1. Βασική Θεωρία
Προσθέσαμε νέο παιχνίδι γι' αυτό το μάθημα!
ΔΙΑΒΑΣΕ ΤΟ
Κάτι δεν κατάλαβες; Επίλεξε το κομμάτι και πάτα «Ρώτα τον Ευκλείδη». Σου το εξηγεί αμέσως.

Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα & Εφαρμογές 📐

Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα

Έστω λλ ένας πραγματικός αριθμός με λ≠0λ \neq 0 και α⃗\vec{α} ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του λλ με το α⃗\vec{α} και το συμβολίζουμε με λ⋅α⃗λ \cdot \vec{α} ή λα⃗λ\vec{α} ένα διάνυσμα το οποίο:

  • Είναι ομόρροπο του α⃗\vec{α}, αν λ>0λ > 0 και αντίρροπο του α⃗\vec{α}, αν λ<0λ < 0 ↔️
  • Έχει μέτρο ∣λ∣∣α⃗∣|λ| |\vec{α}| 💪

Αν είναι λ=0λ = 0 ή α⃗=0⃗\vec{α} = \vec{0}, τότε ορίζουμε ως λ⋅α⃗λ \cdot \vec{α} το μηδενικό διάνυσμα 0⃗\vec{0}.

Παράδειγμα: Αν το διάνυσμα α⃗\vec{α} έχει μέτρο 2, τότε το διάνυσμα 3α⃗3\vec{α} είναι ομόρροπο με το α⃗\vec{α} και έχει μέτρο ∣3α⃗∣=∣3∣∣α⃗∣=3⋅2=6|3\vec{α}| = |3| |\vec{α}| = 3 \cdot 2 = 6. Ενώ το διάνυσμα −3α⃗-3\vec{α} είναι αντίρροπο με το α⃗\vec{α}, αλλά έχει και αυτό μέτρο ίσο με ∣−3α⃗∣=∣−3∣∣α⃗∣=3⋅2=6|-3\vec{α}| = |-3| |\vec{α}| = 3 \cdot 2 = 6.

Το γινόμενο 1λ⋅α⃗\frac{1}{λ} \cdot \vec{α} το συμβολίζουμε και με α⃗λ\frac{\vec{α}}{λ}.

Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα ✨

Για το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:

  1. λ(α⃗+β⃗)=λα⃗+λβ⃗λ(\vec{α} + \vec{β}) = λ\vec{α} + λ\vec{β}
  2. (λ+μ)α⃗=λα⃗+μα⃗(λ + μ)\vec{α} = λ\vec{α} + μ\vec{α}
  3. λ(μα⃗)=(λμ)α⃗λ(μ\vec{α}) = (λμ)\vec{α}

(Η απόδειξη της ιδιότητας (1) περιλαμβάνει τη χρήση ομοιότητας τριγώνων ΟΑΒ και ΟΑ'Β' όταν λ≠0λ \neq 0. Οι αποδείξεις των (2) και (3) αφήνονται ως άσκηση).

Συνέπειες: Ως συνέπεια του ορισμού και των ιδιοτήτων έχουμε:

(i) λα⃗=0⃗⇔λ=0 ηˊ α⃗=0⃗λ\vec{α} = \vec{0} \Leftrightarrow λ = 0 \text{ ή } \vec{α} = \vec{0}

(ii) (−λ)α⃗=λ(−α⃗)=−(λα⃗)(-\lambda)\vec{α} = \lambda(-\vec{α}) = -(λ\vec{α})

(iii) λ(α⃗−β⃗)=λα⃗−λβ⃗λ(\vec{α} - \vec{β}) = λ\vec{α} - λ\vec{β}

(iv) (λ−μ)α⃗=λα⃗−μα⃗(λ - μ)\vec{α} = λ\vec{α} - μ\vec{α}

(v) Αν λα⃗=λβ⃗λ\vec{α} = λ\vec{β} και λ≠0λ \neq 0, τότε α⃗=β⃗\vec{α} = \vec{β}

(vi) Αν λα⃗=μα⃗λ\vec{α} = μ\vec{α} και α⃗≠0⃗\vec{α} \neq \vec{0}, τότε λ=μλ = μ.

Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων 🧩

Αν θεωρήσουμε δύο διανύσματα α⃗\vec{α} και β⃗\vec{β}, τότε τα διανύσματα που παράγονται από αυτά, για παράδειγμα, τα γ=3α⃗+5β⃗γ = 3\vec{α} + 5\vec{β}, δ=−2α⃗+3β⃗\delta = -2\vec{α} + 3\vec{β} κτλ., λέγονται γραμμικοί συνδυασμοί των α⃗\vec{α} και β⃗\vec{β}.

Γενικά, ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α⃗\vec{α} και β⃗\vec{β} κάθε διάνυσμα της μορφής v⃗=κα⃗+λβ⃗\vec{v} = κ\vec{α} + λ\vec{β}, όπου κ,λ∈Rκ, λ \in \mathbb{R}.

Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσοτέρων διανυσμάτων.

Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων 🚦

Δύο διανύσματα α⃗\vec{α} και β⃗\vec{β}, όπου β⃗≠0⃗\vec{β} \neq \vec{0}, συνδέονται με τη σχέση α⃗=λβ⃗\vec{α} = λ\vec{β}, τότε τα διανύσματα αυτά είναι παράλληλα (α⃗//β⃗\vec{α} // \vec{β}). Ισχύει όμως και το αντίστροφο.

Δηλαδή, αν τα διανύσματα α⃗\vec{α} και β⃗\vec{β} είναι παράλληλα και β⃗≠0⃗\vec{β} \neq \vec{0}, τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός λλ τέτοιος ώστε α⃗=λ⋅β⃗\vec{α} = λ \cdot \vec{β}.

  • Αν α⃗↑↑β⃗\vec{α} \uparrow\uparrow \vec{β}, τότε α⃗=κβ⃗\vec{α} = κ\vec{β}, όπου κ=∣α⃗∣∣β⃗∣>0κ = \frac{|\vec{α}|}{|\vec{β}|} > 0.
  • Αν α⃗↑↓β⃗\vec{α} \uparrow\downarrow \vec{β}, τότε α⃗=−κβ⃗\vec{α} = -κ\vec{β}, όπου κ=∣α⃗∣∣β⃗∣>0κ = \frac{|\vec{α}|}{|\vec{β}|} > 0.
  • Αν α⃗=0⃗\vec{α} = \vec{0}, τότε α⃗=0⋅β⃗\vec{α} = 0 \cdot \vec{β}.

ΘΕΩΡΗΜΑ:
Αν α⃗,β⃗\vec{α}, \vec{β} είναι δύο διανύσματα, με β⃗≠0⃗\vec{β} \neq \vec{0}, τότε:
α⃗//β⃗⇔α⃗=λβ⃗,λ∈R\vec{α} // \vec{β} \Leftrightarrow \vec{α} = λ\vec{β}, λ \in \mathbb{R}

Παράδειγμα: Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ, έχουμε:
BΓ⃗=BA⃗+AΓ⃗=2ΔA⃗+2AE⃗=2(ΔA⃗+AE⃗)=2ΔE⃗\vec{ΒΓ} = \vec{ΒΑ} + \vec{ΑΓ} = 2\vec{ΔΑ} + 2\vec{ΑΕ} = 2(\vec{ΔΑ} + \vec{ΑΕ}) = 2\vec{ΔΕ}.
Αφού λοιπόν BΓ⃗=2ΔE⃗\vec{ΒΓ} = 2\vec{ΔΕ}, συμπεραίνουμε ότι ΔE⃗//BΓ⃗\vec{ΔΕ} // \vec{ΒΓ} και ∣BΓ⃗∣=∣2ΔE⃗∣=2∣ΔE⃗∣|\vec{ΒΓ}| = |2\vec{ΔΕ}| = 2|\vec{ΔΕ}|, που σημαίνει ότι ∣ΔE⃗∣=12∣BΓ⃗∣|\vec{ΔΕ}| = \frac{1}{2}|\vec{ΒΓ}|.

Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος 📍

Αν πάρουμε ένα διάστημα ABΑΒ και ένα σημείο αναφοράς OΟ. Επειδή AM=MBΑΜ = ΜΒ, έχουμε OM⃗−OA⃗=OB⃗−OM⃗\vec{OM} - \vec{OA} = \vec{OB} - \vec{OM}, οπότε 2OM⃗=OA⃗+OB⃗2\vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} και άρα: