Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Η Λογαριθμική Συνάρτηση 📈

Έστω \(a\) ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας (\(0 < a \neq 1\)).

Για κάθε \(x > 0\), ορίζεται ο \(log_a x\).

Αντιστοιχίζοντας κάθε \(x \in (0, +\infty)\) στο \(log_a x\), ορίζουμε τη συνάρτηση:

\(f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}\) με \(f(x) = log_a x\)

Η συνάρτηση αυτή λέγεται **λογαριθμική συνάρτηση** με βάση \(a\).

💡 **Βασική Ισοδυναμία:**

\(log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x\)

(για \(x > 0\) και \(0 < a \neq 1\))

# Γραφικές Παραστάσεις 📉📈

Η λογαριθμική συνάρτηση \(f(x) = log_a x\) είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης \(y = a^x\).

Αν το σημείο \(M(\xi, \eta)\) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της \(y = log_a x\), τότε το \(N(\eta, \xi)\) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της \(y = a^x\) και αντίστροφα.

Τα σημεία \(M(\xi, \eta)\) και \(N(\eta, \xi)\) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες \(xOy\) και \(x'Oy'\) (δηλαδή την ευθεία \(y = x\)).

🔑 **Συμπέρασμα:**

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(y = log_a x\) και \(y = a^x\) είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία \(y = x\).

# Ιδιότητες της \(log_a x\) (Όταν \(a > 1\)) 🧐

Από τη συμμετρία με την εκθετική συνάρτηση \(f(x) = a^x\) (όπου \(a > 1\)), προκύπτουν οι ιδιότητες της \(g(x) = log_a x\):

*   **Πεδίο ορισμού:** Το διάστημα \((0, +\infty)\).
*   **Σύνολο τιμών:** Το σύνολο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών.
*   **Μονοτονία:** Είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή:
    Αν \(x_1 < x_2\), τότε \(log_a x_1 < log_a x_2\).
*   **Πρόσημο:**
    *   \(log_a x < 0\), αν \(0 < x < 1\)
    *   \(log_a x > 0\), αν \(x > 1\)
*   **Γραφική παράσταση:**
    *   Τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(A(1, 0)\).
    *   Έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των y (\(Oy'\)).

# Ιδιότητες της \(log_a x\) (Όταν \(0 < a < 1\)) 🤔

Από τη συμμετρία με την εκθετική συνάρτηση \(f(x) = a^x\) (όπου \(0 < a < 1\)), προκύπτουν οι ιδιότητες της \(g(x) = log_a x\):

*   **Πεδίο ορισμού:** Το διάστημα \((0, +\infty)\).
*   **Σύνολο τιμών:** Το σύνολο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών.
*   **Μονοτονία:** Είναι γνησίως φθίνουσα. Δηλαδή:
    Αν \(x_1 < x_2\), τότε \(log_a x_1 > log_a x_2\).
*   **Πρόσημο:**
    *   \(log_a x > 0\), αν \(0 < x < 1\)
    *   \(log_a x < 0\), αν \(x > 1\)
*   **Γραφική παράσταση:**
    *   Τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(A(1, 0)\).
    *   Έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα των y (\(Oy\)).

# Μονοτονία και Ισότητα Λογαρίθμων ⚖️

Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης \(f(x) = log_a x\) προκύπτει ότι:

Αν \(x_1 \neq x_2\), τότε \(log_a x_1 \neq log_a x_2\)

Αυτό σημαίνει ότι, αν οι λογάριθμοι δύο αριθμών (με την ίδια βάση) είναι ίσοι, τότε και οι αριθμοί είναι ίσοι. Δηλαδή, ισχύει η ισοδυναμία:

\(log_a x_1 = log_a x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2\)

✅ **Χρήση:** Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων όπου ο άγνωστος εμφανίζεται μέσα σε λογάριθμο. Τέτοιες εξισώσεις λέγονται **λογαριθμικές εξισώσεις**.

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Γραφικές Παραστάσεις ✏️

**Στόχος:** Να παρασταθούν γραφικά στο ίδιο σύστημα αξόνων οι συναρτήσεις:

i) \(φ(x) = ln x\)

ii) \(f(x) = ln x + 1\)

iii) \(g(x) = ln(x - 2)\)

**Λύση:**

1.  **Κατασκευή πίνακα τιμών για \(φ(x) = ln x\):**

    | x    | 0,2  | 0,3  | 0,5  | 0,7  | 1 | 2   | 3   | 4   | 5   |
    | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :- | :-- | :-- | :-- | :-- |
    | y=lnx | -1,6 | -1,2 | -0,7 | -0,4 | 0 | 0,7 | 1,1 | 1,4 | 1,6 |

2.  **Σχεδιασμός της \(φ(x) = ln x\):** Τοποθετώντας τα σημεία \((x, y)\) του πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη, βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της \(φ(x) = ln x\).

3.  **Σχεδιασμός της \(f(x) = ln x + 1\):** Η γραφική παράσταση της \(f(x)\) προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(φ(x) = ln x\) κατά 1 μονάδα προς τα πάνω. ⬆️

4.  **Σχεδιασμός της \(g(x) = ln(x - 2)\):** Η γραφική παράσταση της \(g(x)\) προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(φ(x) = ln x\) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά. ➡️

Βασική Θεωρία

# Η Λογαριθμική Συνάρτηση 📈

Έστω \(α\) ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας (\(α > 0\) και \(α \neq 1\)). Όπως είδαμε προηγουμένως, για κάθε \(x > 0\) ορίζεται ο \(\log_α x\). Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε \(x \in (0, +\infty)\) στο \(\log_α x\), ορίζουμε τη συνάρτηση:

\(f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) με \(f(x) = \log_α x\)

Η συνάρτηση αυτή λέγεται **λογαριθμική συνάρτηση** με βάση \(α\).

Ας θεωρήσουμε τη λογαριθμική συνάρτηση \(f(x) = \log_α x\). Επειδή \(\log_α x = y \Leftrightarrow a^y = x\), αν το σημείο \(Μ(ξ, η)\) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(y = \log_α x\), τότε το \(Ν(η, ξ)\) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(y = a^x\) και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, \(Μ(ξ, η)\) και \(Ν(η, ξ)\) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες \(xÔy\) και \(x'Ôy'\) (δηλαδή την ευθεία \(y=x\)).

Επομένως:

<Fact title='Συμμετρία Γραφημάτων'>
  Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(y = \log_α x\) και \(y = a^x\) είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία \(y=x\) που διχοτομεί τις γωνίες \(xÔy\) και \(x'Ôy'\). ✨
</Fact>

Αν λάβουμε υπόψη την παραπάνω συμμετρία και όσα μάθαμε για την εκθετική συνάρτηση \(F(x) = a^x\), καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα για τη λογαριθμική συνάρτηση \(g(x) = \log_α x\):

**Περίπτωση 1: \(a > 1\) 👍**

*   Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα \((0, +\infty)\).
*   Έχει σύνολο τιμών το σύνολο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών.
*   Είναι <Tooltip><TooltipTrigger>γνησίως αύξουσα</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα όταν για οποιαδήποτε \(x_1, x_2\) στο πεδίο ορισμού της με \(x_1 < x_2\), ισχύει \(f(x_1) < f(x_2)\).</TooltipContent></Tooltip>, που σημαίνει ότι αν \(x_1 < x_2\), τότε \(\log_α x_1 < \log_α x_2\).
    *   Απ' όπου προκύπτει ότι: \(\log_α x < 0\), αν \(0 < x < 1\) και \(\log_α x > 0\), αν \(x > 1\).
*   Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(Α(1, 0)\) και έχει <Tooltip><TooltipTrigger>ασύμπτωτο</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια ευθεία που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης την πλησιάζει συνεχώς καθώς η μεταβλητή τείνει στο άπειρο ή σε κάποιο σημείο, χωρίς όμως ποτέ να την τέμνει.</TooltipContent></Tooltip> τον ημιάξονα \(Oy'\) (τον αρνητικό ημιάξονα των y).

**Περίπτωση 2: \(0 < a < 1\) 👎**

*   Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα \((0, +\infty)\).
*   Έχει σύνολο τιμών το σύνολο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών.
*   Είναι <Tooltip><TooltipTrigger>γνησίως φθίνουσα</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα όταν για οποιαδήποτε \(x_1, x_2\) στο πεδίο ορισμού της με \(x_1 < x_2\), ισχύει \(f(x_1) > f(x_2)\).</TooltipContent></Tooltip>, που σημαίνει ότι: αν \(x_1 < x_2\), τότε \(\log_α x_1 > \log_α x_2\).
    *   Απ' όπου προκύπτει ότι: \(\log_α x > 0\), αν \(0 < x < 1\) και \(\log_α x < 0\), αν \(x > 1\).
*   Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(Α(1, 0)\) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα \(Oy'\) (τον αρνητικό ημιάξονα των y).

Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι:

αν \(x_1 \neq x_2\), τότε \(\log_α x_1 \neq \log_α x_2\)

οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι:

αν \(\log_α x_1 = \log_α x_2\), τότε \(x_1 = x_2\)

Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:

\(\log_α x_1 = \log_α x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2\)

<Alert title='Προσοχή!'>
  Η παραπάνω ιδιότητα \(\log_α x_1 = \log_α x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2\) είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων. 💡
</Alert>

**Λογαριθμικές Εξισώσεις**

Εξισώσεις όπως η προηγούμενη, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στο λογάριθμο, λέγονται **λογαριθμικές εξισώσεις**.

*Παράδειγμα Επίλυσης:*

Να λυθεί η εξίσωση \(\log_2(x^2 - 1) = 3\).

Λύση:
Η εξίσωση γράφεται:
\(\log_2(x^2 - 1) = 3 \Leftrightarrow \log_2(x^2 - 1) = \log_2 2^3\)  (Εκφράζουμε το 3 ως λογάριθμο με βάση 2)
\(\Leftrightarrow \log_2(x^2 - 1) = \log_2 8\)
\(\Leftrightarrow x^2 - 1 = 8\)  (Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \(\log_α x_1 = \log_α x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2\))
\(\Leftrightarrow x^2 = 9\)
\(\Leftrightarrow x = 3\) ή \(x = -3\)

Οι λύσεις είναι \(x=3\) και \(x=-3\). ✅

## ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ✍️

**Εφαρμογή 1**

Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις:
i) \(φ(x) = \ln x\)
ii) \(f(x) = \ln x + 1\)
iii) \(g(x) = \ln(x - 2)\)

**ΛΥΣΗ**

Για τη γραφική παράσταση της \(φ(x) = \ln x\) κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών:

| x    | 0,2  | 0,3  | 0,5  | 0,7  | 1 | 2   | 3   | 4   | 5   |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :- | :-- | :-- | :-- | :-- |
| y=lnx | -1,6 | -1,2 | -0,7 | -0,4 | 0 | 0,7 | 1,1 | 1,4 | 1,6 |

Τοποθετώντας τα σημεία \((x, y)\) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(φ(x) = \ln x\).

Η γραφική παράσταση της \(f(x) = \ln x + 1\) προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(φ(x) = \ln x\) κατά 1 μονάδα προς τα πάνω ⬆️.

Η γραφική παράσταση της \(g(x) = \ln(x - 2)\) προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(φ(x) = \ln x\) κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά ➡️.

Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία