Εξίσωση Ευθείας 📈

Εξίσωση Γραμμής

Αν έχουμε μια εξίσωση με δύο άγνωστους, για παράδειγμα την $y = x^2$, τότε κάθε ζεύγος αριθμών $(x, y)$ που την επαληθεύει λέγεται λύση της εξίσωσης. Για την $y = x^2$, τα ζεύγη $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$, $(0, 0)$, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(\sqrt{3}, 3)$ είναι λύσεις. ✅

Αν παραστήσουμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης $y = x^2$ σε ένα σύστημα συντεταγμένων, θα προκύψει η γραμμή C που γνωρίζουμε ως παραβολή. Οι συντεταγμένες $(x, y)$ των σημείων $M(x, y)$ της παραβολής C, και μόνο αυτές, επαληθεύουν την εξίσωση $y = x^2$. Γι' αυτό η εξίσωση $y = x^2$ λέγεται εξίσωση της παραβολής C.

Γενικά:

Μια εξίσωση με δύο αγνώστους $x, y$ λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν. 🤔

Με τις εξισώσεις των γραμμών μπορούμε με αλγεβρικές μεθόδους να μελετήσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες των γραμμών. Αυτό είναι το βασικό αντικείμενο της Αναλυτικής Γεωμετρίας. 📐➕➖✖️➗

Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας

Η ευθεία γραμμή είναι η απλούστερη και πιο συχνά χρησιμοποιούμενη γραμμή. Για να την μελετήσουμε, χρειαζόμαστε την έννοια του συντελεστή διεύθυνσης.

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Α.

Η γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x'x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε λέγεται γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα x'x. 📐

• Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη προς τον άξονα x'x, τότε $\omega = 0$.
• Σε κάθε περίπτωση, ισχύει $0^\circ \le \omega < 180^\circ$ ή σε ακτίνια $0 \le \omega < \pi$.

Ως συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση μιας ευθείας ε ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα x'x. Συμβολίζεται με $\lambda$.

• $\lambda = εφ \omega$

• Αν $\omega = 0^\circ$ (ε // x'x), τότε $\lambda = εφ 0 = 0$.
• Αν $0^\circ < \omega < 90^\circ$ (οξεία γωνία), τότε $\lambda = εφ \omega > 0$ (θετικός). 👍
• Αν $90^\circ < \omega < 180^\circ$ (αμβλεία γωνία), τότε $\lambda = εφ \omega < 0$ (αρνητικός). 👎
• Αν $\omega = 90^\circ$ (ε ⊥ x'x, δηλαδή ε // y'y), δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. 🚫

Όταν μια ευθεία ε και ένα διάνυσμα $\vec{\delta}$ είναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Αν φ είναι η γωνία του $\vec{\delta}$ και ω η γωνία της ε, τότε $\varphi = \omega$ ή $\varphi = \pi + \omega$, και άρα $εφ \varphi = εφ \omega$.

Αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο σημείων $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ μιας μη κατακόρυφης ευθείας ε ($x_1 \ne x_2$), τότε ο συντελεστής διεύθυνσής της $\lambda$ είναι ίσος με τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Για παράδειγμα, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(1, -2) και B(-1, 4) είναι $\lambda = \frac{4 - (-2)}{-1 - 1} = \frac{6}{-2} = -3$.

Συνθήκες Καθετότητας και Παραλληλίας Ευθειών ⏸️✝️

Με τη βοήθεια του συντελεστή διεύθυνσης, μπορούμε να βρούμε πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες.

Έστω $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ δύο ευθείες με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης $\lambda_1$ και $\lambda_2$.

Εξίσωση Ευθείας ✍️

Μια ευθεία στο επίπεδο καθορίζεται μοναδικά όταν δίνονται:

1. Ένα σημείο της και ο συντελεστής διεύθυνσής της.
2. Δύο σημεία της.

1. Γνωστό σημείο $A(x_0, y_0)$ και συντελεστής διεύθυνσης $\lambda$

Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από το $A(x_0, y_0)$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$. Ένα σημείο $M(x, y)$, διαφορετικό του Α, ανήκει στην ε αν και μόνο αν το διάνυσμα $\vec{AM}$ είναι παράλληλο στην ε, δηλαδή αν και μόνο αν το $\vec{AM}$ και η ε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

Επειδή $\vec{AM} = (x - x_0, y - y_0)$, ο συντελεστής διεύθυνσής του είναι $\lambda_{\vec{AM}} = \frac{y - y_0}{x - x_0}$ (για $x \ne x_0$).

Άρα, το $M(x, y)$ ανήκει στην ε αν και μόνο αν $\frac{y - y_0}{x - x_0} = \lambda$.

Αυτή η σχέση γράφεται: $y - y_0 = \lambda(x - x_0)$. Η εξίσωση αυτή επαληθεύεται και από το σημείο $A(x_0, y_0)$ (για $y = y_0$ και $x = x_0$).

Παράδειγμα: Η ευθεία που διέρχεται από το A(-1, 2) και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda = -3$ έχει εξίσωση:
$y - 2 = -3(x - (-1)) \Rightarrow y - 2 = -3(x + 1) \Rightarrow y = -3x - 1$.

2. Γνωστά δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$

Έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$.

• Αν $x_1 \ne x_2$: Η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη. Ο συντελεστής διεύθυνσής της είναι $\lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση σημείου-κλίσης με το σημείο A, παίρνουμε:

  $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$

• Αν $x_1 = x_2$: Η ευθεία είναι κατακόρυφη. Όλα τα σημεία της έχουν την ίδια τετμημένη $x_0 = x_1 = x_2$.

  $ x = x_0 $

Παράδειγμα: Η ευθεία που διέρχεται από τα A(-3, 5) και B(4, 1):

• $x_1 = -3 \ne x_2 = 4$.
• $\lambda = \frac{1 - 5}{4 - (-3)} = \frac{-4}{7}$.
• Εξίσωση: $y - 5 = -\frac{4}{7}(x - (-3)) \Rightarrow y - 5 = -\frac{4}{7}(x + 3) \Rightarrow 7y - 35 = -4x - 12 \Rightarrow y = -\frac{4}{7}x + \frac{23}{7}$.

Παράδειγμα: Η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το A(-3, 5) έχει εξίσωση $x = -3$.

Ειδικές περιπτώσεις 🤩

• Ευθεία που τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο $A(0, \beta)$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$:

  Η εξίσωση είναι $y - \beta = \lambda(x - 0)$, δηλαδή:

  $y = \lambda x + \beta$ (Μορφή κλίσης-τεταγμένης επί την αρχή)

• Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων $O(0, 0)$ και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$:

  Η εξίσωση είναι $y - 0 = \lambda(x - 0)$, δηλαδή:

  $y = \lambda x$ 🏠

• Διχοτόμοι των γωνιών xOy και yOx': ✂️

  • Η διχοτόμος της xOy σχηματίζει γωνία $45^\circ$ με τον x'x, άρα $\lambda = εφ 45^\circ = 1$. Εξίσωση: $y = x$.
  • Η διχοτόμος της yOx' σχηματίζει γωνία $135^\circ$ με τον x'x, άρα $\lambda = εφ 135^\circ = -1$. Εξίσωση: $y = -x$.

• Ευθεία που διέρχεται από το σημείο $A(x_0, y_0)$ και είναι παράλληλη στον άξονα x'x (Οριζόντια ευθεία): ➖

  Η κλίση είναι $\lambda = 0$. Η εξίσωση είναι $y - y_0 = 0(x - x_0)$, δηλαδή:

  $y = y_0$

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 💡

1. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A(-1, 2), B(1, 5) και Γ(4, 1). Να βρεθούν οι εξισώσεις:
(i) Του ύψους που άγεται από την κορυφή Α.
(ii) Της διαμέσου που άγεται από την κορυφή Β.
(iii) Της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ.

ΛΥΣΗ:

(i) Ύψος από Α (ΑΔ): ⛰️

• Το ύψος ΑΔ είναι κάθετο στην πλευρά ΒΓ.

• Βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ:

  $\lambda_{B\Gamma} = \frac{1 - 5}{4 - 1} = \frac{-4}{3}$

• Ο συντελεστής διεύθυνσης του ύψους $\lambda_{A\Delta}$ πρέπει να ικανοποιεί $\lambda_{A\Delta} \cdot \lambda_{B\Gamma} = -1$.

  $\lambda_{A\Delta} \cdot (-\frac{4}{3}) = -1 \Rightarrow \lambda_{A\Delta} = \frac{3}{4}$

• Η εξίσωση του ύψους (ευθεία που διέρχεται από το A(-1, 2) με $\lambda = \frac{3}{4}$) είναι:

  $y - 2 = \frac{3}{4}(x - (-1)) \Rightarrow y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1) \Rightarrow 4y - 8 = 3x + 3 \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$

(ii) Διάμεσος από Β (ΒΜ): ↔️

• Η διάμεσος ΒΜ συνδέει την κορυφή Β με το μέσο Μ της απέναντι πλευράς ΑΓ.

• Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της ΑΓ:

  $M = \left( \frac{x_A + x_\Gamma}{2}, \frac{y_A + y_\Gamma}{2} \right) = \left( \frac{-1 + 4}{2}, \frac{2 + 1}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)$

• Βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της διαμέσου ΒΜ (ευθεία που διέρχεται από B(1, 5) και M(3/2, 3/2)):

  $\lambda_{BM} = \frac{\frac{3}{2} - 5}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{-\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}} = -7$

• Η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ (ευθεία που διέρχεται από το B(1, 5) με $\lambda = -7$) είναι:

  $y - 5 = -7(x - 1) \Rightarrow y - 5 = -7x + 7 \Rightarrow y = -7x + 12$

(iii) Μεσοκάθετος της ΑΓ: ✝️📏

• Η μεσοκάθετος της ΑΓ είναι η ευθεία που διέρχεται από το μέσο Μ(3/2, 3/2) της ΑΓ και είναι κάθετη στην ΑΓ.
• Βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ΑΓ:
  $\lambda_{A\Gamma} = \frac{1 - 2}{4 - (-1)} = \frac{-1}{5}$
• Ο συντελεστής διεύθυνσης της μεσοκαθέτου $\lambda$ πρέπει να ικανοποιεί $\lambda \cdot \lambda_{A\Gamma} = -1$.
  $\lambda \cdot (-\frac{1}{5}) = -1 \Rightarrow \lambda = 5$
• Η εξίσωση της μεσοκαθέτου (ευθεία που διέρχεται από το M(3/2, 3/2) με $\lambda = 5$) είναι:
  $y - \frac{3}{2} = 5(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow y - \frac{3}{2} = 5x - \frac{15}{2} \Rightarrow y = 5x - \frac{12}{2} \Rightarrow y = 5x - 6$

2. Δίνονται η ευθεία $\varepsilon: y = \frac{1}{2}x + 1$ και το σημείο A(2, 1). Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Α' ως προς την ευθεία ε. ✨↔️

ΛΥΣΗ:

Έστω $A'(\mu, \nu)$ το ζητούμενο συμμετρικό σημείο.
Για να είναι το Α' συμμετρικό του Α ως προς την ε, πρέπει:

1. Το μέσο Μ του τμήματος ΑΑ' να ανήκει στην ευθεία ε.
2. Η ευθεία ΑΑ' να είναι κάθετη στην ευθεία ε.

• Συντεταγμένες του μέσου Μ:

  $M = \left( \frac{2 + \mu}{2}, \frac{1 + \nu}{2} \right)$

• Μ ανήκει στην ε: Οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση της ε.

  $\frac{1 + \nu}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{2 + \mu}{2} \right) + 1$

  $\frac{1 + \nu}{2} = \frac{2 + \mu}{4} + 1$ (Πολλαπλασιάζουμε με 4)

  $2(1 + \nu) = (2 + \mu) + 4$

  $2 + 2\nu = \mu + 6$

  $\mu - 2\nu = -4$ (1)

• ΑΑ' κάθετη στην ε: Το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους είναι -1.

  • Συντελεστής διεύθυνσης της ε: $\lambda_\varepsilon = \frac{1}{2}$

  • Συντελεστής διεύθυνσης της ΑΑ': $\lambda_{AA'} = \frac{\nu - 1}{\mu - 2}$ (Υποθέτουμε $\mu \ne 2$)

  • $\lambda_{AA'} \cdot \lambda_\varepsilon = -1$

    $\frac{\nu - 1}{\mu - 2} \cdot \frac{1}{2} = -1$

    $\nu - 1 = -2(\mu - 2)$

    $\nu - 1 = -2\mu + 4$

    $2\mu + \nu = 5$ (2)

• Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2):

  Από (1): $\mu = 2\nu - 4$

  Αντικαθιστούμε στην (2):

  $2(2\nu - 4) + \nu = 5$

  $4\nu - 8 + \nu = 5$

  $5\nu = 13 \Rightarrow \nu = \frac{13}{5}$

  Βρίσκουμε το μ:

  $\mu = 2\left(\frac{13}{5}\right) - 4 = \frac{26}{5} - \frac{20}{5} = \frac{6}{5}$

Επομένως, το συμμετρικό σημείο είναι $A'\left(\frac{6}{5}, \frac{13}{5}\right)$. 🎉