac{y}{x}$
• $σφω = \dfrac{x}{y}$

Παράδειγμα: Αν $ω = 35^\circ$, και η τελική πλευρά τέμνει τον κύκλο στο $N(α, β)$, τότε $ημ35^\circ = β$ και $συν35^\circ = α$.

Γι' αυτό, ο άξονας $x'x$ λέγεται άξονας των συνημιτόνων και ο άξονας $y'y$ λέγεται άξονας των ημιτόνων.

Σημαντικό συμπέρασμα: Επειδή τα σημεία $M(x, y)$ του τριγωνομετρικού κύκλου έχουν τετμημένες $x$ και τεταγμένες $y$ στο διάστημα $[-1, 1]$, ισχύει:

Πρόσημα Τριγωνομετρικών Αριθμών ➕➖

Το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας $ω$ εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας.

Το Ακτίνιο (rad) ως Μονάδα Μέτρησης Γωνιών 📏

Ορισμός: Ένα ακτίνιο (1 rad) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου.

Σχέση μοίρας - ακτινίου:

• Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας $ρ$ είναι $2πρ$.

• Μια γωνία $360^\circ$ βαίνει σε τόξο μήκους $2πρ$.

• Μια γωνία $1$ rad βαίνει σε τόξο μήκους $ρ$.

• Επομένως, η γωνία $360^\circ$ είναι ίση με $2π$ rad:

  $$360^\circ = 2π \text{ rad}$$

Από αυτό προκύπτει:

• $1 \text{ rad} = \dfrac{360^\circ}{2π} = \dfrac{180^\circ}{π} \approx 57.3^\circ$
• $1^\circ = \dfrac{2π}{360} = \dfrac{π}{180} \text{ rad}$

Τύπος μετατροπής: Αν μια γωνία είναι $α$ rad και $μ^\circ$, τότε ισχύει ο τύπος:

Παραδείγματα Μετατροπής Μοιρών - Ακτινίων 🔄

1. Μετατροπή 60° σε ακτίνια:

Χρησιμοποιούμε τον τύπο $\frac{α}{π} = \frac{μ}{180}$. Θέτουμε $μ = 60^\circ$:

Άρα, $60^\circ = \frac{π}{3} \text{ rad}$.

2. Μετατροπή $\frac{5π}{6}$ rad σε μοίρες:

Χρησιμοποιούμε τον τύπο $\frac{α}{π} = \frac{μ}{180}$. Θέτουμε $α = \frac{5π}{6}$:

Άρα, $\frac{5π}{6} \text{ rad} = 150^\circ$.

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Βασικών Γωνιών 🔢

Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μερικών βασικών γωνιών: