Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Η εξίσωση ημx = α 🤔

Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \).

Αυτό σημαίνει ότι ψάχνουμε τις <Tooltip><TooltipTrigger>τετμημένες</TooltipTrigger><TooltipContent>Η τιμή x σε ένα σύστημα συντεταγμένων.</TooltipContent></Tooltip> των σημείων τομής της καμπύλης \( y = \eta \mu x \) και της ευθείας \( y = \frac{1}{2} \).

Ζητάμε δηλαδή εκείνα τα \( x \in \mathbb{R} \), για τα οποία η συνάρτηση \( f(x) = \eta \mu x \) παίρνει την τιμή \( \frac{1}{2} \).

Επειδή η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο \( 2\pi \), για να βρούμε τα ζητούμενα \( x \), που είναι άπειρα σε πλήθος, αρκεί να βρούμε όσα από αυτά υπάρχουν σε ένα διάστημα πλάτους \( 2\pi \) και σε καθένα να προσθέσουμε το \( \kappa \cdot 2\pi \), όπου \( \kappa \) είναι ακέραιος.

# Η εξίσωση ημx = α (Συνέχεια) 🤓

Με τη βοήθεια του <Tooltip><TooltipTrigger>τριγωνομετρικού κύκλου</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένας κύκλος με ακτίνα 1, κεντραρισμένος στην αρχή των αξόνων, που χρησιμοποιείται για την οπτικοποίηση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.</TooltipContent></Tooltip> βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \) στο διάστημα \( [0, 2\pi] \), είναι οι \( \frac{\pi}{6} \) και \( \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \), γιατί \( \eta \mu \frac{\pi}{6} = \eta \mu \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \) δίνεται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6}
\end{cases}
\)

# Γενικές Λύσεις για ημx = α 🎯

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μία λύση της εξίσωσης \( \eta \mu x = \alpha \), δηλαδή ισχύει \( \eta \mu \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \theta \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi + (\pi - \theta)
\end{cases}
\)

Όπου \( \kappa \) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός.

# Παράδειγμα 1: Επίλυση ημx = -√3/2 📝

**Να λυθεί η εξίσωση \( \eta \mu x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)**

##**Λύση:**

Επειδή \( \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), ισχύει \( \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Επομένως η εξίσωση γράφεται \( \eta \mu x = \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) \).

Οι λύσεις της δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{3} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi + \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) \implies x = 2\kappa\pi + \pi + \frac{\pi}{3}
\end{cases}
\)

# Παράδειγμα 2: Επίλυση ημ(2x + π/4) = 1/2 ✏️

**Να λυθεί η εξίσωση \( \eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \)**

## **Λύση:**

Επειδή \( \eta \mu \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), έχουμε \( \eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \eta \mu \frac{\pi}{6} \).

Οπότε οι λύσεις δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \pi - \frac{\pi}{6}
\end{cases}
\)

Ισχύει όμως:

\( 2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \iff 2x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \iff x = \kappa\pi - \frac{\pi}{24} \)

και

\( 2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) \iff 2x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \iff x = \kappa\pi + \frac{7\pi}{24} \)

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = \kappa\pi - \frac{\pi}{24} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = \kappa\pi + \frac{7\pi}{24}
\end{cases}
\)

# Η εξίσωση συνx = α 🤔

Με ανάλογες σκέψεις, όπως προηγουμένως, εργαζόμαστε για να λύσουμε π.χ. την εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \).

Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \) στο διάστημα \( [-\pi, \pi] \) είναι οι \( \frac{\pi}{3} \) και \( -\frac{\pi}{3} \), γιατί \( \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3} = \sigma \upsilon \nu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).

Επομένως το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \) δίνεται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{3} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{3}
\end{cases}
\)

# Γενικές Λύσεις για συνx = α 🎯

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μία λύση της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \alpha \), αν δηλαδή ισχύει \( \sigma \upsilon \nu \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους:

\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \theta \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi - \theta
\end{cases}
\)

Όπου \( \kappa \) είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός.

# Παράδειγμα 1: Επίλυση συνx = √2/2 📝

**Να λυθεί η εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), έχουμε \( \sigma \upsilon \nu x = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4} \).

Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{4} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{4}
\end{cases}
\)

# Παράδειγμα 2: Επίλυση συν2x = -√3/2 ✏️

**Να λυθεί η εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), ισχύει \( \sigma \upsilon \nu \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), δηλαδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Έχουμε επομένως \( \sigma \upsilon \nu 2x = \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} \), οπότε:

\(
\begin{cases}
2x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
2x = 2\kappa\pi - \frac{5\pi}{6}
\end{cases}
\)

ή ισοδύναμα

\(
\begin{cases}
x = \kappa\pi + \frac{5\pi}{12} \\
\qquad \qquad \text{ή} \qquad \qquad , \quad \kappa \in \mathbb{Z} \\
x = \kappa\pi - \frac{5\pi}{12}
\end{cases}
\)

# Η εξίσωση εφx = α 🤔

Έστω η εξίσωση \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \).

Όπως γνωρίζουμε η συνάρτηση \( \varepsilon \varphi x \) είναι περιοδική με περίοδο \( \pi \). Επομένως, για να λύσουμε την εξίσωση, αρκεί να βρούμε τις λύσεις της σε ένα διάστημα πλάτους \( \pi \), π.χ. το \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), και να προσθέσουμε σε αυτές το \( \kappa\pi, \kappa \in \mathbb{Z} \).

Όπως φαίνεται και στο σχήμα, μια μόνο λύση της εξίσωσης \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \) υπάρχει στο διάστημα \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \). Αυτή είναι η \( \frac{\pi}{3} \), γιατί \( \varepsilon \varphi \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).

Επομένως οι λύσεις της εξίσωσης \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \) είναι: \( x = \kappa\pi + \frac{\pi}{3}, \kappa \in \mathbb{Z} \).

# Γενικές Λύσεις για εφx = α 🎯

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μια λύση της εξίσωσης \( \varepsilon \varphi x = \alpha \), αν δηλαδή ισχύει \( \varepsilon \varphi \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι:

\( x = \kappa\pi + \theta, \quad \kappa \in \mathbb{Z} \)

Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση \( \sigma \varphi x = \alpha \).

---

**Παράδειγμα 1: Επίλυση εφx = -1** 📝

**Να λυθεί η εξίσωση \( \varepsilon \varphi x = -1 \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \varepsilon \varphi \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \), ισχύει \( \varepsilon \varphi \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \). Έχουμε επομένως \( \varepsilon \varphi x = \varepsilon \varphi \left(-\frac{\pi}{4}\right) \).

Οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
\( x = \kappa\pi - \frac{\pi}{4}, \quad \kappa \in \mathbb{Z} \)

# Παράδειγμα 2: Επίλυση εφx = √3 ✏️

**Να λυθεί η εξίσωση \( \varepsilon \varphi x = \sqrt{3} \)**

**Λύση:**

Επειδή \( \varepsilon \varphi \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), έχουμε \( \varepsilon \varphi x = \sigma \varphi \frac{\pi}{6} \), οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι

\( x = \kappa\pi + \frac{\pi}{6}, \quad \kappa \in \mathbb{Z} \)

Βασική Θεωρία

# Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 📐

Ας εξερευνήσουμε τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις! Θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε τις λύσεις για εξισώσεις που περιλαμβάνουν ημίτονο (ημ), συνημίτονο (συν) και εφαπτομένη (εφ).

## Η εξίσωση \( \eta \mu x = \alpha \)

Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \). 🧐

Ψάχνουμε τις <Tooltip><TooltipTrigger>τετμημένες</TooltipTrigger><TooltipContent>Η συντεταγμένη x ενός σημείου σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.</TooltipContent></Tooltip> των σημείων τομής της καμπύλης \( y = \eta \mu x \) και της ευθείας \( y = \frac{1}{2} \).

Η συνάρτηση \( f(x) = \eta \mu x \) είναι <Tooltip><TooltipTrigger>περιοδική</TooltipTrigger><TooltipContent>Μια συνάρτηση που επαναλαμβάνει τις τιμές της σε τακτά διαστήματα ή περιόδους.</TooltipContent></Tooltip> με περίοδο \( 2\pi \). Αυτό σημαίνει ότι αν βρούμε τις λύσεις σε ένα διάστημα πλάτους \( 2\pi \), π.χ. στο \( [0, 2\pi] \), μπορούμε να βρούμε όλες τις λύσεις προσθέτοντας \( \kappa \cdot 2\pi \), όπου \( \kappa \) είναι ακέραιος.

Με τη βοήθεια του <Tooltip><TooltipTrigger>τριγωνομετρικού κύκλου</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένας κύκλος με ακτίνα 1, κεντραρισμένος στην αρχή των αξόνων, που χρησιμοποιείται για τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.</TooltipContent></Tooltip>, βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \) στο διάστημα \( [0, 2\pi] \) είναι οι \( \frac{\pi}{6} \) και \( \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \), γιατί \( \eta \mu \frac{\pi}{6} = \eta \mu \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Επομένως, το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \( \eta \mu x = \frac{1}{2} \) δίνεται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \\
\text{ή} \\
x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μία λύση της εξίσωσης \( \eta \mu x = \alpha \), δηλαδή ισχύει \( \eta \mu \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \theta \\
\text{ή} \\
x = 2\kappa\pi + (\pi - \theta)
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

### Παραδείγματα 💡

**1. Να λυθεί η εξίσωση \( \eta \mu x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)**

Επειδή \( \eta \mu \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ισχύει \( \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Επομένως η εξίσωση γράφεται \( \eta \mu x = \eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right) \), οπότε οι λύσεις της δίνονται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{3} \\
\text{ή} \\
x = 2\kappa\pi + \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2\kappa\pi + \frac{4\pi}{3}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

**2. Να λυθεί η εξίσωση \( \eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \)**

Επειδή \( \eta \mu \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), έχουμε \( \eta \mu \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \eta \mu \frac{\pi}{6} \), οπότε:
\(
\begin{cases}
2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} \\
\text{ή} \\
2x + \frac{\pi}{4} = 2\kappa\pi + \pi - \frac{\pi}{6}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

Λύνοντας ως προς \( x \):
\(
\begin{cases}
2x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \implies 2x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{12} \implies x = \kappa\pi - \frac{\pi}{24} \\
\text{ή} \\
2x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \implies 2x = 2\kappa\pi + \frac{7\pi}{12} \implies x = \kappa\pi + \frac{7\pi}{24}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = \kappa\pi - \frac{\pi}{24} \\
\text{ή} \\
x = \kappa\pi + \frac{7\pi}{24}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

## Η εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu x = \alpha \)

Με ανάλογες σκέψεις, λύνουμε την εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu x = \alpha \). Ας δούμε την \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \). 🤔

Με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου, βρίσκουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \) στο διάστημα \( [-\pi, \pi] \) είναι οι \( \frac{\pi}{3} \) και \( -\frac{\pi}{3} \), γιατί \( \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3} = \sigma \upsilon \nu \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \).

Επομένως, το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2} \) δίνεται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{3} \\
\text{ή} \\
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{3}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μία λύση της εξίσωσης \( \sigma \upsilon \nu x = \alpha \), δηλαδή ισχύει \( \sigma \upsilon \nu \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \theta \\
\text{ή} \\
x = 2\kappa\pi - \theta
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

### Παραδείγματα 💡

**1. Να λυθεί η εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)**

Επειδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), έχουμε \( \sigma \upsilon \nu x = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{4} \), οπότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής δίνονται από τους τύπους:
\(
\begin{cases}
x = 2\kappa\pi + \frac{\pi}{4} \\
\text{ή} \\
x = 2\kappa\pi - \frac{\pi}{4}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

**2. Να λυθεί η εξίσωση \( \sigma \upsilon \nu 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)**

Επειδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ισχύει \( \sigma \upsilon \nu \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), δηλαδή \( \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Έχουμε επομένως \( \sigma \upsilon \nu 2x = \sigma \upsilon \nu \frac{5\pi}{6} \), οπότε:
\(
\begin{cases}
2x = 2\kappa\pi + \frac{5\pi}{6} \\
\text{ή} \\
2x = 2\kappa\pi - \frac{5\pi}{6}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)
ή ισοδύναμα
\(
\begin{cases}
x = \kappa\pi + \frac{5\pi}{12} \\
\text{ή} \\
x = \kappa\pi - \frac{5\pi}{12}
\end{cases}
, \kappa \in \mathbb{Z}
\)

## Η εξίσωση \( \varepsilon \phi x = \alpha \)

Έστω η εξίσωση \( \varepsilon \phi x = \sqrt{3} \). 🤓

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση \( \varepsilon \phi x \) είναι περιοδική με περίοδο \( \pi \). Επομένως, αρκεί να βρούμε τις λύσεις σε ένα διάστημα πλάτους \( \pi \), π.χ. το \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \), και να προσθέσουμε σε αυτές το \( \kappa\pi \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \).

Μία λύση της εξίσωσης \( \varepsilon \phi x = \sqrt{3} \) είναι η \( x = \frac{\pi}{3} \), γιατί \( \varepsilon \phi \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \). Η λύση αυτή είναι μοναδική στο διάστημα \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \).

Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης \( \varepsilon \phi x = \sqrt{3} \) είναι: \( x = \kappa\pi + \frac{\pi}{3} \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \).

Γενικότερα, αν \( \theta \) είναι μία λύση της εξίσωσης \( \varepsilon \phi x = \alpha \), αν δηλαδή ισχύει \( \varepsilon \phi \theta = \alpha \), τότε οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι:
\( x = \kappa\pi + \theta, \kappa \in \mathbb{Z} \)

Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση \( \sigma \phi x = \alpha \).

### Παραδείγματα 💡

**1. Να λυθεί η εξίσωση \( \varepsilon \phi x = -1 \)**

Επειδή \( \varepsilon \phi \frac{\pi}{4} = 1 \), ισχύει \( \varepsilon \phi \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \). Έχουμε επομένως \( \varepsilon \phi x = \varepsilon \phi \left(-\frac{\pi}{4}\right) \), οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
\( x = \kappa\pi - \frac{\pi}{4} \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \)

**2. Να λυθεί η εξίσωση \( \varepsilon \phi \frac{x}{6} = \sqrt{3} \)**

Επειδή \( \varepsilon \phi \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), έχουμε \( \varepsilon \phi \frac{x}{6} = \varepsilon \phi \frac{\pi}{3} \), οπότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
\( \frac{x}{6} = \kappa\pi + \frac{\pi}{3} \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \)
\( x = 6\kappa\pi + 6\frac{\pi}{3} \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \)
\( x = 6\kappa\pi + 2\pi \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \)
\( x = (3\kappa + 1)2\pi \), \( \kappa \in \mathbb{Z} \)


Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία