Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Αλγοριθμική Διαίρεση 🔢

Θυμόμαστε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών.

Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών \(Δ\) και \(δ\) με \(δ \neq 0\), υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί \(π\) και \(υ\), τέτοιοι ώστε:

\(Δ = δ \cdot π + υ\),   \(0 \leq υ < δ\)   (1)

Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως **ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης**.

Ο \(Δ\) λέγεται **διαιρετέος**, ο \(δ\) **διαιρέτης**, ο \(π\) **πηλίκο** και ο \(υ\) **υπόλοιπο** της διαίρεσης.

Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη.

# Θεώρημα Διαίρεσης Πολυωνύμων 📝

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων \(Δ(x)\) και \(δ(x)\) με \(δ(x) \neq 0\) υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα \(π(x)\) και \(υ(x)\), τέτοια ώστε:

\(Δ(x) = δ(x) \cdot π(x) + υ(x)\)   (2)

όπου το \(υ(x)\) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του \(δ(x)\).

Όπως και στη διαίρεση ακεραίων:
*   \(Δ(x)\) λέγεται **διαιρετέος**.
*   \(δ(x)\) λέγεται **διαιρέτης**.
*   \(π(x)\) λέγεται **πηλίκο**.
*   \(υ(x)\) λέγεται **υπόλοιπο**.

# Τέλεια Διαίρεση ✅

Παρατηρούμε ότι η διαίρεση τελειώνει όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν ή ο βαθμός του γίνει μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη.

Στην περίπτωση που το υπόλοιπο της διαίρεσης \(Δ(x)\) με \(δ(x)\) είναι \(υ(x) = 0\), τότε η διαίρεση λέγεται **τέλεια** και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται:

\(Δ(x) = δ(x) \cdot π(x)\)

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το \(δ(x)\) **διαιρεί** το \(Δ(x)\) ή ότι το \(δ(x)\) είναι **παράγοντας** του \(Δ(x)\) ή ότι το \(Δ(x)\) **διαιρείται** με το \(δ(x)\) ή ακόμη ότι το \(δ(x)\) είναι **διαιρέτης** του \(Δ(x)\).



# Διαίρεση με \(x - ρ\) 🤔

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου \(P(x)\) με το πολυώνυμο \(x - ρ\) γράφεται:
\(P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)\)

Επειδή ο διαιρέτης \(x - ρ\) είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο \(υ\). Έτσι έχουμε:
\(P(x) = (x - ρ)π(x) + υ\)

Αν θέσουμε \(x = ρ\), παίρνουμε:
\(P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 \cdot π(ρ) + υ = 0 + υ = υ\)

Επομένως,
\(P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)\)

**Αποδείξαμε λοιπόν ότι:**

  **ΘΕΩΡΗΜΑ** 💡
 
  Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με το \(x - ρ\) είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για \(x = ρ\). Είναι δηλαδή \(υ = P(ρ)\).


# Υπόλοιπο Διαίρεσης με \(x - ρ\) (Παράδειγμα) 🧮

**Παράδειγμα:** Για το πολυώνυμο \(P(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 15\), το υπόλοιπο της διαίρεσης με το \(x - 2\) είναι \(υ = P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 13 \cdot 2 - 15 = 8 + 12 - 26 - 15 = -21\).

Ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης με το \(x + 1\) (δηλαδή \(x - (-1)\)) είναι \(υ = P(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 - 13 \cdot (-1) - 15 = -1 + 3 + 13 - 15 = 0\).

**Παρατήρηση:**
*   Επειδή \(P(-1) = 0\), δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης \(P(x) : (x + 1)\) είναι 0, η διαίρεση είναι τέλεια.
*   Αυτό σημαίνει ότι \(P(x) = (x + 1)π(x)\).
*   Άρα, το \(x + 1\) είναι **παράγοντας** του \(P(x)\).
*   Επίσης, το \(-1\) είναι **ρίζα** του \(P(x)\).

Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

## Θεώρημα Παραγόντων και Ριζών 🔗

  **ΘΕΩΡΗΜΑ** 💡

  Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x - ρ\) αν και μόνο αν το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\), δηλαδή αν και μόνο αν \(P(ρ) = 0\).


**ΑΠΟΔΕΙΞΗ**

*   **Ευθύ:** Έστω ότι το \(x - ρ\) είναι παράγοντας του \(P(x)\). Τότε \(P(x) = (x - ρ)π(x)\).


  Από την ισότητα αυτή για \(x = ρ\) παίρνουμε \(P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0\), που σημαίνει ότι το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\).

*   **Αντίστροφο:** Έστω ότι το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\), δηλαδή ισχύει \(P(ρ) = 0\).


  Τότε από τη σχέση \(P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)\) παίρνουμε \(P(x) = (x - ρ)π(x) + 0\), δηλαδή \(P(x) = (x - ρ)π(x)\).


  Αυτό σημαίνει ότι το \(x - ρ\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).

# Εφαρμογή 1: Έλεγχος Παραγόντων 🧐

**Ερώτηση:** Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα \(x+2\) και \(x-1\) είναι παράγοντες του πολυωνύμου \(P(x) = x^3 + x^2 - x + 2\).

##**Λύση:**

 **Για το \(x+2\):**

 Γράφεται ως \(x - (-2)\). Σύμφωνα με το θεώρημα, το \(x+2\) είναι παράγοντας του \(P(x)\) αν και μόνο αν \(P(-2) = 0\).
 
 Υπολογίζουμε:
 
 \(P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 + 2 = 0\)

Επομένως, το \(x+2\) **είναι** παράγοντας του \(P(x)\). ✅

   **Για το \(x-1\):**
    
  Σύμφωνα με το θεώρημα, το \(x-1\) είναι παράγοντας του \(P(x)\) αν και μόνο αν \(P(1) = 0\).
    
  Υπολογίζουμε:
    
  \(P(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + 2 = 1 + 1 - 1 + 2 = 3\)
    
  Επειδή \(P(1) = 3 \neq 0\), το \(x-1\) **δεν είναι** παράγοντας του \(P(x)\). ❌

# Εφαρμογή 2: Υπόλοιπο Διαίρεσης (Μέρος i) ⚙️

**Ερώτηση:** Για ποιες τιμές του \(λ \in \mathbb{R}\):

i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\) με το \(x + λ\) είναι μηδέν.

**Λύση (i):**

Επειδή \(x + λ = x - (-λ)\), το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x)\) με το \(x + λ\) είναι \(υ = P(-λ)\).

Επομένως, για να είναι \(υ = 0\), πρέπει \(P(-λ) = 0\).

\(P(-λ) = (-λ)^3 - 3(-λ)^2 + 3(-λ) - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow -λ^3 - 3λ^2 - 3λ - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ^3 + 3λ^2 + 3λ + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow (λ + 1)^3 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ = -1\)

Άρα, το υπόλοιπο είναι μηδέν όταν \(λ = -1\).

# Εφαρμογή 2: Υπόλοιπο Διαίρεσης (Μέρος ii) ⚙️

**Ερώτηση:** Για ποιες τιμές του \(λ \in \mathbb{R}\):

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(Q(x) = λ^2x^4 + 3λx^2 - 3\) με το \(x - 1\) είναι 1.

**Λύση (ii):**

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(Q(x)\) με το \(x - 1\) είναι \(υ = Q(1)\).

Επομένως, για να είναι \(υ = 1\), πρέπει \(Q(1) = 1\).

\(Q(1) = λ^2(1)^4 + 3λ(1)^2 - 3 = 1\)

\(\Leftrightarrow λ^2 + 3λ - 3 = 1\)

\(\Leftrightarrow λ^2 + 3λ - 4 = 0\)

Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς \(λ\). Η διακρίνουσα είναι \(Δ = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25\).

Οι ρίζες είναι:

\(λ = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)

Άρα, οι ζητούμενες τιμές του \(λ\) είναι \(λ = \frac{-3 + 5}{2} = 1\) ή \(λ = \frac{-3 - 5}{2} = -4\).

Ευκλείδεια Διαίρεση

# Διαίρεση Πολυωνύμων 📚

## Αλγοριθμική Διαίρεση

Θυμόμαστε από το Γυμνάσιο την Ευκλείδεια διαίρεση μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ και δ με \(δ \neq 0\), υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, τέτοιοι ώστε:
\(Δ = δπ + υ\),   \(0 \leq υ < δ\)  (1)

Αυτή η ισότητα είναι γνωστή ως **Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης**. Ο Δ λέγεται <Tooltip><TooltipTrigger>Διαιρετέος</TooltipTrigger><TooltipContent>Ο αριθμός ή το πολυώνυμο που διαιρείται.</TooltipContent></Tooltip>, ο δ <Tooltip><TooltipTrigger>διαιρέτης</TooltipTrigger><TooltipContent>Ο αριθμός ή το πολυώνυμο με το οποίο διαιρούμε.</TooltipContent></Tooltip>, ο π <Tooltip><TooltipTrigger>πηλίκο</TooltipTrigger><TooltipContent>Το αποτέλεσμα της διαίρεσης (χωρίς το υπόλοιπο).</TooltipContent></Tooltip> και ο υ <Tooltip><TooltipTrigger>υπόλοιπο</TooltipTrigger><TooltipContent>Το μέρος που μένει μετά τη διαίρεση, μικρότερο από τον διαιρέτη.</TooltipContent></Tooltip> της διαίρεσης.

Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη. Συγκεκριμένα ισχύει:

**ΘΕΩΡΗΜΑ (Ταυτότητα της διαίρεσης)** ✨
Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων \(Δ(x)\) και \(δ(x)\) με \(δ(x) \neq 0\) υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα \(π(x)\) και \(υ(x)\), τέτοια ώστε:
\(Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x)\)   (2)
όπου το \(υ(x)\) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του \(δ(x)\).

Όπως και στη διαίρεση ακεραίων, το \(Δ(x)\) λέγεται **Διαιρετέος**, το \(δ(x)\) **διαιρέτης**, το \(π(x)\) **πηλίκο** και το \(υ(x)\) **υπόλοιπο** της διαίρεσης.


### Τέλεια Διαίρεση

Γενικά, αν σε μια διαίρεση είναι \(υ(x) = 0\), τότε η διαίρεση λέγεται <Tooltip><TooltipTrigger>τέλεια διαίρεση</TooltipTrigger><TooltipContent>Η διαίρεση πολυωνύμων όπου το υπόλοιπο είναι μηδέν.</TooltipContent></Tooltip> και η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται:

\(Δ(x) = δ(x) \cdot π(x)\)

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το \(δ(x)\) **διαιρεί** το \(Δ(x)\) ή ότι το \(δ(x)\) είναι <Tooltip><TooltipTrigger>παράγοντας</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα πολυώνυμο που διαιρεί ακριβώς ένα άλλο πολυώνυμο (με υπόλοιπο μηδέν).</TooltipContent></Tooltip> του \(Δ(x)\) ή ότι το \(Δ(x)\) είναι **πολλαπλάσιο** του \(δ(x)\).

### Διαίρεση Πολυωνύμου με \(x - ρ\)

Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου \(P(x)\) με το πολυώνυμο \(x - ρ\) γράφεται:

\(P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x)\)

Επειδή ο διαιρέτης \(x - ρ\) είναι πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης \(υ(x)\) θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο \(υ\). Έτσι έχουμε:

\(P(x) = (x - ρ)π(x) + υ\)

Αν θέσουμε \(x = ρ\), παίρνουμε:

\(P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 \cdot π(ρ) + υ = υ\)

Επομένως:

**ΘΕΩΡΗΜΑ** 💡

Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με το \(x - ρ\) είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για \(x = ρ\). Είναι δηλαδή \(υ = P(ρ)\).

Η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: \(P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)\)

*   **Παράδειγμα:** Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x) = x^3 + 3x^2 - 13x - 15\) με το \(x + 1\) (δηλαδή \(x - (-1)\)) είναι \(υ = P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 13(-1) - 15 = -1 + 3 + 13 - 15 = 0\).
*   Παρατηρούμε ότι \(P(-1) = 0\), δηλαδή το \(-1\) είναι <Tooltip><TooltipTrigger>ρίζα</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια τιμή του x για την οποία ένα πολυώνυμο P(x) ισούται με μηδέν.</TooltipContent></Tooltip> του \(P(x)\) και το \(x + 1\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).

Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

**ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεώρημα Παραγόντων)** ✅

Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x - ρ\) αν και μόνο αν το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\), δηλαδή αν και μόνο αν \(P(ρ) = 0\).

**ΑΠΟΔΕΙΞΗ:**
*   **(Ευθύ)** Έστω ότι το \(x - ρ\) είναι παράγοντας του \(P(x)\). Τότε \(P(x) = (x - ρ)π(x)\). Από την ισότητα αυτή για \(x = ρ\) παίρνουμε \(P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) = 0\), που σημαίνει ότι το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\).
*   **(Αντίστροφο)** Έστω ότι το \(ρ\) είναι ρίζα του \(P(x)\), δηλαδή ισχύει \(P(ρ) = 0\). Τότε από τη σχέση \(P(x) = (x - ρ)π(x) + P(ρ)\) παίρνουμε \(P(x) = (x - ρ)π(x) + 0\), που σημαίνει ότι το \(x - ρ\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).

---

**ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ** 🔢

**1<sup>η</sup> Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα \(x + 2\) και \(x - 1\) είναι παράγοντες του πολυωνύμου \(P(x) = x^3 + x^2 - x + 2\).**

**ΛΥΣΗ:**

Το \(x + 2\) γράφεται \(x - (-2)\). Επειδή \(P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 + 2 = 0\), το \(-2\) είναι ρίζα του \(P(x)\). Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το \(x + 2\) είναι παράγοντας του \(P(x)\). ✅

Επειδή \(P(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + 2 = 1 + 1 - 1 + 2 = 3 \neq 0\), το \(1\) δεν είναι ρίζα του \(P(x)\). Επομένως, το \(x - 1\) δεν είναι παράγοντας του \(P(x)\). ❌

**2<sup>η</sup> Για ποιες τιμές του \(λ \in \mathbb{R}\):**
**i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\) με το \(x + λ\) είναι μηδέν.**
**ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(Q(x) = λ^2x^4 + 3λx^2 - 3\) με το \(x - 1\) είναι 1.**

**ΛΥΣΗ:**

i) Επειδή \(x + λ = x - (-λ)\), το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x)\) με το \(x + λ\) είναι \(υ = P(-λ)\). Επομένως, για να είναι \(υ = 0\) αρκεί:

\(P(-λ) = 0 \Leftrightarrow (-λ)^3 - 3(-λ)^2 + 3(-λ) - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow -λ^3 - 3λ^2 - 3λ - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ^3 + 3λ^2 + 3λ + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow (λ + 1)^3 = 0\)

\(\Leftrightarrow λ = -1\)

ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(Q(x)\) με το \(x - 1\) είναι \(υ = Q(1)\). Επομένως, για να είναι \(υ = 1\) αρκεί:

\(Q(1) = 1 \Leftrightarrow λ^2(1)^4 + 3λ(1)^2 - 3 = 1\)

\(\Leftrightarrow λ^2 + 3λ - 3 = 1\)

\(\Leftrightarrow λ^2 + 3λ - 4 = 0\)

Η εξίσωση αυτή είναι δευτέρου βαθμού ως προς λ. Οι ρίζες είναι:

\(λ = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\)

Άρα, \(λ = 1\) ή \(λ = -4\).



Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Ευκλείδεια Διαίρεση