Η Υπερβολή 🚀

Ορισμός Υπερβολής

Έστω $E'$ και $E$ δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία $E'$ και $E$ ο γεωμετρικός τόπος $C$ των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα $E'$ και $E$ είναι σταθερή και μικρότερη του $(E'E)$.

Δηλαδή, ένα σημείο $M$ ανήκει στην υπερβολή αν και μόνο αν:

$| |ME'| - |ME| | = 2\alpha$

όπου $2\alpha$ είναι η σταθερή διαφορά και $2\gamma = (E'E)$ είναι η εστιακή απόσταση. Ισχύει $2\alpha < 2\gamma$, δηλαδή $\alpha < \gamma$.

Εξίσωση Υπερβολής

Για να βρούμε την εξίσωση της υπερβολής $C$, επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων $Oxy$ με τον άξονα $x'x$ να είναι η ευθεία $E'E$ και τον άξονα $y'y$ να είναι η μεσοκάθετος του $E'E$.

Οι εστίες έχουν συντεταγμένες $E'(-\gamma, 0)$ και $E(\gamma, 0)$.

Αν $M(x, y)$ είναι ένα σημείο της υπερβολής, τότε ισχύει $| |ME'| - |ME| | = 2\alpha$.

Με $(ME') = \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2}$ και $(ME) = \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2}$, η σχέση γράφεται:

$|\sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} - \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2}| = 2\alpha$

Υψώνοντας στο τετράγωνο και κάνοντας πράξεις, καταλήγουμε στην εξίσωση:

$(\gamma^2 - \alpha^2)x^2 - \alpha^2 y^2 = \alpha^2 (\gamma^2 - \alpha^2)$

Επειδή $\gamma > \alpha$, είναι $\gamma^2 - \alpha^2 > 0$. Θέτουμε $\beta^2 = \gamma^2 - \alpha^2$ (άρα $\beta = \sqrt{\gamma^2 - \alpha^2}$), και η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

$\beta^2 x^2 - \alpha^2 y^2 = \alpha^2 \beta^2$

Διαιρώντας με $\alpha^2 \beta^2$ ($\alpha, \beta \neq 0$), παίρνουμε την κανονική εξίσωση της υπερβολής:

$\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$

Αποδεικνύεται και το αντίστροφο, δηλαδή κάθε σημείο $M(x, y)$ που οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ ανήκει στην υπερβολή με εστίες $E'(-\gamma, 0)$, $E(\gamma, 0)$ και σταθερή διαφορά $2\alpha$.

Παράδειγμα: Η εξίσωση $\frac{x^2}{12^2} - \frac{y^2}{5^2} = 1$ παριστάνει υπερβολή με $\alpha = 12$ και $\beta = 5$. Τότε $\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$, άρα $\gamma = 13$. Οι εστίες είναι $E'(-13, 0)$ και $E(13, 0)$, και η σταθερή διαφορά είναι $2\alpha = 24$.

Ισοσκελής Υπερβολή: Αν $\alpha = \beta$, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και η εξίσωσή της γράφεται $x^2 - y^2 = \alpha^2$.

Ιδιότητες Υπερβολής

Έστω η υπερβολή $C$ με εξίσωση $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$.

• Συμμετρίες:
  • Αν το σημείο $M(x, y)$ ανήκει στην $C$, τότε και τα σημεία $M_1(x, -y)$, $M_2(-x, y)$ και $M_3(-x, -y)$ ανήκουν στην $C$.
  • Αυτό σημαίνει ότι η υπερβολή έχει άξονες συμμετρίας τους $x'x$ και $y'y$ και κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων $O(0,0)$, που λέγεται κέντρο της υπερβολής.
• Κορυφές:
  • Η υπερβολή τέμνει τον άξονα $x'x$ στα σημεία $A'(-\alpha, 0)$ και $A(\alpha, 0)$, που λέγονται κορυφές της υπερβολής.
  • Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα $y'y$, θέτουμε $x=0$ στην εξίσωση: $-\frac{y^2}{\beta^2} = 1 \Rightarrow y^2 = -\beta^2$. Αυτή η εξίσωση είναι αδύνατη στο $\mathbb{R}$. Άρα, η υπερβολή δεν τέμνει τον άξονα $y'y$.
• Κλάδοι:
  • Από την εξίσωση $\frac{x^2}{\alpha^2} = 1 + \frac{y^2}{\beta^2} \ge 1$, προκύπτει $x^2 \ge \alpha^2$, δηλαδή $x \le -\alpha$ ή $x \ge \alpha$.
  • Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία της υπερβολής βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών $x = -\alpha$ και $x = \alpha$. Η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους.

Ασύμπτωτες Υπερβολής 📏

Έστω η υπερβολή $C$ με εξίσωση $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ (1) και μια ευθεία $\epsilon$ με εξίσωση $y = \lambda x$ (2), που περνάει από την αρχή των αξόνων.

Η ευθεία $\epsilon$ έχει με την υπερβολή $C$ κοινά σημεία, αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2) έχει λύση. Αντικαθιστώντας το $y$ από την (2) στην (1) παίρνουμε:

$\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{\lambda^2 x^2}{\beta^2} = 1 \Rightarrow \beta^2 x^2 - \alpha^2 \lambda^2 x^2 = \alpha^2 \beta^2 \Rightarrow (\beta^2 - \lambda^2 \alpha^2) x^2 = \alpha^2 \beta^2$ (3)

• Αν $\beta^2 - \lambda^2 \alpha^2 > 0$, δηλαδή $|\lambda| < \frac{\beta}{\alpha}$, η (3) έχει δύο λύσεις ως προς $x$, άρα η ευθεία τέμνει την υπερβολή σε δύο σημεία.
• Αν $\beta^2 - \lambda^2 \alpha^2 < 0$, δηλαδή $|\lambda| > \frac{\beta}{\alpha}$, η (3) είναι αδύνατη, άρα η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με την υπερβολή.
• Αν $\beta^2 - \lambda^2 \alpha^2 = 0$, δηλαδή $|\lambda| = \frac{\beta}{\alpha}$ ή $\lambda = \pm \frac{\beta}{\alpha}$, η (3) γράφεται $0 \cdot x^2 = \alpha^2 \beta^2$ και είναι αδύνατη. Οι ευθείες $y = \frac{\beta}{\alpha} x$ και $y = -\frac{\beta}{\alpha} x$ δεν τέμνουν την υπερβολή.

Οι ευθείες:

$y = \frac{\beta}{\alpha} x$ και $y = -\frac{\beta}{\alpha} x$

λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής.

Καθώς ένα σημείο $M(x, y)$ της υπερβολής απομακρύνεται απεριόριστα ($x \to \infty$), η απόστασή του από μία από τις ασύμπτωτες τείνει στο μηδέν. Δηλαδή, οι κλάδοι της υπερβολής πλησιάζουν συνεχώς τις ασύμπτωτες, χωρίς ποτέ να τις τέμνουν.

Οι ασύμπτωτες είναι οι διαγώνιες του ορθογωνίου με κορυφές $Κ(\alpha, \beta)$, $Λ(-\alpha, \beta)$, $Μ(-\alpha, -\beta)$, $Ν(\alpha, -\beta)$. Αυτό το ορθογώνιο λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής.

Εκκεντρότητα Υπερβολής 🧭

Η εκκεντρότητα $\epsilon$ της υπερβολής $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ ορίζεται ως ο λόγος $\epsilon = \frac{\gamma}{\alpha}$.

Επειδή $\gamma > \alpha$, ισχύει πάντα $\epsilon > 1$.

Από τη σχέση $\beta^2 = \gamma^2 - \alpha^2$, έχουμε $\frac{\beta^2}{\alpha^2} = \frac{\gamma^2}{\alpha^2} - 1 = \epsilon^2 - 1$. Άρα, ο συντελεστής διεύθυνσης των ασύμπτωτων είναι $\frac{\beta}{\alpha} = \sqrt{\epsilon^2 - 1}$.

Η εκκεντρότητα καθορίζει το "άνοιγμα" της υπερβολής:

• Όσο η εκκεντρότητα πλησιάζει το 1 (δηλαδή $\gamma$ πλησιάζει το $\alpha$), το $\beta$ πλησιάζει το 0, οι ασύμπτωτες πλησιάζουν τον άξονα $x'x$, και η υπερβολή γίνεται πιο "κλειστή".
• Όσο η εκκεντρότητα μεγαλώνει, το $\frac{\beta}{\alpha}$ μεγαλώνει, οι ασύμπτωτες πλησιάζουν τον άξονα $y'y$, και η υπερβολή γίνεται πιο "ανοιχτή".

Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής ($\alpha = \beta$), έχουμε $\gamma^2 = \alpha^2 + \alpha^2 = 2\alpha^2$, άρα $\gamma = \alpha\sqrt{2}$. Η εκκεντρότητα είναι $\epsilon = \frac{\gamma}{\alpha} = \sqrt{2}$.

Εφαπτομένη Υπερβολής 📐

Έστω η υπερβολή $C$ με εξίσωση $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$.

Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο της $M_1(x_1, y_1)$ έχει εξίσωση:

$\frac{xx_1}{\alpha^2} - \frac{yy_1}{\beta^2} = 1$

Παράδειγμα: Η εφαπτομένη της υπερβολής $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ($\alpha^2=4, \beta^2=1$) στο σημείο $M_1(4, \sqrt{3})$ έχει εξίσωση:

$\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{y \cdot \sqrt{3}}{1} = 1 \Rightarrow x - y\sqrt{3} = 1$, ή ισοδύναμα $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ανακλαστική Ιδιότητα ✨

Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο $M$ διχοτομεί τη γωνία $E'ME$, όπου $E', E$ είναι οι εστίες της υπερβολής.

Αυτό σημαίνει ότι μια φωτεινή ακτίνα που κατευθύνεται προς τη μία εστία (π.χ., $E$), όταν ανακλάται στην επιφάνεια της υπερβολής, διέρχεται από την άλλη εστία ($E'$).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να αποδειχτεί ότι το γινόμενο των αποστάσεων ενός σημείου $M_1(x_1, y_1)$ της υπερβολής $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ από τις ασύμπτωτές της είναι σταθερό.

Λύση:

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι ευθείες:

$\epsilon_1: y = \frac{\beta}{\alpha}x \Rightarrow \beta x - \alpha y = 0$

$\epsilon_2: y = -\frac{\beta}{\alpha}x \Rightarrow \beta x + \alpha y = 0$

Η απόσταση του σημείου $M_1(x_1, y_1)$ από την $\epsilon_1$ είναι $d(M_1, \epsilon_1) = \frac{|\beta x_1 - \alpha y_1|}{\sqrt{\beta^2 + (-\alpha)^2}} = \frac{|\beta x_1 - \alpha y_1|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} = \frac{|\beta x_1 - \alpha y_1|}{\gamma}$.

Η απόσταση του σημείου $M_1(x_1, y_1)$ από την $\epsilon_2$ είναι $d(M_1, \epsilon_2) = \frac{|\beta x_1 + \alpha y_1|}{\sqrt{\beta^2 + \alpha^2}} = \frac{|\beta x_1 + \alpha y_1|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} = \frac{|\beta x_1 + \alpha y_1|}{\gamma}$.

Το γινόμενο των αποστάσεων είναι:

$d(M_1, \epsilon_1) \cdot d(M_1, \epsilon_2) = \frac{|\beta x_1 - \alpha y_1|}{\gamma} \cdot \frac{|\beta x_1 + \alpha y_1|}{\gamma}$

$= \frac{|(\beta x_1 - \alpha y_1)(\beta x_1 + \alpha y_1)|}{\gamma^2} = \frac{|\beta^2 x_1^2 - \alpha^2 y_1^2|}{\gamma^2}$

Επειδή το σημείο $M_1(x_1, y_1)$ ανήκει στην υπερβολή, ισχύει $\frac{x_1^2}{\alpha^2} - \frac{y_1^2}{\beta^2} = 1$, από όπου έχουμε $\beta^2 x_1^2 - \alpha^2 y_1^2 = \alpha^2 \beta^2$.

Άρα, το γινόμενο των αποστάσεων γίνεται:

$d(M_1, \epsilon_1) \cdot d(M_1, \epsilon_2) = \frac{|\alpha^2 \beta^2|}{\gamma^2} = \frac{\alpha^2 \beta^2}{\alpha^2 + \beta^2}$

Αυτό το γινόμενο είναι σταθερό για κάθε σημείο $M_1$ της υπερβολής. ✅