Μη Γραμμικά Συστήματα 📐

Η επίλυση πολλών προβλημάτων οδηγεί συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων των οποίων ζητάμε τις κοινές λύσεις, αλλά οι εξισώσεις αυτές δεν είναι όλες γραμμικές. 🤔 Ένα σύστημα που περιέχει τουλάχιστον μία εξίσωση 2ου βαθμού (ή ανώτερου) λέγεται μη γραμμικό σύστημα.

🎯 Το πρόβλημα

Έστω ότι ζητάμε δύο αριθμούς με άθροισμα 13 και άθροισμα τετραγώνων 89.

Αν $x$ , $y$ είναι οι δύο αριθμοί, τότε πρέπει $x + y = 13$ και $x^2 + y^2 = 89$ . Επειδή ζητάμε κοινές λύσεις των δύο εξισώσεων, έχουμε το σύστημα:

\begin{cases} x + y = 13 & (1) \\ x^2 + y^2 = 89 & (2) \end{cases}

🧩 Επίλυση με αντικατάσταση

Για τη λύση του συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: επιλύουμε την $(1)$ ως προς έναν άγνωστο, π.χ. ως προς $y$ , και αντικαθιστούμε στη $(2)$ .

Έχουμε:

x + y = 13 \Leftrightarrow y = 13 - x \quad (3)

Επομένως:

x^2 + (13 - x)^2 = 89 \Leftrightarrow x^2 + 169 - 26x + x^2 = 89

\Leftrightarrow 2x^2 - 26x + 80 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 13x + 40 = 0

Η τελευταία εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα $\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$ . Επομένως:

x = \frac{-(-13) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 3}{2}

Άρα, $x = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$ ή $x = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

Από την $(3)$ , για $x = 8$ έχουμε $y = 13 - 8 = 5$ , ενώ για $x = 5$ έχουμε $y = 13 - 5 = 8$ . ✅

Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις τις $(8, 5)$ και $(5, 8)$ .

Ο ρόλος της αντικατάστασης

Η μέθοδος αντικατάστασης δουλεύει επειδή μετατρέπει το σύστημα δύο αγνώστων σε μία εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία ήδη ξέρουμε να λύνουμε. Αυτή η λογική —«μείωσε τους αγνώστους»— είναι το κλειδί για την επίλυση κάθε μη γραμμικού συστήματος.

✅ Η απάντηση στο πρόβλημα

Η απάντηση στο πρόβλημα είναι ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 5 και 8. 🎉

Μην ξεχνάς τον έλεγχο

Όταν βρίσκεις τις λύσεις ενός μη γραμμικού συστήματος, πρέπει να επιστρέφεις πάντα στην αρχική σχέση (εδώ την $(3)$ ) για να υπολογίσεις τον δεύτερο άγνωστο, και όχι να υποθέτεις τιμές. Έλεγξε επίσης ότι κάθε ζεύγος $(x, y)$ που βρήκες επαληθεύει και τις δύο αρχικές εξισώσεις.

Στη συνέχεια θα δούμε, με τη βοήθεια παραδειγμάτων, διάφορες περιπτώσεις επίλυσης μη γραμμικών συστημάτων.