Το δρομολόγιο ξεκινά με τις ευθείες. Θα μάθεις να τις σχεδιάζεις και να βρίσκεις σημεία τομής. Στη συνέχεια, θα ταξιδέψεις στην πόλη των συναρτήσεων, αναζητώντας μονοτονίες και συμμετρίες. Ύστερα μια σύντομη στάση στους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τα πολυώνυμα. Τελικός προορισμός, οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις. Δέσε ζώνη, κάθισε στο βαγόνι σου και ταξίδεψε μαζί μας 🚂

Άλγεβρα Β' Λυκείου

# Η Εξίσωση \(αx + βy = γ\) 📈

Στο Γυμνάσιο είδαμε ότι η εξίσωση \(ax + βy = γ\), με \(α \neq 0\) ή \(β \neq 0\), λέγεται **γραμμική εξίσωση** και παριστάνει ευθεία γραμμή.

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1️⃣ **Αν \(β \neq 0\)**:
Η εξίσωση γράφεται:
\(ax + βy = γ \Leftrightarrow βy = -αx + γ \Leftrightarrow y = -\frac{α}{β}x + \frac{γ}{β}\)

Αυτή παριστάνει ευθεία που έχει:
*   <Tooltip><TooltipTrigger>Συντελεστή διεύθυνσης</TooltipTrigger><TooltipContent>Η κλίση της ευθείας, που δείχνει πόσο απότομα ανεβαίνει ή κατεβαίνει.</TooltipContent></Tooltip> (κλίση) \(λ = -\frac{α}{β}\)
*   Τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(\frac{γ}{β}\)

*Ειδικότερα:*
*   Αν \(α \neq 0\), τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες.

# Η Εξίσωση \(αx + βy = γ\) (Συνέχεια) 📉

*   **Αν \(α = 0\)** (και \(β \neq 0\)):
    Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(y = \frac{γ}{β}\).
    Παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(\frac{γ}{β}\).

*   **Αν \(β = 0\)** (και \(α \neq 0\)):
    Η εξίσωση γράφεται \(ax = γ \Leftrightarrow x = \frac{γ}{α}\).
    Παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\) και τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(\frac{γ}{α}\).

**Παραδείγματα:** ✨

*   Η εξίσωση \(x - 2y = 2\) παίρνει τη μορφή \(y = \frac{1}{2}x - 1\). Παριστάνει ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης \(λ = \frac{1}{2}\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(-1\).
*   Η εξίσωση \(y = 2\) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(2\).
*   Η εξίσωση \(x = 2\) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\) και τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(2\).

# Λύση Γραμμικής Εξίσωσης 🔑

Κάθε ζεύγος αριθμών \((x, y)\) που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση λέγεται **λύση** της γραμμικής εξίσωσης.

**Παράδειγμα:**
Για την εξίσωση \(x - 2y = 6\):
*   Το ζεύγος \((4, -1)\) είναι λύση, αφού \(4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6\).
*   Τα ζεύγη \((16, 5)\) και \((-10, -8)\) είναι επίσης λύσεις.
*   Γενικά, κάθε ζεύγος της μορφής \((k, \frac{1}{2}k - 3)\), \(k \in \mathbb{R}\) είναι λύση της εξίσωσης.

# Γραμμικό Σύστημα 2 x 2 🧩

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις \(ax + βy = γ\) και \(a'x + β'y = γ'\) και ζητάμε τις **κοινές λύσεις** αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα **γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους** ή, πιο σύντομα, ένα **γραμμικό σύστημα 2 x 2**.

Γράφουμε:
\( \begin{cases} ax + βy = γ \\ a'x + β'y = γ' \end{cases} \)

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει **και τις δύο** εξισώσεις του συστήματος λέγεται **λύση του συστήματος**.

# Μέθοδος της Αντικατάστασης 🔄

Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη.

**Παράδειγμα:**
Έστω το σύστημα:
\( \begin{cases} x - 2y = 6 \quad (1) \\ 3x + 4y = 8 \quad (2) \end{cases} \)

1.  Λύνουμε την (1) ως προς \(x\):
    \(x = 2y + 6\)

2.  Αντικαθιστούμε στην (2):
    \(3(2y + 6) + 4y = 8\)
    \( \Leftrightarrow 6y + 18 + 4y = 8 \)
    \( \Leftrightarrow 10y = -10 \)
    \( \Leftrightarrow y = -1 \)

3.  Αντικαθιστούμε την τιμή του \(y\) στην \(x = 2y + 6\):
    \(x = 2(-1) + 6 = -2 + 6 = 4\)

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \((4, -1)\). ✅

**Επαλήθευση:** Είναι καλό να ελέγχουμε αν οι τιμές που βρήκαμε επαληθεύουν τις αρχικές εξισώσεις:
*   1η εξίσωση: \(4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6\) ✔️
*   2η εξίσωση: \(3 \cdot 4 + 4(-1) = 12 - 4 = 8\) ✔️

# Μέθοδος των Αντίθετων Συντελεστών (ή της Απαλοιφής) ➕➖

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι **αντίθετοι**.

**Παράδειγμα:**
Έστω το σύστημα:
\( \begin{cases} x - 2y = 6 \quad (1) \\ 3x + 4y = 8 \quad (2) \end{cases} \)

1.  Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με \(-3\), ώστε οι συντελεστές του \(x\) να γίνουν αντίθετοι (\(-3\) και \(3\)):
    \( \begin{cases} -3(x - 2y) = -3 \cdot 6 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3x + 6y = -18 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases} \)

2.  Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που προκύπτουν:
    \( (-3x + 6y) + (3x + 4y) = -18 + 8 \)
    \( \Leftrightarrow 10y = -10 \)
    \( \Leftrightarrow y = -1 \)

3.  Αντικαθιστούμε την τιμή του \(y\) σε μία από τις αρχικές εξισώσεις (π.χ., την (1)):
    \( x - 2(-1) = 6 \)
    \( \Leftrightarrow x + 2 = 6 \)
    \( \Leftrightarrow x = 4 \)

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \((4, -1)\) (η ίδια φυσικά που βρέθηκε και με την προηγούμενη μέθοδο). ✅

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 - Σύστημα με Παράμετρο 📝

Να λυθεί το σύστημα:
\( \begin{cases} λx - y = λ - 1 \quad (1) \\ λ^2x - 2y = λ \quad (2) \end{cases} \)
για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(λ \in \mathbb{R}\).

**Λύση:**

Από την εξίσωση (1) έχουμε: \( y = λx - (λ - 1) \quad (3) \)

Αντικαθιστούμε την (3) στην (2):

\( λ^2x - 2(λx - λ + 1) = λ \)

\( \Leftrightarrow λ^2x - 2λx + 2λ - 2 = λ \)

\( \Leftrightarrow (λ^2 - 2λ)x = -λ + 2 \)

\( \Leftrightarrow λ(λ - 2)x = -(λ - 2) \quad (4) \)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις για το \(λ\):

1️⃣ **Αν \( λ(λ - 2) \neq 0 \)**, δηλαδή \( λ \neq 0 \) και \( λ \neq 2 \):

Τότε από την (4) έχουμε:

\( x = \frac{-(λ - 2)}{λ(λ - 2)} = -\frac{1}{λ} \)

Και από την (3):

\( y = λ(-\frac{1}{λ}) - (λ - 1) = -1 - λ + 1 = -λ \)

Άρα, το σύστημα έχει **μοναδική λύση** το ζεύγος \((-\frac{1}{λ}, -λ)\).

2️⃣ **Αν \( λ = 0 \)**:

Η εξίσωση (4) γίνεται \( 0x = 2 \), η οποία είναι **αδύνατη**.

Άρα, το σύστημα είναι **αδύνατο**.


3️⃣ **Αν \( λ = 2 \)**:

Η εξίσωση (4) γίνεται \( 0x = 0 \), η οποία είναι **ταυτότητα** (αληθεύει για κάθε \(x \in \mathbb{R}\)).

Από την (3) για \( λ = 2 \) παίρνουμε: \( y = 2x - (2 - 1) = 2x - 1 \).

Άρα, το σύστημα έχει **άπειρες λύσεις** της μορφής \((k, 2k - 1)\), όπου \(k \in \mathbb{R}\).

Αλγεβρική Επίλυση

# Γραμμικά Συστήματα 📐

## Η Εξίσωση \(ax + βy = γ\)

Στο Γυμνάσιο μάθαμε ότι η εξίσωση \(ax + βy = γ\), με \(α ≠ 0\) ή \(β ≠ 0\), λέγεται **γραμμική εξίσωση** και παριστάνει μια ευθεία γραμμή 📈.

Ας δούμε τις περιπτώσεις:

*   **Αν \(β ≠ 0\):**
    Τότε η εξίσωση γράφεται:
    \(ax + βy = γ \Leftrightarrow βy = -ax + γ \Leftrightarrow y = -\frac{α}{β}x + \frac{γ}{β}\)
    Αυτή η εξίσωση παριστάνει μια ευθεία που έχει <Tooltip><TooltipTrigger>συντελεστή διεύθυνσης</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένας αριθμός που περιγράφει την κλίση μιας ευθείας.</TooltipContent></Tooltip> \(λ = -\frac{α}{β}\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(\frac{γ}{β}\).
    *   **Ειδικότερα:**
        *   Αν \(α ≠ 0\), τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες.
        *   Αν \(α = 0\), τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(y = \frac{γ}{β}\). Αυτή παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(\frac{γ}{β}\).

*   **Αν \(β = 0\) (οπότε \(α ≠ 0\)):**
    Τότε η εξίσωση γράφεται:
    \(ax = γ \Leftrightarrow x = \frac{γ}{α}\)
    Αυτή η εξίσωση παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\) και τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(\frac{γ}{α}\).

**Παραδείγματα:** 💡

*   Η εξίσωση \(x - 2y = 2\) παίρνει τη μορφή \(y = \frac{1}{2}x - 1\). Παριστάνει ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης \(λ = \frac{1}{2}\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(-1\).
*   Η εξίσωση \(y = 2\) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\) και τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(2\).
*   Η εξίσωση \(x = 2\) παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\) και τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(2\).

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μια γραμμική εξίσωση λέγεται **λύση** της γραμμικής εξίσωσης.

<Fact title='Παράδειγμα Λύσης'>
  Το ζεύγος \((4, -1)\) είναι λύση της εξίσωσης \(x - 2y = 6\), αφού \(4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6\). Γενικά, κάθε ζεύγος της μορφής \((k, \frac{1}{2}k - 3)\), \(k \in \mathbb{R}\) είναι λύση της εξίσωσης.
</Fact>

## Γραμμικό σύστημα 2 x 2

Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις \(ax + βy = γ\) και \(α'x + β'y = γ'\) και ψάχνουμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα **γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους** ή, πιο σύντομα, ένα **γραμμικό σύστημα 2 x 2** και γράφουμε:
\( \begin{cases} αx + βy = γ \\ α'x + β'y = γ' \end{cases} \)

Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται **λύση του συστήματος**.

Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο <Tooltip><TooltipTrigger>ισοδύναμο σύστημα</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα σύστημα που έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό.</TooltipContent></Tooltip>, το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό.

Η μετατροπή ενός συστήματος σε ισοδύναμό του γίνεται συνήθως με έναν από τους εξής δύο τρόπους:

1.  **Μέθοδος της αντικατάστασης:** Λύνουμε τη μια εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση.
2.  **Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών:** Αντικαθιστούμε μια από τις εξισώσεις (ε) ή (ε') του συστήματος, π.χ. την (ε), με την εξίσωση «\(λ \cdot (ε) + λ' \cdot (ε')\)» που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με \(λ ≠ 0\), προσθέσουμε τα μέλη της (ε') πολλαπλασιασμένα με \(λ'\). Η εξίσωση \(λ \cdot (ε) + λ' \cdot (ε')\) λέγεται **γραμμικός συνδυασμός** των εξισώσεων (ε) και (ε').

<Alert title='Βασική Ιδιότητα'>
  Αν \(α = β\) και \(γ = δ\), τότε \(α + γ = β + δ\).
</Alert>

### Μέθοδος της αντικατάστασης 🔄

Ας λύσουμε το σύστημα:
\( \begin{cases} x - 2y = 6 & (1) \\ 3x + 4y = 8 & (2) \end{cases} \)

1.  Λύνουμε την (1) ως προς \(x\): \(x = 2y + 6\).
2.  Αντικαθιστούμε στην (2) το \(x\) με την παράσταση που βρήκαμε:
    \(3(2y + 6) + 4y = 8\)
3.  Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει:
    \(6y + 18 + 4y = 8 \Leftrightarrow 10y = -10 \Leftrightarrow y = -1\)
4.  Αντικαθιστούμε την τιμή του \(y\) στην πρώτη εξίσωση \(x = 2y + 6\) και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο:
    \(x = 2(-1) + 6 = -2 + 6 = 4\)

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \((4, -1)\). ✅

<Alert title='Σημαντικό!'>
  Είναι σκόπιμο να κάνουμε **επαλήθευση** του συστήματος, αντικαθιστώντας τις τιμές των αγνώστων που βρήκαμε στις αρχικές εξισώσεις.
  Για \(x = 4\) και \(y = -1\):
  1η εξίσωση: \(4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6\) (Ισχύει)
  2η εξίσωση: \(3 \cdot 4 + 4(-1) = 12 - 4 = 8\) (Ισχύει)
</Alert>

### Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής) ➕➖

Ας λύσουμε το ίδιο σύστημα:
\( \begin{cases} x - 2y = 6 & (1) \\ 3x + 4y = 8 & (2) \end{cases} \)

1.  Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με \(-3\), ώστε οι συντελεστές του \(x\) στις δύο εξισώσεις να γίνουν αντίθετοι:
    \( \begin{cases} -3x + 6y = -18 \\ 3x + 4y = 8 \end{cases} \)
2.  Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε:
    \(-3x + 6y + 3x + 4y = -18 + 8 \Leftrightarrow 10y = -10 \Leftrightarrow y = -1\)
3.  Αντικαθιστούμε την τιμή του \(y\) που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις (π.χ. την (1)):
    \(x - 2(-1) = 6 \Leftrightarrow x + 2 = 6 \Leftrightarrow x = 4\)

Άρα, η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος \((4, -1)\). ✅

## Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2 x 2 📉📈

Κάθε εξίσωση του γραμμικού συστήματος
\( \begin{cases} αx + βy = γ \\ α'x + β'y = γ' \end{cases} \)
παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Το σημείο τομής των ευθειών αυτών προσδιορίζει τη λύση του συστήματος, αφού οι συντεταγμένες του επαληθεύουν συγχρόνως τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

Γενικά, μπορούμε να επιλύσουμε γραφικά ένα γραμμικό σύστημα σχεδιάζοντας τις δύο ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του και βρίσκοντας, εφόσον υπάρχει, το σημείο τομής τους.

Οι δύο εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 παριστάνουν δύο ευθείες οι οποίες μπορεί:

1.  **Να τέμνονται:** Οι ευθείες έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης. Το σύστημα έχει **μοναδική λύση**, τις συντεταγμένες του σημείου τομής.
    *   **Παράδειγμα:** Το σύστημα \( \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 4x - 9y = 1 \end{cases} \) γράφεται \( \begin{cases} y = -\frac{2}{3}x + 1 \\ y = \frac{4}{9}x - \frac{1}{9} \end{cases} \). Οι ευθείες τέμνονται (διαφορετικοί συντελεστές διεύθυνσης). Η αλγεβρική λύση δίνει το ζεύγος \((1, \frac{1}{3})\).

2.  **Να είναι παράλληλες:** Οι ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης αλλά τέμνουν τον άξονα \(y'y\) σε διαφορετικά σημεία. Το σύστημα **δεν έχει λύση** (είναι **αδύνατο**).
    *   **Παράδειγμα:** Το σύστημα \( \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = -5 \end{cases} \) γράφεται \( \begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = -\frac{2}{4}x - \frac{5}{4} \end{cases} \) ή \( \begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \\ y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{4} \end{cases} \). Οι ευθείες είναι παράλληλες. Το σύστημα είναι αδύνατο.

3.  **Να συμπίπτουν:** Οι ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης και τέμνουν τον άξονα \(y'y\) στο ίδιο σημείο. Το σύστημα έχει **άπειρο πλήθος λύσεων** (είναι **αόριστο**). Οι λύσεις είναι οι συντεταγμένες των σημείων της κοινής ευθείας.
    *   **Παράδειγμα:** Το σύστημα \( \begin{cases} y + 1 = 2x \\ 4x - 2y = 2 \end{cases} \) γράφεται \( \begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = 2x - 1 \end{cases} \). Οι ευθείες συμπίπτουν. Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής \((k, 2k - 1)\), \(k \in \mathbb{R}\).

<Alert title='Προσοχή!'>
  Η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 δίνει λύσεις που μπορεί να είναι προσεγγιστικές. Παρά την αδυναμία αυτή, η γραφική επίλυση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2 διευκολύνει πάρα πολύ σε περιπτώσεις, όπου μας ενδιαφέρουν μόνο προσεγγιστικές λύσεις του συστήματος ή, ακόμη, όταν η αλγεβρική του επίλυση είναι δυσχερής. 🤔
</Alert>

Άλγεβρα Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Αλγεβρική Επίλυση