Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης 📈

Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης ⬆️⬇️

Μετατόπιση προς τα πάνω

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = |x| + 1$.

Επειδή

η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = |x| + 1$ θα αποτελείται από τις ημιευθείες $y = -x + 1$, με $x \le 0$ και $y = x + 1$, με $x \ge 0$, που έχουν αρχή το σημείο $(0, 1)$ και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών $x'Oy$ και $xOy$ αντίστοιχα.

Αυτές οι ημιευθείες αποτελούν τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$.

Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$ κατακόρυφα και προς τα πάνω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της $f(x) = |x| + 1$. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει:

που σημαίνει ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ το $f(x)$ είναι κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο του $\phi(x)$.

Μετατόπιση προς τα κάτω

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = |x| - 1$.

Επειδή

η γραφική παράσταση της $f(x) = |x| - 1$ θα αποτελείται από τις ημιευθείες $y = -x - 1$, με $x \le 0$ και $y = x - 1$, με $x \ge 0$, που έχουν αρχή το σημείο $(0, -1)$ και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών $x'Oy$ και $xOy$ αντίστοιχα.

Αυτές οι ημιευθείες αποτελούν τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$.

Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$ κατακόρυφα και προς τα κάτω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της $f(x) = |x| - 1$. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει:

που σημαίνει ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ το $f(x)$ είναι κατά 1 μονάδα μικρότερο του $\phi(x)$.

Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης ⬅️➡️

Μετατόπιση προς τα δεξιά

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = |x - 1|$. Επειδή

η γραφική παράσταση της $f(x) = |x - 1|$ θα αποτελείται από τις ημιευθείες $y = -x + 1$, με $x \le 1$ και $y = x - 1$, με $x \ge 1$, που έχουν αρχή το σημείο $(1, 0)$ και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών $x'Oy$ και $xOy$ αντίστοιχα. Αυτές οι ημιευθείες αποτελούν τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$.

Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$ οριζόντια και προς τα δεξιά κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της $f(x) = |x - 1|$. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει:

που σημαίνει ότι η τιμή της $f(x) = |x - 1|$ στη θέση $x$ είναι ίδια με την τιμή της $\phi(x) = |x|$ στη θέση $x - 1$.

Πράγματι, επειδή $f(x) = \phi(x - c)$, η τιμή της $f$ στη θέση $x$ είναι ίδια με την τιμή της $\phi$ στη θέση $x - c$, που βρίσκεται $c$ μονάδες αριστερότερα της θέσης $x$. Άρα, η γραφική παράσταση της $f$ θα βρίσκεται $c$ μονάδες δεξιότερα της γραφικής παράστασης της $\phi$.

Μετατόπιση προς τα αριστερά

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = |x + 1|$. Επειδή

η γραφική παράσταση της $f(x) = |x + 1|$ θα αποτελείται από τις ημιευθείες $y = -x - 1$, με $x \le -1$ και $y = x + 1$, με $x \ge -1$, που έχουν αρχή το σημείο $(-1, 0)$ και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών $x'Oy$ και $xOy$ αντίστοιχα. Αυτές οι ημιευθείες αποτελούν τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$.

Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της $\phi(x) = |x|$ οριζόντια και προς τα αριστερά κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της $f(x) = |x + 1|$. Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει:

που σημαίνει ότι η τιμή της $f(x) = |x + 1|$ στη θέση $x$ είναι ίδια με την τιμή της $\phi(x) = |x|$ στη θέση $x + 1$.

Πράγματι, επειδή $f(x) = \phi(x + c)$, η τιμή της $f$ στη θέση $x$ είναι ίδια με την τιμή της $\phi$ στη θέση $x + c$, που βρίσκεται $c$ μονάδες δεξιότερα της θέσης $x$. Άρα, η γραφική παράσταση της $f$ θα βρίσκεται $c$ μονάδες αριστερότερα της γραφικής παράστασης της $\phi$.

Εφαρμογή 💡

Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $f(x) = |x + 3| + 2$.

Λύση

Αρχικά χαράσσουμε την $y = |x + 3|$, που όπως είδαμε προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της $y = |x|$ κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά ⬅️.

Στη συνέχεια χαράσσουμε την $y = |x + 3| + 2$, που όπως είδαμε προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της $y = |x + 3|$ κατά 2 μονάδες προς τα πάνω ⬆️.

Σύνοψη μετατοπίσεων 📋