Απόσταση Σημείου από Ευθεία 📐

Έστω $\varepsilon$ μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση $Ax + By + \Gamma = 0$ και $M_0(x_0, y_0)$ ένα σημείο εκτός αυτής.

Θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση $d(M_0, \varepsilon)$ του σημείου $M_0$ από την ευθεία $\varepsilon$.

Τύπος:

$\boxed{d(M_0, \varepsilon) = \frac{|Ax_0 + By_0 + \Gamma|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}$ ✨

Παράδειγμα:

Η απόσταση του σημείου $M_0(-1, 2)$ από την ευθεία $\varepsilon: 4x + 3y + 8 = 0$ είναι ίση με:

$d(M_0, \varepsilon) = \frac{|4(-1) + 3 \cdot 2 + 8|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-4 + 6 + 8|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$.

Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου (Τύπος) 🧮

Η σχέση για το εμβαδόν γράφεται:

$\boxed{(ABΓ) = \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AΓ})|}$ 🎉

##Παράδειγμα:

Αν $A(0, 1)$, $B(-1, 0)$ και $Γ(3, -8)$ είναι οι κορυφές ενός τριγώνου $ABΓ$, τότε $\overrightarrow{AB} = (-1, -1)$ και $\overrightarrow{AΓ} = (3, -9)$, οπότε το εμβαδόν του $ABΓ$ είναι:

$(ABΓ) = \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AΓ})| = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 3 & -9 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{2} |(-1)(-9) - (-1)(3)| = \frac{1}{2} |9 + 3| = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: Απόσταση Παράλληλων Ευθειών 📏

Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών $\varepsilon_1: y = \lambda x + \beta_1$ και $\varepsilon_2: y = \lambda x + \beta_2$ δίνεται από τον τύπο:
$d(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = \frac{|\beta_1 - \beta_2|}{\sqrt{1 + \lambda^2}}$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Η απόσταση $d(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$ των παράλληλων ευθειών $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας $\varepsilon_1$ από την ευθεία $\varepsilon_2$.

Για $x = 0$, από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι $y = \beta_1$. Άρα, το σημείο $A(0, \beta_1)$ ανήκει στην $\varepsilon_1$.

Η εξίσωση της $\varepsilon_2$ γράφεται $\lambda x - y + \beta_2 = 0$.

Οπότε έχουμε:

$d(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = d(A, \varepsilon_2) = \frac{|\lambda \cdot 0 - \beta_1 + \beta_2|}{\sqrt{\lambda^2 + (-1)^2}}$

$= \frac{|-\beta_1 + \beta_2|}{\sqrt{\lambda^2 + 1}} = \frac{|\beta_1 - \beta_2|}{\sqrt{1 + \lambda^2}}$ ✅

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Γεωμετρικός Τόπος 📍

Θεωρούμε τα σημεία $A(-3, 0)$, $B(-2, 0)$ και $Γ(-4, 2)$. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $M(x, y)$ για τα οποία ισχύει: $(ΜΒΓ) = 2(ΑΒΓ)$

ΛΥΣΗ:

Πρώτα, υπολογίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου $ABΓ$.

Έχουμε $\overrightarrow{AB} = (-2 - (-3), 0 - 0) = (1, 0)$ και $\overrightarrow{AΓ} = (-4 - (-3), 2 - 0) = (-1, 2)$.

Το εμβαδόν $(ABΓ)$ είναι ίσο με:

$(ABΓ) = \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AΓ})| = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{2} |1 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)| = \frac{1}{2} |2| = 1$

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2: Γεωμετρικός Τόπος (Συνέχεια) 🗺️

Έστω $M(x, y)$ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου.

Έχουμε $\overrightarrow{BΓ} = (-4 - (-2), 2 - 0) = (-2, 2)$ και $\overrightarrow{BM} = (x - (-2), y - 0) = (x + 2, y)$.

Το εμβαδόν του $(MBΓ)$ είναι ίσο με:

$(MBΓ) = \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{BΓ}, \overrightarrow{BM})| = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ x + 2 & y \end{vmatrix} \right|$

$= \frac{1}{2} |(-2)y - 2(x + 2)| = \frac{1}{2} |-2y - 2x - 4| = \frac{1}{2} |-2(x + y + 2)| = |x + y + 2|$

Επομένως, το $M(x, y)$ είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν ισχύει:

$(MBΓ) = 2(ABΓ) \Leftrightarrow |x + y + 2| = 2 \cdot 1$

$\Leftrightarrow |x + y + 2| = 2$

$\Leftrightarrow x + y + 2 = 2$ ή $x + y + 2 = -2$

$\Leftrightarrow y = -x$ ή $y = -x - 4$

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από τις ευθείες $y = -x$ και $y = -x - 4$.

Οι οποίες είναι παράλληλες προς την ευθεία $BΓ$. 👯‍♀️