Ο Κύκλος ⭕

Εξίσωση Κύκλου

Έστω $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και $C$ ο κύκλος με κέντρο το σημείο $O(0,0)$ και ακτίνα $\rho$. Ένα σημείο $M(x,y)$ ανήκει στον κύκλο $C$, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο $O$ απόσταση ίση με $\rho$, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει:

$(OM) = \rho$ (1)

Όμως, $(OM) = \sqrt{x^2 + y^2}$. Επομένως, η (1) γράφεται $\sqrt{x^2 + y^2} = \rho$ ή, ισοδύναμα, $x^2 + y^2 = \rho^2$ (2).

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου $C$ και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση (2). Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο $O(0,0)$ και ακτίνα $\rho$ έχει εξίσωση:

$x^2 + y^2 = \rho^2$ (3) ✨

Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο $O(0,0)$ και ακτίνα $\rho = 1$ έχει εξίσωση $x^2 + y^2 = 1$. Ο κύκλος αυτός λέγεται μοναδιαίος κύκλος. 🪙

Εφαπτομένη Κύκλου

Έστω $\epsilon$ η εφαπτομένη του κύκλου $C: x^2 + y^2 = \rho^2$ σε ένα σημείο του $A(x_1, y_1)$. Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο $M(x,y)$ ανήκει στην $\epsilon$, αν και μόνο αν $OA \perp AM$, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει

$\vec{OA} \cdot \vec{AM} = 0$ (1) 🧭

Όμως $\vec{OA} = (x_1, y_1)$ και $\vec{AM} = (x - x_1, y - y_1)$. Έτσι η (1) γράφεται διαδοχικά

$x_1(x - x_1) + y_1(y - y_1) = 0$

$xx_1 - x_1^2 + yy_1 - y_1^2 = 0$

$xx_1 + yy_1 = x_1^2 + y_1^2$

αφού $x_1^2 + y_1^2 = \rho^2$.

Επομένως, η εφαπτομένη του κύκλου $x^2 + y^2 = \rho^2$ στο σημείο του $A(x_1, y_1)$ έχει εξίσωση

$xx_1 + yy_1 = \rho^2$ ✅

Για παράδειγμα, η εφαπτομένη του κύκλου $x^2 + y^2 = 1$ στο σημείο $A(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ έχει εξίσωση $x \cdot \frac{1}{2} + y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$, η οποία γράφεται $x + \sqrt{3}y - 2 = 0$.

Η Εξίσωση $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$

Έστω $Oxy$ ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και $C$ ο κύκλος με κέντρο $K(x_0, y_0)$ και ακτίνα $\rho$. Ένα σημείο $M(x,y)$ ανήκει στον κύκλο $C$, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του $K$ απόσταση ίση με $\rho$, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει

$(KM) = \rho$ (1)

Όμως, $(KM) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$.

Επομένως, η σχέση (1) γράφεται:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = \rho$ ή, ισοδύναμα, $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \rho^2$.

Άρα, ο κύκλος με κέντρο $K(x_0, y_0)$ και ακτίνα $\rho$ έχει εξίσωση:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = \rho^2$ (2) 🎯

Έτσι, για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο $K(1, -3)$ και ακτίνα $\rho = 2$ έχει εξίσωση $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 2^2$.

Αν τώρα εκτελέσουμε τις πράξεις, η εξίσωση (2) γράφεται

$x^2 - 2x_0x + x_0^2 + y^2 - 2y_0y + y_0^2 - \rho^2 = 0$,

δηλαδή παίρνει τη μορφή

$x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$ (3)

όπου $A = -2x_0$, $B = -2y_0$ και $\Gamma = x_0^2 + y_0^2 - \rho^2$.

Αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (3) γράφεται διαδοχικά:

$(x^2 + Ax) + (y^2 + By) = -\Gamma$

$(x^2 + 2 \cdot \frac{A}{2} x + \frac{A^2}{4}) + (y^2 + 2 \cdot \frac{B}{2} y + \frac{B^2}{4}) = -\Gamma + \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4}$

$(x + \frac{A}{2})^2 + (y + \frac{B}{2})^2 = \frac{A^2 + B^2 - 4\Gamma}{4}$

Επομένως:

• Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0$, η εξίσωση (3) παριστάνει κύκλο με κέντρο $K(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$ και ακτίνα $\rho = \frac{\sqrt{A^2 + B^2 - 4\Gamma}}{2}$. 👍
• Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma = 0$, η εξίσωση (3) παριστάνει ένα μόνο σημείο, το $K(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$. 📍
• Αν $A^2 + B^2 - 4\Gamma < 0$, η εξίσωση (3) είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία $M(x,y)$ των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν. 👎

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής $x^2 + y^2 + Ax + By + \Gamma = 0$, με $A^2 + B^2 - 4\Gamma > 0$ (I)

και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (I) παριστάνει κύκλο.

Η εξίσωση $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 12 = 0$, για παράδειγμα, γράφεται διαδοχικά

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = -12$

$(x^2 - 2 \cdot 2x + 2^2) + (y^2 + 2 \cdot 3y + 3^2) = -12 + 2^2 + 3^2$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 1^2$.

Άρα, παριστάνει κύκλο με κέντρο $K(2, -3)$ και ακτίνα $\rho = 1$. 🎉

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου $C: x^2 + y^2 = 5$ που διέρχονται από το σημείο $A(3,1)$, και να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες.

ΛΥΣΗ 💡

Έστω $\epsilon_1$ μια εφαπτομένη του κύκλου $C$ που διέρχεται από το σημείο $A$. Αν $M_1(x_1, y_1)$ είναι το σημείο επαφής, τότε η $\epsilon_1$ θα έχει εξίσωση

$xx_1 + yy_1 = 5$ (1)

και επειδή διέρχεται από το σημείο $A(3,1)$, θα ισχύει

$3x_1 + y_1 = 5$ (2)

Όμως, το σημείο $M_1(x_1, y_1)$ ανήκει στον κύκλο $C$. Άρα, θα ισχύει

$x_1^2 + y_1^2 = 5$ (3)

Επομένως, οι συντεταγμένες $(x_1, y_1)$ του $M_1$ είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων (2) και (3). Λύνουμε το σύστημα αυτό και βρίσκουμε δύο λύσεις:

$(x_1, y_1) = (1, 2)$ ή $(x_1, y_1) = (2, -1)$ (4)

Άρα, υπάρχουν δύο εφαπτόμενες του $C$ που διέρχονται από το σημείο $A(3,1)$, οι οποίες, λόγω των (1) και (4), έχουν εξισώσεις:

$\epsilon_1: x + 2y = 5$, $\epsilon_2: 2x - y = 5$.

Επειδή οι συντελεστές διεύθυνσης των $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ είναι $\lambda_1 = -\frac{1}{2}$ και $\lambda_2 = 2$, οι ευθείες $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ είναι κάθετες, αφού $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = (-\frac{1}{2}) \cdot 2 = -1$. ✔️

2. Δίνονται οι κύκλοι $C_1: (x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2$ και $C_2: x^2 + (y+1)^2 = 3^2$.
(i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης $\epsilon$ του κύκλου $C_1$ στο σημείο $A(5, -1)$.
(ii) Να αποδειχτεί ότι η $\epsilon$ εφάπτεται και του κύκλου $C_2$.

ΛΥΣΗ 💡

Ο κύκλος $C_1$ έχει κέντρο $K(2,3)$ και ακτίνα 5, ενώ ο κύκλος $C_2$ έχει κέντρο $\Lambda(0, -1)$ και ακτίνα 3.

(i) Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία ότι ένα σημείο $M(x,y)$ ανήκει στην $\epsilon$, αν και μόνο αν $AM \perp KA$, δηλαδή, αν και μόνο αν

$\vec{KA} \cdot \vec{AM} = 0$ (1)

Όμως, $\vec{KA} = (5-2, -1-3) = (3, -4)$ και $\vec{AM} = (x-5, y+1)$. Έτσι, η (1) γράφεται διαδοχικά

$3(x-5) - 4(y+1) = 0$

$3x - 15 - 4y - 4 = 0$

$3x - 4y - 19 = 0$.

Άρα, η εξίσωση της $\epsilon$ είναι:

$3x - 4y - 19 = 0$ (2)

(ii) Για να δείξουμε ότι η $\epsilon$ εφάπτεται του κύκλου $C_2$, αρκεί να δείξουμε ότι η απόσταση του κέντρου $\Lambda(0, -1)$ του $C_2$ από την $\epsilon$ είναι ίση με την ακτίνα του $C_2$, δηλαδή ίση με 3.
Έχουμε λοιπόν:

$d(\Lambda, \epsilon) = \frac{|3 \cdot 0 - 4(-1) - 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 - 19|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$. ✅

Άρα, η ευθεία $\epsilon$ εφάπτεται και του κύκλου $C_2$.