Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων ➕➖

Πρόσθεση Διανυσμάτων ➕

Έστω δύο διανύσματα $\vec{α}$ και $\vec{β}$. Για να τα προσθέσουμε:

1. Παίρνουμε ένα σημείο $Ο$.
2. Σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\vec{OA} = \vec{α}$.
3. Από το τέλος $Α$ του $\vec{α}$, σχεδιάζουμε το διάνυσμα $\vec{AM} = \vec{β}$.
4. Το διάνυσμα $\vec{OM}$ που ενώνει την αρχή $Ο$ του πρώτου με το τέλος $Μ$ του δεύτερου είναι το άθροισμα $\vec{α} + \vec{β}$. Δηλαδή, $\vec{OM} = \vec{α} + \vec{β}$.

Αυτό ονομάζεται άθροισμα ή συνισταμένη των $\vec{α}$ και $\vec{β}$. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, ανεξάρτητα από το σημείο $Ο$ που θα διαλέξουμε αρχικά! 😮

Κανόνας του Παραλληλογράμμου:

Αν τα διανύσματα $\vec{α}$ και $\vec{β}$ έχουν κοινή αρχή, π.χ., $\vec{OA} = \vec{α}$ και $\vec{OB} = \vec{β}$, τότε το άθροισμά τους $\vec{α} + \vec{β}$ είναι το διάνυσμα $\vec{OM}$ που αντιστοιχεί στη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται με πλευρές $OA$ και $OB$. 📐

Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων ✨

Η πρόσθεση διανυσμάτων έχει παρόμοιες ιδιότητες με την πρόσθεση των κανονικών αριθμών! Αν έχουμε τρία διανύσματα $\vec{α}$, $\vec{β}$, $\vec{γ}$, τότε ισχύουν:

1. Αντιμεταθετική ιδιότητα: $\vec{α} + \vec{β} = \vec{β} + \vec{α}$
   (Η σειρά δεν έχει σημασία!)
2. Προσεταιριστική ιδιότητα: $(\vec{α} + \vec{β}) + \vec{γ} = \vec{α} + (\vec{β} + \vec{γ})$
   (Μπορούμε να ομαδοποιούμε όπως θέλουμε!)
3. Ουδέτερο στοιχείο: $\vec{α} + \vec{0} = \vec{α}$
   (Το μηδενικό διάνυσμα $\vec{0}$ δεν αλλάζει το άθροισμα.)
4. Αντίθετο στοιχείο: $\vec{α} + (-\vec{α}) = \vec{0}$
   (Κάθε διάνυσμα έχει ένα αντίθετο, που όταν προστεθεί δίνει το μηδενικό διάνυσμα.)

Αποδείξεις:

• Για την (1), αν $\vec{OA} = \vec{α}$ και $\vec{AM} = \vec{β}$, τότε $\vec{α} + \vec{β} = \vec{OM}$. Αν $\vec{OB} = \vec{β}$ και $\vec{BM} = \vec{α}$, τότε $\vec{β} + \vec{α} = \vec{OM}$. Άρα $\vec{α} + \vec{β} = \vec{β} + \vec{α}$. ✅
• Για την (2), αν $\vec{OA} = \vec{α}$, $\vec{AB} = \vec{β}$ και $\vec{BΓ} = \vec{γ}$, τότε $(\vec{α} + \vec{β}) + \vec{γ} = (\vec{OA} + \vec{AB}) + \vec{BΓ} = \vec{OB} + \vec{BΓ} = \vec{OΓ}$. Επίσης, $\vec{α} + (\vec{β} + \vec{γ}) = \vec{OA} + (\vec{AB} + \vec{BΓ}) = \vec{OA} + \vec{AΓ} = \vec{OΓ}$. Άρα $(\vec{α} + \vec{β}) + \vec{γ} = \vec{α} + (\vec{β} + \vec{γ})$. ✅

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να γράφουμε το άθροισμα πολλών διανυσμάτων $\vec{α}_1 + \vec{α}_2 + ... + \vec{α}_ν$ χωρίς παρενθέσεις. Για να προσθέσουμε πολλά διανύσματα $\vec{α}_1, \vec{α}_2, ..., \vec{α}_ν$, τα τοποθετούμε διαδοχικά (το τέλος του ενός γίνεται αρχή του επόμενου). Το άθροισμά τους είναι το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου ($\vec{α}_1$) και ως πέρας το πέρας του τελευταίου ($\vec{α}_ν$). ➡️➡️➡️

Αφαίρεση Διανυσμάτων ➖

Η διαφορά $\vec{α} - \vec{β}$ του διανύσματος $\vec{β}$ από το διάνυσμα $\vec{α}$ ορίζεται ως το άθροισμα του $\vec{α}$ με το αντίθετο του $\vec{β}$, δηλαδή:

$\vec{α} - \vec{β} = \vec{α} + (-\vec{β})$

Απόδειξη: Αν $\vec{β} + \vec{x} = \vec{α}$, τότε προσθέτοντας το $-\vec{β}$ και στα δύο μέλη έχουμε: $(-\vec{β}) + (\vec{β} + \vec{x}) = (-\vec{β}) + \vec{α} \Rightarrow ((-\vec{β}) + \vec{β}) + \vec{x} = \vec{α} + (-\vec{β}) \Rightarrow \vec{0} + \vec{x} = \vec{α} - \vec{β} \Rightarrow \vec{x} = \vec{α} - \vec{β}$.

Διάνυσμα Θέσεως 📍

Έστω $Ο$ ένα σταθερό σημείο του χώρου, που το λέμε σημείο αναφοράς. Για κάθε σημείο $Μ$ του χώρου, το διάνυσμα $\vec{OM}$ ονομάζεται διάνυσμα θέσεως του $Μ$ ή διανυσματική ακτίνα του $Μ$.

Αν $Ο$ είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε για οποιαδήποτε δύο σημεία $Α$ και $Β$, το διάνυσμα $\vec{AB}$ μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των διανυσμάτων θέσης των $Α$ και $Β$:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Δηλαδή: "Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής". 🤯

Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων 📏

Από την τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα, γνωρίζουμε ότι το μήκος μιας πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους. Αυτό μεταφράζεται για τα διανύσματα $\vec{α}$ και $\vec{β}$ ως εξής:

$| |\vec{α}| - |\vec{β}| | \leq |\vec{α} + \vec{β}| \leq |\vec{α}| + |\vec{β}|$

Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων είναι:

• Μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των μέτρων τους.
• Μεγαλύτερο ή ίσο από την απόλυτη τιμή της διαφοράς των μέτρων τους.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 💡

1. Για τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ να αποδειχτεί ότι $\vec{AB} + \vec{ΔΓ} = \vec{AΓ} + \vec{ΔB}$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Αν $Ο$ είναι ένα σημείο αναφοράς, τότε έχουμε:

$\vec{AB} + \vec{ΔΓ} = (\vec{OB} - \vec{OA}) + (\vec{OΓ} - \vec{OΔ})$

Αλλάζοντας τη σειρά των όρων (χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα):

$= (\vec{OΓ} - \vec{OA}) + (\vec{OB} - \vec{OΔ})$

$= \vec{AΓ} + \vec{ΔB}$

Άρα, $\vec{AB} + \vec{ΔΓ} = \vec{AΓ} + \vec{ΔB}$. ✔️

2. Να αποδειχτεί ότι $|\vec{α} + \vec{β} + \vec{γ}| \leq |\vec{α}| + |\vec{β}| + |\vec{γ}|$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Χρησιμοποιούμε την τριγωνική ανισότητα $|\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|$ δύο φορές:

Θεωρούμε $\vec{x} = \vec{α} + \vec{β}$ και $\vec{y} = \vec{γ}$. Τότε:

$|\vec{α} + \vec{β} + \vec{γ}| = |(\vec{α} + \vec{β}) + \vec{γ}| \leq |\vec{α} + \vec{β}| + |\vec{γ}|$

Τώρα, εφαρμόζουμε ξανά την ανισότητα για το $|\vec{α} + \vec{β}|$:

$|\vec{α} + \vec{β}| \leq |\vec{α}| + |\vec{β}|$

Συνδυάζοντας τα παραπάνω:

$|\vec{α} + \vec{β} + \vec{γ}| \leq (|\vec{α}| + |\vec{β}|) + |\vec{γ}| = |\vec{α}| + |\vec{β}| + |\vec{γ}|$

Άρα, $|\vec{α} + \vec{β} + \vec{γ}| \leq |\vec{α}| + |\vec{β}| + |\vec{γ}|$. ✔️