Ακρότατα Συνάρτησης 🏔️

Ολικό Ελάχιστο

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση $f$ , με πεδίο ορισμού ένα σύνολο $Α$ , λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ (ολικό) ελάχιστο όταν:

f(x) \ge f(x_0) \text{, για κάθε } x \in A

Το $x_0 \in A$ λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το $f(x_0)$ ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης $f$ και το συμβολίζουμε με $\min f(x)$ .

Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = 3x^4 + 1$ . Επειδή:

x^4 \ge 0 \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

θα είναι:

3x^4 \ge 0 \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

οπότε θα έχουμε:

3x^4 + 1 \ge 1 \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

Επομένως:

f(x) \ge f(0) \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

Άρα, η $f$ παρουσιάζει ελάχιστο στο $x_0 = 0$ , το $f(0) = 1$ 👍.

Ολικό Μέγιστο

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση $f$ , με πεδίο ορισμού ένα σύνολο $Α$ , λέμε ότι παρουσιάζει στο $x_0 \in A$ (ολικό) μέγιστο όταν:

f(x) \le f(x_0) \text{, για κάθε } x \in A

Το $x_0 \in A$ λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το $f(x_0)$ ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της $f$ και το συμβολίζουμε με $\max f(x)$ .

Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = -3x^4 + 1$ . Επειδή:

x^4 \ge 0 \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

θα είναι:

-3x^4 \le 0 \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

οπότε θα έχουμε:

-3x^4 + 1 \le 1 \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

Επομένως:

f(x) \le f(0) \text{, για κάθε } x \in \mathbb{R}

Άρα, η $f$ παρουσιάζει μέγιστο στο $x_0 = 0$ , το $f(0) = 1$ 🎉.

Ολικά Ακρότατα

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής.

Σχόλιο

Μια συνάρτηση ενδέχεται:

Να έχει και μέγιστο και ελάχιστο.
Να έχει μόνο ελάχιστο.
Να έχει μόνο μέγιστο.
Να μην έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.