Μονοτονία συνάρτησης 📈

Γνησίως αύξουσα συνάρτηση ⬆️

Μια συνάρτηση $f$ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $\Delta$ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \Delta$ με $x_1 < x_2$ ισχύει:

f(x_1) < f(x_2)

Δηλαδή, όσο μεγαλώνει το $x$ , τόσο μεγαλώνει και η τιμή $f(x)$ . Για να δηλώσουμε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\Delta$ , γράφουμε $f \uparrow \Delta$ .

Πώς διαβάζεται ο συμβολισμός

Το βέλος $\uparrow$ στο $f \uparrow \Delta$ θυμίζει ακριβώς αυτό που συμβαίνει στη γραφική παράσταση: καθώς προχωράμε προς τα δεξιά στο διάστημα $\Delta$ , η καμπύλη «ανεβαίνει».

Παράδειγμα: Η συνάρτηση $f(x) = 2x - 3$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Πράγματι, έστω $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ με $x_1 < x_2$ . Τότε έχουμε:

x_1 < x_2 \Rightarrow 2x_1 < 2x_2 \Rightarrow 2x_1 - 3 < 2x_2 - 3 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Γενικά: Η συνάρτηση $f(x) = \alpha x + \beta$ , με $\alpha > 0$ , είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . ✅

Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση ⬇️

Σε ένα παράδειγμα θερμοκρασίας, στο διάστημα $[16, 24]$ , παρατηρούμε ότι καθώς ο χρόνος $t$ αυξάνεται, η θερμοκρασία $T$ μειώνεται. 🌡️

Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε $t_1, t_2 \in [16, 24]$ με $t_1 < t_2$ , ισχύει $f(t_1) > f(t_2)$ . Λέμε ότι η συνάρτηση $T = f(t)$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[16, 24]$ .

Μια συνάρτηση $f$ λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα $\Delta$ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \Delta$ με $x_1 < x_2$ ισχύει:

f(x_1) > f(x_2)

Δηλαδή, όσο μεγαλώνει το $x$ , τόσο μικραίνει η τιμή $f(x)$ . Για να δηλώσουμε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\Delta$ , γράφουμε $f \downarrow \Delta$ .

Παράδειγμα: Η συνάρτηση $f(x) = -2x + 5$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .

Πράγματι, έστω $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ με $x_1 < x_2$ . Τότε έχουμε:

x_1 < x_2 \Rightarrow -2x_1 > -2x_2 \Rightarrow -2x_1 + 5 > -2x_2 + 5 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Γενικά: Η συνάρτηση $f(x) = \alpha x + \beta$ , με $\alpha < 0$ , είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ . ❎

Γνησίως μονότονη συνάρτηση 🔄

Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα $\Delta$ λέγεται γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .

Μη μπερδεύεις τα δύο είδη

Μια συνάρτηση δεν είναι πάντα το ένα ή το άλλο σε όλο της το πεδίο ορισμού· μπορεί να είναι αύξουσα σε ένα διάστημα και φθίνουσα σε άλλο. Η μονοτονία δηλώνεται πάντα σε συγκεκριμένο διάστημα $\Delta$ , όχι γενικά «για τη συνάρτηση».