Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Πολυωνυμικές Εξισώσεις & Ανισώσεις 📈

**Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν** ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής:
\(a_νx^ν + a_{ν-1}x^{ν-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0\), όπου \(a_ν \neq 0\).

Οι συντελεστές \(a_0, a_1, \dots, a_ν\) μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

**Παραδείγματα:**
*   \(2x^3 - 5x^2 + x - 2 = 0\) (3ου βαθμού)
*   \(-3x^6 + 5x^2 + 1 = 0\) (6ου βαθμού)

**Ρίζα** μιας πολυωνυμικής εξίσωσης \(P(x) = 0\) ονομάζουμε κάθε αριθμό \(ρ\) για τον οποίο ισχύει \(P(ρ) = 0\).

🤓 Γνωρίζουμε ήδη πώς να λύνουμε εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού. Για εξισώσεις βαθμού \(ν \ge 3\), η επίλυση γίνεται πιο σύνθετη.

# Επίλυση Πολυωνυμικών Εξισώσεων 🧩

Για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου του 2, συχνά χρησιμοποιούμε την **παραγοντοποίηση**.

Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία:

\(P_1(x) \cdot P_2(x) \cdot \dots \cdot P_k(x) = 0 \Leftrightarrow (P_1(x) = 0 \text{ ή } P_2(x) = 0 \text{ ή } \dots \text{ ή } P_k(x) = 0)\)

Δηλαδή, παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο \(P(x)\) σε γινόμενο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού και στη συνέχεια λύνουμε τις επιμέρους εξισώσεις.

**Παράδειγμα:** Λύση της εξίσωσης \(x^3 - 3x + 2 = 0\).

\(x^3 - 3x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow x^3 - x - 2x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow x(x^2 - 1) - 2(x - 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow (x - 1)[x(x + 1) - 2] = 0\)

\(\Leftrightarrow (x - 1)(x^2 + x - 2) = 0\)

Άρα:

\(x - 1 = 0\)  ή  \(x^2 + x - 2 = 0\)

Λύνοντας τις επιμέρους εξισώσεις:

\(x = 1\)  ή  (\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 3}{2}\)), δηλαδή \(x = 1\) ή \(x = -2\).

Οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι \(x = 1\) (διπλή ρίζα) και \(x = -2\).

# Θεώρημα Ακέραιων Ριζών 🧐

**ΘΕΩΡΗΜΑ:**

Έστω η πολυωνυμική εξίσωση \(a_νx^ν + a_{ν-1}x^{ν-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0\), με **ακέραιους** συντελεστές.

Αν ο ακέραιος \(ρ \neq 0\) είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο \(ρ\) είναι διαιρέτης του σταθερού όρου \(a_0\).

**ΑΠΟΔΕΙΞΗ:**

Αν ο \(ρ \neq 0\) είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ισχύει:

\(a_νρ^ν + a_{ν-1}ρ^{ν-1} + \dots + a_1ρ + a_0 = 0\)

\(\Leftrightarrow a_0 = -a_νρ^ν - a_{ν-1}ρ^{ν-1} - \dots - a_1ρ\)

\(\Leftrightarrow a_0 = ρ(-a_νρ^{ν-1} - a_{ν-1}ρ^{ν-2} - \dots - a_1)\)

Επειδή οι \(ρ, a_1, a_2, \dots, a_ν\) είναι ακέραιοι, έπεται ότι και ο παράγοντας \(-a_νρ^{ν-1} - a_{ν-1}ρ^{ν-2} - \dots - a_1\) είναι ακέραιος.

Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι ο \(ρ\) είναι διαιρέτης του \(a_0\). ✅

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Επίλυση \(x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0\) 💡

**Πρόβλημα:** Να λυθεί η εξίσωση \(x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0\).

**Λύση:**
Οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Σύμφωνα με το θεώρημα ακέραιων ριζών, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου \(a_0 = 2\).
Οι διαιρέτες του 2 είναι: \(\pm 1, \pm 2\).

Εξετάζουμε με το σχήμα Horner αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο \(P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2\).

*   Για \(ρ = 1\): \(P(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 + 2 = 1 - 3 + 1 + 2 = 1 \neq 0\). Άρα το 1 δεν είναι ρίζα.
*   Για \(ρ = -1\): \(P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 3 - 1 + 2 = -3 \neq 0\). Άρα το -1 δεν είναι ρίζα.
*   Για \(ρ = 2\): \(P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 + 2 = 8 - 12 + 2 + 2 = 0\). Άρα το 2 είναι ρίζα! 🎉

Από το σχήμα Horner για \(ρ = 2\):

|    | 1 | -3 | 1 | 2 | p = 2 |
|----|---|----|---|---|-------|
|    | ↓ |  2 | -2|  -2 |       |
|    | 1 | -1 | -1| 0 |       |




Το πηλίκο της διαίρεσης \(P(x) : (x - 2)\) είναι \(x^2 - x - 1\).

Επομένως, η εξίσωση γράφεται: \((x - 2)(x^2 - x - 1) = 0\).

Λύνουμε την \(x^2 - x - 1 = 0\):

\(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5\)

\(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι οι αριθμοί: \(2\), \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) και \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

<Fact title='**Σχόλιο:**'>
	 Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει πάντα. Δηλαδή, μπορεί ένας ακέραιος να είναι διαιρέτης του \(a_0\) χωρίς να είναι ρίζα της εξίσωσης (π.χ. οι \(1\) και \(-1\) στο παράδειγμα αυτό).</Fact>



# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Επίλυση \(x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 8x + 4 = 0\) 💡

**Πρόβλημα:** Να λυθεί η εξίσωση \(x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 8x + 4 = 0\).

**Λύση:**
Οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου \(a_0 = 4\), δηλαδή \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).
Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί (\(1, 5, 9, 8, 4\)), οι θετικοί αριθμοί αποκλείεται να είναι ρίζες της.
Επομένως, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι \(-1, -2, -4\).

Εξετάζουμε με το σχήμα Horner:
*   Για \(ρ = -1\): \(P(-1) = 1 - 5 + 9 - 8 + 4 = 1 \neq 0\). Άρα το -1 δεν είναι ρίζα.
*   Για \(ρ = -2\):
   

    
    Άρα το -2 είναι ρίζα του \(P(x)\). 🎉

Η εξίσωση γράφεται: \((x + 2)(x^3 + 3x^2 + 3x + 2) = 0\).

Τώρα εξετάζουμε το πολυώνυμο \(Q(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2\). Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του είναι οι διαιρέτες του 2, δηλαδή \(\pm 1, \pm 2\). Επειδή οι συντελεστές είναι θετικοί, οι πιθανές ρίζες είναι \(-1, -2\).
*   Γνωρίζουμε ήδη ότι \(Q(-1) \neq 0\) (αφού \(P(-1) \neq 0\)).
*   Εξετάζουμε το \(ρ = -2\) για το \(Q(x)\):

|     1 | 5 | 9 | 8 | 4 | | p = -2 |
|----|---|---|---|---|---|--------|
| ↓  | -2| -6| -6| -4|   |        |
|     1 | 3 | 3 | 2 | 0 |  |      |

   Άρα το -2 είναι ρίζα και του \(Q(x)\). 🎉

Επομένως, \(Q(x) = (x + 2)(x^2 + x + 1)\).

Η αρχική εξίσωση γράφεται: \((x + 2)(x + 2)(x^2 + x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^2(x^2 + x + 1) = 0\).

Η εξίσωση \(x^2 + x + 1 = 0\) έχει διακρίνουσα \(\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0\), άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Η τελική εξίσωση έχει μόνο μία διπλή πραγματική ρίζα, τον αριθμό \(-2\).

# Πρόσημο Γινομένου ➕➖

Για να μελετήσουμε το πρόσημο ενός γινομένου πολυωνύμων \(P(x) = A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x)\), ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1.  Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα \(A(x), B(x), \dots, \Phi(x)\) ξεχωριστά. Συνήθως οι παράγοντες είναι της μορφής:
    *   \(ax + \beta\) (πρωτοβάθμιοι)
    *   \(ax^2 + \beta x + \gamma\) (τριώνυμα)
2.  Συνθέτουμε τα πρόσημα όλων των παραγόντων για να βρούμε το τελικό πρόσημο του \(P(x)\).

---

**ΕΦΑΡΜΟΓΗ:** Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του \(x \in \mathbb{R}\) το πρόσημο του γινομένου \(P(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6)(2x^2 + x + 1)\).

**Λύση:**

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά:

✔️ **\(x - 1\):**
*   \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
*   \(x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\)
*   \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
(Είναι θετικό για \(x > 1\), μηδέν για \(x = 1\) και αρνητικό για \(x < 1\).)

✔️ **\(x^2 + x - 6\):**
*   Ρίζες: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\). Άρα \(x = 2\) και \(x = -3\).
*   Επειδή ο συντελεστής του \(x^2\) είναι \(a = 1 > 0\), το τριώνυμο είναι:
    *   Θετικό για \(x < -3\) και για \(x > 2\).
    *   Μηδέν για \(x = -3\) και \(x = 2\).
    *   Αρνητικό για \(-3 < x < 2\).

✔️ **\(2x^2 + x + 1\):**
*   Διακρίνουσα: \(\Delta = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0\).
*   Επειδή \(\Delta < 0\) και ο συντελεστής του \(x^2\) είναι \(a = 2 > 0\), το τριώνυμο \(2x^2 + x + 1\) είναι πάντα θετικό για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

Συνθέτουμε τα πρόσημα στον παρακάτω πίνακα:

| x             | \(-\infty\) |   | -3  |   | 1   |   | 2   |   | \(+\infty\) |
| :------------ | :---------- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :---------- |
| \(x - 1\)     |      -      |     |  -  |     |  0  |     |  +  |     |      +      |
| \(x^2 + x - 6\) |      +      |  0  |  -  |     |  -  |     |  0  |     |      +      |
| \(2x^2 + x + 1\) |      +      |     |  +  |     |  +  |     |  +  |     |      +      |
| **\(P(x)\)**   |      -      |  0  |  +  |  0  |  -  |  0  |  +  |     |      +      |

**Συμπέρασμα:**
*   \(P(x) > 0\) (θετικό) για \(x \in (-3, 1) \cup (2, +\infty)\)
*   \(P(x) < 0\) (αρνητικό) για \(x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)\)
*   \(P(x) = 0\) (μηδέν) για \(x = -3\), \(x = 1\) και \(x = 2\).

# Ανισώσεις Γινόμενο 📈📉

Για να λύσουμε ανισώσεις της μορφής \(A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x) > 0\) (ή \(< 0\)), ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με την εύρεση του προσήμου του γινομένου \(P(x) = A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x)\):

1.  Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο \(P(x)\) (αν δεν είναι ήδη παραγοντοποιημένο).
2.  Βρίσκουμε τις ρίζες κάθε παράγοντα.
3.  Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων για το \(P(x)\).
4.  Από την τελευταία γραμμή του πίνακα, βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία το \(P(x)\) έχει το ζητούμενο πρόσημο (θετικό για \(> 0\), αρνητικό για \(< 0\)).

**Παράδειγμα:** Για την ανίσωση \((x - 1)(x^2 + x - 6)(2x^2 + x + 1) < 0\), χρησιμοποιώντας τον πίνακα προσήμων της προηγούμενης εφαρμογής, διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν \(x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)\).

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Επίλυση Ανίσωσης \(x^3 - 3x^2 + x + 2 > 0\) 📊

**Πρόβλημα:** Να λυθεί η ανίσωση \(x^3 - 3x^2 + x + 2 > 0\).

**Λύση:**

Αν εργαστούμε όπως στην ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 (επίλυση της εξίσωσης \(x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0\)), η ανίσωση γράφεται:
\((x - 2)(x^2 - x - 1) > 0\)

Οι ρίζες του πολυωνύμου \(P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2\) είναι οι \(2\), \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) και \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

Τοποθετούμε τις ρίζες αυτές πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Παρατηρούμε ότι:
Στο διάστημα \( (2, +\infty) \), οι παράγοντες \(x - 2\) και \(x^2 - x - 1\) είναι θετικοί.
*   \(x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0\)
*   Για το τριώνυμο \(x^2 - x - 1\), οι ρίζες είναι \(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\). Επειδή \(2 > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), στο διάστημα \( (2, +\infty) \) το τριώνυμο είναι ομόσημο του \(a=1\), δηλαδή θετικό.

Άρα, στο διάστημα \( (2, +\infty) \), το γινόμενο \(P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 1)\) είναι θετικό. \(P(x) > 0\). ✅

(Για την πλήρη λύση της ανίσωσης, εξετάζουμε το πρόσημο του \(P(x)\) και στα υπόλοιπα διαστήματα που ορίζονται από τις ρίζες).

Βασική Θεωρία

# Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις 📐

## Πολυωνυμικές Εξισώσεις 📝

Μια <Tooltip><TooltipTrigger>πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια εξίσωση της μορφής \(α_νx^ν + α_{ν-1}x^{ν-1} + ... + α_1x + α_0 = 0\), όπου οι συντελεστές \(α_i\) είναι αριθμοί και \(α_ν \neq 0\).</TooltipContent></Tooltip> είναι μια εξίσωση της μορφής:
\(α_νx^ν + α_{ν-1}x^{ν-1} + ... + α_1x + α_0 = 0\), όπου \(α_ν \neq 0\).

Για παράδειγμα:
  - \(2x^3 - 5x^2 + x - 2 = 0\) είναι πολυωνυμική εξίσωση 3ου βαθμού.
  - \(-3x^6 + 5x^2 + 1 = 0\) είναι πολυωνυμική εξίσωση 6ου βαθμού.

** <Tooltip><TooltipTrigger>Ρίζα</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένας αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τη μεταβλητή σε μια εξίσωση, την κάνει αληθή (δηλαδή, τα δύο μέλη γίνονται ίσα).</TooltipContent></Tooltip> μιας πολυωνυμικής εξίσωσης \(P(x) = 0\) ονομάζουμε κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει \(P(ρ) = 0\).

Γνωρίζουμε ήδη πώς να λύνουμε εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού. Για εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 2, η επίλυση γίνεται πιο σύνθετη.

<Fact title='Ενδιαφέρον Γεγονός!'>
  Δεν υπάρχει γενικός τρόπος (τύπος) επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4! 🤯
</Fact>  

### Μέθοδος Παραγοντοποίησης 🧩

Η επίλυση εξισώσεων \(P(x) = 0\) βαθμού μεγαλύτερου του 2 συχνά βασίζεται στην παραγοντοποίηση του πολυωνύμου \(P(x)\). Χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία:

\(P_1(x) \cdot P_2(x) \cdot ... \cdot P_k(x) = 0 \Leftrightarrow (P_1(x) = 0 \text{ ή } P_2(x) = 0 \text{ ή } ... \text{ ή } P_k(x) = 0)\)

Δηλαδή, αναλύουμε το \(P(x)\) σε γινόμενο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού και λύνουμε τις επιμέρους εξισώσεις.

**Παράδειγμα:** Να λυθεί η εξίσωση \(x^3 - 3x + 2 = 0\).
  
  \(x^3 - 3x + 2 = 0\)
  
  \(\Leftrightarrow x^3 - x - 2x + 2 = 0\)
  
  \(\Leftrightarrow x(x^2 - 1) - 2(x - 1) = 0\)
  
  \(\Leftrightarrow x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = 0\)
  
  \(\Leftrightarrow (x - 1)[x(x + 1) - 2] = 0\)
  
  \(\Leftrightarrow (x - 1)(x^2 + x - 2) = 0\)
  
  \(\Leftrightarrow x - 1 = 0\) ή \(x^2 + x - 2 = 0\)
  
  \(\Leftrightarrow x = 1\) ή \(x = 1\) ή \(x = -2\)
Οι ρίζες είναι οι \(x = 1\) (διπλή ρίζα) και \(x = -2\). ✅

### Θεώρημα Ακέραιων Ριζών 🧐

**ΘΕΩΡΗΜΑ:** Έστω η πολυωνυμική εξίσωση \(α_νx^ν + α_{ν-1}x^{ν-1} + ... + α_1x + α_0 = 0\), με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος \(ρ \neq 0\) είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι <Tooltip><TooltipTrigger>διαιρέτης</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένας αριθμός που διαιρεί έναν άλλο ακριβώς, χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.</TooltipContent></Tooltip> του σταθερού όρου \(α_0\).

**ΑΠΟΔΕΙΞΗ (Ιδέα):**

Αν ο \(ρ \neq 0\) είναι ρίζα, ισχύει:

\(α_νρ^ν + α_{ν-1}ρ^{ν-1} + ... + α_1ρ + α_0 = 0\)

Λύνοντας ως προς \(α_0\):

\(α_0 = -α_νρ^ν - α_{ν-1}ρ^{ν-1} - ... - α_1ρ\)

Βγάζοντας κοινό παράγοντα το ρ:

\(α_0 = ρ(-α_νρ^{ν-1} - α_{ν-1}ρ^{ν-2} - ... - α_1)\)

Επειδή όλοι οι όροι \(α_i\) και ο ρ είναι ακέραιοι, η παράσταση στην παρένθεση είναι ακέραιος αριθμός. Άρα, ο ρ διαιρεί τον \(α_0\). 👍

<Alert title='Προσοχή!'>
  Το αντίστροφο του θεωρήματος ΔΕΝ ισχύει πάντα! Ένας διαιρέτης του σταθερού όρου \(α_0\) δεν είναι απαραίτητα και ρίζα της εξίσωσης. Πρέπει πάντα να κάνουμε έλεγχο!
</Alert>  

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Επίλυση \(x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0\) 💡

**Πρόβλημα:** Να λυθεί η εξίσωση \(x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0\).

**Λύση:**
Οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Σύμφωνα με το θεώρημα ακέραιων ριζών, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου \(a_0 = 2\).
Οι διαιρέτες του 2 είναι: \(\pm 1, \pm 2\).

Εξετάζουμε με το σχήμα Horner αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο \(P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2\).

*   Για \(ρ = 1\): \(P(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 + 2 = 1 - 3 + 1 + 2 = 1 \neq 0\). Άρα το 1 δεν είναι ρίζα.
*   Για \(ρ = -1\): \(P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 3 - 1 + 2 = -3 \neq 0\). Άρα το -1 δεν είναι ρίζα.
*   Για \(ρ = 2\): \(P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 + 2 = 8 - 12 + 2 + 2 = 0\). Άρα το 2 είναι ρίζα! 🎉

Από το σχήμα Horner για \(ρ = 2\):

|    | 1 | -3 | 1 | 2 | p = 2 |
|----|---|----|---|---|-------|
|    | ↓ |  2 | -2|  -2 |       |
|    | 1 | -1 | -1| 0 |       |




Το πηλίκο της διαίρεσης \(P(x) : (x - 2)\) είναι \(x^2 - x - 1\).

Επομένως, η εξίσωση γράφεται: \((x - 2)(x^2 - x - 1) = 0\).

Λύνουμε την \(x^2 - x - 1 = 0\):

\(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5\)

\(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι οι αριθμοί: \(2\), \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) και \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

<Fact title='Σχόλιο:'>
	 Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν αληθεύει πάντα. Δηλαδή, μπορεί ένας ακέραιος να είναι διαιρέτης του \(a_0\) χωρίς να είναι ρίζα της εξίσωσης (π.χ. οι \(1\) και \(-1\) στο παράδειγμα αυτό).</Fact>

## ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Επίλυση \(x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 8x + 4 = 0\) 💡

**Πρόβλημα:** Να λυθεί η εξίσωση \(x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 8x + 4 = 0\).

**Λύση:**
Οι συντελεστές είναι ακέραιοι. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου \(a_0 = 4\), δηλαδή \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\).
Επειδή όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι θετικοί (\(1, 5, 9, 8, 4\)), οι θετικοί αριθμοί αποκλείεται να είναι ρίζες της.
Επομένως, οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι \(-1, -2, -4\).

Εξετάζουμε με το σχήμα Horner:
*   Για \(ρ = -1\): \(P(-1) = 1 - 5 + 9 - 8 + 4 = 1 \neq 0\). Άρα το -1 δεν είναι ρίζα.
*   Για \(ρ = -2\):
   

    
    Άρα το -2 είναι ρίζα του \(P(x)\). 🎉

Η εξίσωση γράφεται: \((x + 2)(x^3 + 3x^2 + 3x + 2) = 0\).

Τώρα εξετάζουμε το πολυώνυμο \(Q(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 2\). Οι πιθανές ακέραιες ρίζες του είναι οι διαιρέτες του 2, δηλαδή \(\pm 1, \pm 2\). Επειδή οι συντελεστές είναι θετικοί, οι πιθανές ρίζες είναι \(-1, -2\).
*   Γνωρίζουμε ήδη ότι \(Q(-1) \neq 0\) (αφού \(P(-1) \neq 0\)).
*   Εξετάζουμε το \(ρ = -2\) για το \(Q(x)\):

|     1 | 5 | 9 | 8 | 4 | | p = -2 |
|----|---|---|---|---|---|--------|
| ↓  | -2| -6| -6| -4|   |        |
|     1 | 3 | 3 | 2 | 0 |  |      |

   Άρα το -2 είναι ρίζα και του \(Q(x)\). 🎉

Επομένως, \(Q(x) = (x + 2)(x^2 + x + 1)\).

Η αρχική εξίσωση γράφεται: \((x + 2)(x + 2)(x^2 + x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^2(x^2 + x + 1) = 0\).

Η εξίσωση \(x^2 + x + 1 = 0\) έχει διακρίνουσα \(\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0\), άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Η τελική εξίσωση έχει μόνο μία διπλή πραγματική ρίζα, τον αριθμό \(-2\).

## Πρόσημο Γινομένου ➕➖

Για να μελετήσουμε το πρόσημο ενός γινομένου πολυωνύμων \(P(x) = A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x)\), ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1.  Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα \(A(x), B(x), \dots, \Phi(x)\) ξεχωριστά. Συνήθως οι παράγοντες είναι της μορφής:
    *   \(ax + \beta\) (πρωτοβάθμιοι)
    *   \(ax^2 + \beta x + \gamma\) (τριώνυμα)
2.  Συνθέτουμε τα πρόσημα όλων των παραγόντων για να βρούμε το τελικό πρόσημο του \(P(x)\).

---

## **ΕΦΑΡΜΟΓΗ:** 

Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του \(x \in \mathbb{R}\) το πρόσημο του γινομένου \(P(x) = (x - 1)(x^2 + x - 6)(2x^2 + x + 1)\).

**Λύση:**

Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά:

✔️ **\(x - 1\):**
*   \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\)
*   \(x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\)
*   \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
(Είναι θετικό για \(x > 1\), μηδέν για \(x = 1\) και αρνητικό για \(x < 1\).)

✔️ **\(x^2 + x - 6\):**
*   Ρίζες: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\). Άρα \(x = 2\) και \(x = -3\).
*   Επειδή ο συντελεστής του \(x^2\) είναι \(a = 1 > 0\), το τριώνυμο είναι:
    *   Θετικό για \(x < -3\) και για \(x > 2\).
    *   Μηδέν για \(x = -3\) και \(x = 2\).
    *   Αρνητικό για \(-3 < x < 2\).

✔️ **\(2x^2 + x + 1\):**
*   Διακρίνουσα: \(\Delta = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0\).
*   Επειδή \(\Delta < 0\) και ο συντελεστής του \(x^2\) είναι \(a = 2 > 0\), το τριώνυμο \(2x^2 + x + 1\) είναι πάντα θετικό για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

Συνθέτουμε τα πρόσημα στον παρακάτω πίνακα:

| x             | \(-\infty\) |   | -3  |   | 1   |   | 2   |   | \(+\infty\) |
| :------------ | :---------- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: | :---------- |
| \(x - 1\)     |      -      |     |  -  |     |  0  |     |  +  |     |      +      |
| \(x^2 + x - 6\) |      +      |  0  |  -  |     |  -  |     |  0  |     |      +      |
| \(2x^2 + x + 1\) |      +      |     |  +  |     |  +  |     |  +  |     |      +      |
| **\(P(x)\)**   |      -      |  0  |  +  |  0  |  -  |  0  |  +  |     |      +      |

**Συμπέρασμα:**
*   \(P(x) > 0\) (θετικό) για \(x \in (-3, 1) \cup (2, +\infty)\)
*   \(P(x) < 0\) (αρνητικό) για \(x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)\)
*   \(P(x) = 0\) (μηδέν) για \(x = -3\), \(x = 1\) και \(x = 2\).
*   

## Ανισώσεις Γινόμενο 📈📉

Για να λύσουμε ανισώσεις της μορφής \(A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x) > 0\) (ή \(< 0\)), ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με την εύρεση του προσήμου του γινομένου \(P(x) = A(x) \cdot B(x) \cdot \dots \cdot \Phi(x)\):

1.  Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο \(P(x)\) (αν δεν είναι ήδη παραγοντοποιημένο).
2.  Βρίσκουμε τις ρίζες κάθε παράγοντα.
3.  Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων για το \(P(x)\).
4.  Από την τελευταία γραμμή του πίνακα, βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία το \(P(x)\) έχει το ζητούμενο πρόσημο (θετικό για \(> 0\), αρνητικό για \(< 0\)).

**Παράδειγμα:** Για την ανίσωση \((x - 1)(x^2 + x - 6)(2x^2 + x + 1) < 0\), χρησιμοποιώντας τον πίνακα προσήμων της προηγούμενης εφαρμογής, διαπιστώνουμε ότι η ανίσωση αληθεύει όταν \(x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2)\).

## ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Επίλυση Ανίσωσης \(x^3 - 3x^2 + x + 2 > 0\) 📊

**Πρόβλημα:** Να λυθεί η ανίσωση \(x^3 - 3x^2 + x + 2 > 0\).

**Λύση:**

Αν εργαστούμε όπως στην ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 (επίλυση της εξίσωσης \(x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0\)), η ανίσωση γράφεται:
\((x - 2)(x^2 - x - 1) > 0\)

Οι ρίζες του πολυωνύμου \(P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2\) είναι οι \(2\), \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\) και \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

Τοποθετούμε τις ρίζες αυτές πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Παρατηρούμε ότι:
Στο διάστημα \( (2, +\infty) \), οι παράγοντες \(x - 2\) και \(x^2 - x - 1\) είναι θετικοί.
*   \(x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0\)
*   Για το τριώνυμο \(x^2 - x - 1\), οι ρίζες είναι \(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\). Επειδή \(2 > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), στο διάστημα \( (2, +\infty) \) το τριώνυμο είναι ομόσημο του \(a=1\), δηλαδή θετικό.

Άρα, στο διάστημα \( (2, +\infty) \), το γινόμενο \(P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 1)\) είναι θετικό. \(P(x) > 0\). ✅

(Για την πλήρη λύση της ανίσωσης, εξετάζουμε το πρόσημο του \(P(x)\) και στα υπόλοιπα διαστήματα που ορίζονται από τις ρίζες).

Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία