Σκέψου τα σαν "μαγικά βέλη" - τα λέμε διανύσματα.  Όταν τα κατανοήσεις, θα ανοίξεις την πόρτα για τον κόσμο των ευθειών και των αποστάσεων. Τώρα είναι η ώρα για την τελική πρόκληση. Μπες στο ρόλερ κόστερ, με κάθε κύκλο, παραβολή, έλλειψη και υπερβολή να μοιάζουν με απότομες στροφές και ριψοκίνδυνα άλματα 🏹

Μαθηματικά Β' Λυκείου

# Ορισμός Έλλειψης 📝

Έστω \( E' \) και \( E \) δύο σημεία ενός επιπέδου.

Έλλειψη με **εστίες** τα σημεία \( E' \) και \( E \) ονομάζεται ο <Tooltip><TooltipTrigger>γεωμετρικός τόπος</TooltipTrigger><TooltipContent>Το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν μια δεδομένη ιδιότητα.</TooltipContent></Tooltip> \( C \) των σημείων του επιπέδου \( M \) των οποίων το **άθροισμα των αποστάσεων** από τα \( E' \) και \( E \) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του \( E'E \).

Συμβολίζουμε το σταθερό άθροισμα με \( 2a \) και την απόσταση των εστιών \( E'E \) με \( 2γ \).

Δηλαδή, ένα σημείο \( M \) ανήκει στην έλλειψη αν και μόνο αν:

\( (ME') + (ME) = 2a \)

όπου \( 2a > 2γ \) ή \( a > γ \).

Η απόσταση \( (E'E) = 2γ \) ονομάζεται **εστιακή απόσταση**.

Αν \( γ = 0 \), οι εστίες συμπίπτουν (\( E' \equiv E \)) και η έλλειψη γίνεται **κύκλος** με κέντρο \( E \) και ακτίνα \( a \). 🌀

# Κατασκευή Σημείων Έλλειψης ✍️

Για να βρούμε σημεία μιας έλλειψης \( C \) με εστίες \( E', E \) και σταθερό άθροισμα \( 2a \):

1.  **Μέθοδος Κύκλων:** ⭕️
    *   Παίρνουμε ένα τμήμα \( ΚΛ \) μήκους \( 2a \).
    *   Επιλέγουμε ένα σημείο \( Σ \) στο \( ΚΛ \).
    *   Θέτουμε \( \rho' = (ΚΣ) \) και \( \rho = (ΛΣ) \). Προφανώς, \( \rho' + \rho = 2a \).
    *   Γράφουμε δύο κύκλους:
        *   Κέντρο \( E' \) και ακτίνα \( \rho' \).
        *   Κέντρο \( E \) και ακτίνα \( \rho \).
    *   Τα σημεία τομής \( M \) και \( M' \) αυτών των κύκλων είναι σημεία της έλλειψης, διότι \( (ME') = \rho' \) και \( (ME) = \rho \), άρα \( (ME') + (ME) = \rho' + \rho = 2a \).

2.  **Πρακτική Μέθοδος (Μέθοδος Κηπουρού):** 🧵
    *   Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους \( 2a \).
    *   Στερεώνουμε τα άκρα του στις εστίες \( E' \) και \( E \).
    *   Με ένα μολύβι διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο.
    *   Καθώς κινείται το μολύβι, διαγράφει την έλλειψη.

# Εξίσωση Έλλειψης (Εστίες στον άξονα x'x) 📐

Έστω μια έλλειψη \( C \) με εστίες \( E' \) και \( E \).

Για να βρούμε την εξίσωσή της, επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων \( Oxy \) με:
*   **Άξονα x'x:** Η ευθεία \( E'E \).
*   **Άξονα y'y:** Η μεσοκάθετος του \( E'E \).
*   **Αρχή Ο(0,0):** Το μέσο του \( E'E \).

Αν \( M(x, y) \) είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε ισχύει:

\( (ME') + (ME) = 2a \) (1)

Επειδή \( (E'E) = 2γ \), οι εστίες \( E' \) και \( E \) έχουν συντεταγμένες \( (-\gamma, 0) \) και \( (\gamma, 0) \) αντίστοιχα.

Επομένως:

\( (ME') = \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} \)

\( (ME) = \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

Η σχέση (1) γράφεται:

\( \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} + \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} = 2a \)

# Εξίσωση Έλλειψης (Συνέχεια) ⚙️

Από την εξίσωση \( \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} + \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} = 2a \), με διαδοχικές πράξεις (απομόνωση ριζικού, ύψωση στο τετράγωνο, απλοποίηση) καταλήγουμε:

\( \sqrt{(x+\gamma)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( (x+\gamma)^2 + y^2 = 4a^2 + (x-\gamma)^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( x^2 + 2\gamma x + \gamma^2 + y^2 = 4a^2 + x^2 - 2\gamma x + \gamma^2 + y^2 - 4a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( 4\gamma x - 4a^2 = -4a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \)

\( a^2 - \gamma x = a\sqrt{(x-\gamma)^2 + y^2} \) (2)

Υψώνοντας ξανά στο τετράγωνο:
\( (a^2 - \gamma x)^2 = a^2((x-\gamma)^2 + y^2) \)

\( a^4 - 2a^2 \gamma x + \gamma^2 x^2 = a^2(x^2 - 2\gamma x + \gamma^2 + y^2) \)

\( a^4 - 2a^2 \gamma x + \gamma^2 x^2 = a^2 x^2 - 2a^2 \gamma x + a^2 \gamma^2 + a^2 y^2 \)

\( a^2 x^2 - \gamma^2 x^2 + a^2 y^2 = a^4 - a^2 \gamma^2 \)

\( (a^2 - \gamma^2) x^2 + a^2 y^2 = a^2 (a^2 - \gamma^2) \)

Διαιρώντας με \( a^2(a^2 - \gamma^2) \):
\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - \gamma^2} = 1 \) (3)

Επειδή \( a > \gamma \), είναι \( a^2 - \gamma^2 > 0 \). Θέτουμε \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} \), οπότε \( \beta^2 = a^2 - \gamma^2 \).

Η εξίσωση (3) παίρνει τη μορφή:
\( \boxed{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1} \) (4)

Αποδεικνύεται και το αντίστροφο: κάθε σημείο \( M(x, y) \) που οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση (4), είναι σημείο της έλλειψης \( C \) με εστίες \( E'(-\gamma, 0), E(\gamma, 0) \) και σταθερό άθροισμα \( 2a \).

# Παράδειγμα Εξίσωσης Έλλειψης (Εστίες στον x'x) 💡

Έστω η έλλειψη με εστίες τα σημεία \( E'(-4, 0) \) και \( E(4, 0) \) και σταθερό άθροισμα \( 2a = 10 \).

*   Έχουμε \( \gamma = 4 \) και \( a = 5 \).
*   Υπολογίζουμε το \( \beta \):

    \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \)
*   Η εξίσωση της έλλειψης είναι:

    \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \)

    \( \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \)

    \( \boxed{\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1} \)

# Εξίσωση Έλλειψης (Εστίες στον άξονα y'y) 📐

Αν τώρα πάρουμε σύστημα συντεταγμένων \( Oxy \) με:
*   **Άξονα y'y:** Η ευθεία \( E'E \).
*   **Άξονα x'x:** Η μεσοκάθετος του \( E'E \).
*   **Αρχή Ο(0,0):** Το μέσο του \( E'E \).

Τότε οι εστίες θα είναι \( E'(0, -\gamma) \) και \( E(0, \gamma) \).

Εργαζόμενοι όπως πριν, βρίσκουμε ότι η εξίσωση της έλλειψης \( C \) είναι:

\( \boxed{\frac{x^2}{\beta^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1} \)

όπου \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} \).

**Σημαντικό:** Σε αυτή την περίπτωση, ο παρονομαστής του \( y^2 \) είναι μεγαλύτερος (\( a^2 > \beta^2 \)).

## **Παράδειγμα:**

Η έλλειψη με εστίες \( E'(0, -4) \), \( E(0, 4) \) και σταθερό άθροισμα \( 2a = 10 \) έχει:
*   \( \gamma = 4 \), \( a = 5 \)
*   \( \beta = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \)
*   Εξίσωση: \( \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1} \)

# Ιδιότητες Έλλειψης 🔍

Έστω μια έλλειψη \( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \), όπου \( \beta = \sqrt{a^2 - \gamma^2} \).

*   **Συμμετρίες:** 🔄

  Αν \( M_1(x_1, y_1) \) είναι ένα σημείο της έλλειψης \( C \), τότε και τα σημεία \( M_2(x_1, -y_1) \), \( M_3(-x_1, y_1) \) και \( M_4(-x_1, -y_1) \) ανήκουν στην \( C \), αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της.

    Αυτό σημαίνει ότι η έλλειψη έχει:
    *   **Άξονα συμμετρίας** τον άξονα \( x'x \).
    *   **Άξονα συμμετρίας** τον άξονα \( y'y \).
    *   **Κέντρο συμμετρίας** την αρχή των αξόνων \( O(0,0) \).

    Το σημείο \( O \) λέγεται **κέντρο** της έλλειψης.

*   **Άξονες:**
    Η ευθεία που ενώνει τις εστίες \( E', E \) (άξονας \( x'x \) στην περίπτωσή μας) και η μεσοκάθετός της (άξονας \( y'y \)) είναι **άξονες συμμετρίας** της έλλειψης.

# Ιδιότητες Έλλειψης (Συνέχεια) ↔️

*   **Κορυφές:**
    Από την εξίσωση \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \):
    *   Για \( y = 0 \), βρίσκουμε \( x = \pm a \). Η έλλειψη τέμνει τον άξονα \( x'x \) στα σημεία \( A'(-a, 0) \) και \( A(a, 0) \).
    *   Για \( x = 0 \), βρίσκουμε \( y = \pm \beta \). Η έλλειψη τέμνει τον άξονα \( y'y \) στα σημεία \( B'(0, -\beta) \) και \( B(0, \beta) \).

    Τα σημεία \( A', A, B', B \) λέγονται **κορυφές** της έλλειψης.

*   **Μεγάλος και Μικρός Άξονας:**
    *   Το ευθύγραμμο τμήμα \( A'A \) έχει μήκος \( (A'A) = 2a \) και λέγεται **μεγάλος άξονας**.
    *   Το ευθύγραμμο τμήμα \( B'B \) έχει μήκος \( (B'B) = 2\beta \) και λέγεται **μικρός άξονας**.
    *   Ισχύει \( a > \beta \), άρα \( 2a > 2\beta \).

*   **Διάμετρος:**

    Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο συμμετρικά ως προς \( O \) σημεία \( M_1, M'_1 \) της έλλειψης λέγεται **διάμετρος** της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι:

    \( 2\beta \le (M_1M'_1) \le 2a \)

    Δηλαδή, κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση από το μικρό άξονα και μικρότερη ή ίση από το μεγάλο άξονα.

*   **Περιορισμός:**

    Από την εξίσωση \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \), έχουμε \( \frac{x^2}{a^2} \le 1 \) και \( \frac{y^2}{\beta^2} \le 1 \).

    Άρα:

    \( x^2 \le a^2 \Rightarrow -a \le x \le a \)

    \( y^2 \le \beta^2 \Rightarrow -\beta \le y \le \beta \)

    Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες \( x = -a, x = a, y = -\beta, y = \beta \). ⏹️

# Εκκεντρότητα Έλλειψης 🧐

Μια παράμετρος που καθορίζει τη μορφή της έλλειψης είναι η **εκκεντρότητα**.

Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \) και τη συμβολίζουμε με \( \varepsilon \), το λόγο \( \varepsilon = \frac{\gamma}{a} \).

Επειδή \( \gamma = \sqrt{a^2 - \beta^2} \), είναι \( \varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 - \beta^2}}{a} \).

Ισχύει \( 0 \le \gamma < a \), άρα \( 0 \le \frac{\gamma}{a} < 1 \). Επομένως, για κάθε έλλειψη ισχύει:

\( \boxed{0 \le \varepsilon < 1} \)

Από τον ορισμό \( \varepsilon = \frac{\gamma}{a} \) και τη σχέση \( \beta^2 = a^2 - \gamma^2 \), έχουμε:

\( \varepsilon^2 = \frac{\gamma^2}{a^2} = \frac{a^2 - \beta^2}{a^2} = 1 - \left(\frac{\beta}{a}\right)^2 \)

Άρα, \( \left(\frac{\beta}{a}\right)^2 = 1 - \varepsilon^2 \), οπότε \( \boxed{\frac{\beta}{a} = \sqrt{1 - \varepsilon^2}} \) (1)

*   Όσο **μεγαλώνει** η εκκεντρότητα \( \varepsilon \), τόσο **μικραίνει** ο λόγος \( \frac{\beta}{a} \) και κατά συνέπεια τόσο πιο **επιμήκης** γίνεται η έλλειψη.
*   Όταν \( \varepsilon \to 0 \), τότε \( \frac{\beta}{a} \to 1 \) (δηλ. \( \beta \to a \)) και η έλλειψη τείνει να γίνει **κύκλος** ⚪️. Για \( \varepsilon = 0 \), έχουμε κύκλο.
*   Όταν \( \varepsilon \to 1 \), τότε \( \frac{\beta}{a} \to 0 \) (δηλ. \( \beta \to 0 \)) και η έλλειψη τείνει να **εκφυλιστεί** σε ευθύγραμμο τμήμα μήκους \( 2a \) ➖.

Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο \( \frac{\beta}{a} \), λέγονται **όμοιες**.

**Αστρονομία:** 🪐 Οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ελλείψεις, των οποίων τη μία εστία κατέχει ο Ήλιος.

| Πλανήτης  | Εκκεντρότητα | Πλανήτης   | Εκκεντρότητα |
| :-------- | :----------- | :--------- | :----------- |
| Ερμής     | 0,206        | Κρόνος     | 0,051        |
| Αφροδίτη  | 0,007        | Ουρανός    | 0,046        |
| Γη        | 0,017        | Ποσειδώνας | 0,005        |
| Άρης      | 0,093        | Πλούτωνας  | 0,250        |
| Δίας      | 0,049        |            |              |

# Εφαπτομένη Έλλειψης 📉

Έστω μια έλλειψη \( C \) με εξίσωση \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \) και ένα σημείο της \( M_1(x_1, y_1) \).

Η **εφαπτομένη** της έλλειψης \( C \) στο σημείο \( M_1(x_1, y_1) \) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της παραβολής.

Αποδεικνύεται ότι η εφαπτομένη της έλλειψης \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1 \) στο σημείο της \( M_1(x_1, y_1) \) έχει εξίσωση:

\( \boxed{\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{\beta^2} = 1} \)

**Παράδειγμα:**

Η εφαπτομένη της έλλειψης \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \) στο σημείο της \( M_1(2, \sqrt{3}) \) έχει εξίσωση:

\( \frac{x \cdot 2}{16} + \frac{y \cdot \sqrt{3}}{4} = 1 \)

\( \frac{x}{8} + \frac{y\sqrt{3}}{4} = 1 \)

Πολλαπλασιάζοντας με 8:

\( x + 2y\sqrt{3} = 8 \)

Λύνοντας ως προς y (αν \( \sqrt{3} \neq 0 \)):

\( 2y\sqrt{3} = 8 - x \)

\( y = \frac{8 - x}{2\sqrt{3}} = \frac{(8-x)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3} - x\sqrt{3}}{6} \)

\( y = -\frac{\sqrt{3}}{6}x + \frac{4\sqrt{3}}{3} \)

**Ανακλαστική Ιδιότητα:** ✨

Όπως η παραβολή, έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα:
Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής \( M \) διχοτομεί τη γωνία \( E'\hat{M}E \), όπου \( E', E \) οι εστίες της έλλειψης.

Βασική Θεωρία

# Η Έλλειψη 📐

## Ορισμός Έλλειψης

Έστω \( E' \) και \( E \) δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται **έλλειψη** με <Tooltip><TooltipTrigger>εστίες</TooltipTrigger><TooltipContent>Τα δύο σταθερά σημεία Ε' και Ε που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό της έλλειψης.</TooltipContent></Tooltip> τα σημεία \( E' \) και \( E \) ο <Tooltip><TooltipTrigger>γεωμετρικός τόπος</TooltipTrigger><TooltipContent>Το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα.</TooltipContent></Tooltip> \( C \) των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα \( E' \) και \( E \) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του \( E'E \). 🗺️

Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως, με \( 2α \) και την απόσταση των εστιών \( E' \) και \( E \) με \( 2γ \). Η απόσταση \( E'E \) ονομάζεται <Tooltip><TooltipTrigger>εστιακή απόσταση</TooltipTrigger><TooltipContent>Η σταθερή απόσταση μεταξύ των δύο εστιών Ε' και Ε της έλλειψης.</TooltipContent></Tooltip> της έλλειψης.

Σύμφωνα με τον ορισμό:

α) Ένα σημείο \( M \) του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν
  
  \( (ME') + (ME) = 2α \) ✨

β) Ισχύει \( (E'E) < (ME') + (ME) \), δηλαδή \( 2γ < 2α \), οπότε \( γ < α \). Αν \( γ = 0 \), τότε τα σημεία \( E', E \) συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο το \( E \) και ακτίνα \( α \). ⚪

<Alert title='Σημαντικό!'>
  Για να υπάρχει έλλειψη (που δεν είναι κύκλος), πρέπει η σταθερά \( 2α \) να είναι αυστηρά μεγαλύτερη από την εστιακή απόσταση \( 2γ \), δηλαδή \( α > γ \).
</Alert>  

### Κατασκευή Σημείων Έλλειψης 🛠️

1.  **Με κύκλους:** Παίρνουμε ένα τμήμα \( ΚΛ \) μήκους \( 2α \) και ένα οποιοδήποτε σημείο του \( Σ \). Με κέντρα τα \( E' \) και \( E \) και ακτίνες \( ρ' = (ΚΣ) \) και \( ρ = (ΛΣ) \), αντιστοίχως, γράφουμε δύο κύκλους, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία \( M \) και \( M' \). Τα σημεία \( M \) και \( M' \) είναι σημεία της έλλειψης, γιατί ισχύει \( (ME') + (ME) = ρ' + ρ = 2α \) και \( (M'E') + (M'E) = ρ' + ρ = 2α \).
2.  **Με νήμα:** Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους \( 2α \) και στερεώνουμε τα άκρα του στις εστίες \( E' \) και \( E \). Αν τώρα με ένα μολύβι διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε αυτό, κατά την κίνησή του, θα διαγράψει την έλλειψη. ✏️

## Εξίσωση Έλλειψης 📝

Έστω μια έλλειψη \( C \) με εστίες \( E' \) και \( E \). Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων \( Oxy \) με άξονα των \( x \) την ευθεία \( E'E \) και άξονα των \( y \) τη μεσοκάθετο του \( E'E \).

Οι εστίες \( E' \) και \( E \) θα έχουν συντεταγμένες \( (-γ, 0) \) και \( (γ, 0) \) αντιστοίχως. Αν \( M(x, y) \) είναι ένα σημείο της έλλειψης \( C \), τότε θα ισχύει:

\( (ME') + (ME) = 2α \)  (1)

Επειδή \( (ME') = \sqrt{(x+γ)^2 + y^2} \) και \( (ME) = \sqrt{(x-γ)^2 + y^2} \), η σχέση (1) γράφεται:

\( \sqrt{(x+γ)^2 + y^2} + \sqrt{(x-γ)^2 + y^2} = 2α \)

Μετά από πράξεις (ύψωση στο τετράγωνο δύο φορές και απλοποιήσεις):

\( \sqrt{(x+γ)^2 + y^2} = 2α - \sqrt{(x-γ)^2 + y^2} \)

\( (x+γ)^2 + y^2 = 4α^2 + (x-γ)^2 + y^2 - 4α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2} \)

\( x^2 + 2γx + γ^2 + y^2 = 4α^2 + x^2 - 2γx + γ^2 + y^2 - 4α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2} \)

\( 4γx - 4α^2 = -4α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2} \)

\( α\sqrt{(x-γ)^2 + y^2} = α^2 - γx \)  (2)

\( α^2((x-γ)^2 + y^2) = (α^2 - γx)^2 \)

\( α^2(x^2 - 2γx + γ^2 + y^2) = α^4 - 2α^2γx + γ^2x^2 \)

\( α^2x^2 - 2α^2γx + α^2γ^2 + α^2y^2 = α^4 - 2α^2γx + γ^2x^2 \)

\( (α^2 - γ^2)x^2 + α^2y^2 = α^2(α^2 - γ^2) \)

Επειδή \( α > γ \), είναι \( α^2 - γ^2 > 0 \), οπότε αν θέσουμε \( β = \sqrt{α^2 - γ^2} \), δηλαδή \( β^2 = α^2 - γ^2 \), η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

\( β^2x^2 + α^2y^2 = α^2β^2 \)

\( \frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1 \)  (4)

Αποδεικνύεται και το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε σημείο \( M(x, y) \), του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση (4), είναι σημείο της έλλειψης \( C \).

**Εξίσωση Έλλειψης:** \( \frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1 \), όπου \( β = \sqrt{α^2 - γ^2} \)  ✅

**Παράδειγμα 1:** Έλλειψη με εστίες τα σημεία \( E'(-4, 0), E(4, 0) \) και σταθερό άθροισμα \( 2α = 10 \).

Έχουμε \( γ = 4 \) και \( α = 5 \).

\( β = \sqrt{α^2 - γ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \).

Άρα, η εξίσωση είναι: \( \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \), δηλαδή \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \).

**Εστίες στον άξονα y'y:** Αν πάρουμε σύστημα συντεταγμένων \( Oxy \) με άξονα των \( x \) τη μεσοκάθετο του \( E'E \) και άξονα των \( y \) την ευθεία \( E'E \), τότε οι εστίες είναι \( E'(0, -γ) \) και \( E(0, γ) \). Η εξίσωση της έλλειψης \( C \) είναι:

\( \frac{x^2}{β^2} + \frac{y^2}{α^2} = 1 \)

**Παράδειγμα 2:** Έλλειψη με εστίες \( E'(0, -4), E(0, 4) \) και σταθερό άθροισμα \( 2α = 10 \).

Έχουμε \( γ = 4 \) και \( α = 5 \).

\( β = \sqrt{α^2 - γ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \).

Άρα, η εξίσωση είναι: \( \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 \), δηλαδή \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1 \).

## Ιδιότητες Έλλειψης 🧐

Έστω μια έλλειψη \( C: \frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1 \), όπου \( β = \sqrt{α^2 - γ^2} \).

*   **Συμμετρίες:**
    *   Αν \( M(x_1, y_1) \) είναι σημείο της \( C \), τότε και τα σημεία \( M_1(x_1, -y_1) \), \( M_2(-x_1, y_1) \) και \( M_3(-x_1, -y_1) \) ανήκουν στην \( C \).
    *   Αυτό σημαίνει ότι η έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες \( x'x \) και \( y'y \) και κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων \( O \). Το \( O \) λέγεται **κέντρο** της έλλειψης.
    *   Η ευθεία που ενώνει τις εστίες \( E', E \) της έλλειψης και η μεσοκάθετος του \( E'E \) είναι άξονες συμμετρίας της έλλειψης.

*   **Κορυφές και Άξονες:**
    *   Από την εξίσωση, για \( y = 0 \) βρίσκουμε \( x = \pm α \), ενώ για \( x = 0 \) βρίσκουμε \( y = \pm β \).
    *   Η έλλειψη \( C \) τέμνει τον άξονα \( x'x \) στα σημεία \( A'(-α, 0) \) και \( A(α, 0) \), ενώ τον άξονα \( y'y \) στα σημεία \( B'(0, -β) \) και \( B(0, β) \).
    *   Τα σημεία \( A', A, B', B \) λέγονται <Tooltip><TooltipTrigger>κορυφές</TooltipTrigger><TooltipContent>Τα σημεία όπου η έλλειψη τέμνει τους άξονες συμμετρίας της.</TooltipContent></Tooltip> της έλλειψης.
    *   Το ευθύγραμμο τμήμα \( A'A \) έχει μήκος \( (A'A) = 2α \) και λέγεται <Tooltip><TooltipTrigger>μεγάλος άξονας</TooltipTrigger><TooltipContent>Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις κορυφές Α' και Α, περνά από τις εστίες και έχει μήκος 2α.</TooltipContent></Tooltip> της έλλειψης.
    *   Το ευθύγραμμο τμήμα \( B'B \) έχει μήκος \( (B'B) = 2β \) και λέγεται <Tooltip><TooltipTrigger>μικρός άξονας</TooltipTrigger><TooltipContent>Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις κορυφές Β' και Β, είναι κάθετο στον μεγάλο άξονα στο κέντρο και έχει μήκος 2β.</TooltipContent></Tooltip> της έλλειψης.
    *   Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο οποιαδήποτε συμμετρικά ως προς \( O \) σημεία \( M_1 \) και \( M_2 \) της έλλειψης λέγεται <Tooltip><TooltipTrigger>διάμετρος</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο της.</TooltipContent></Tooltip> της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι \( 2β \le (M_1M_2) \le 2α \).

*   **Όρια:**
    *   Από την εξίσωση \( \frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1 \), έχουμε \( \frac{x^2}{α^2} \le 1 \) και \( \frac{y^2}{β^2} \le 1 \).
    *   Οπότε \( x^2 \le α^2 \) και \( y^2 \le β^2 \).
    *   Άρα, \( -α \le x \le α \) και \( -β \le y \le β \).
    *   Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες \( x = -α, x = α \) και \( y = -β, y = β \). ⏹️

## Εκκεντρότητα Έλλειψης 📏

Μια παράμετρος που καθορίζει τη μορφή της έλλειψης είναι η εκκεντρότητά της. Ονομάζουμε <Tooltip><TooltipTrigger>εκκεντρότητα</TooltipTrigger><TooltipContent>Ένας αριθμός που περιγράφει πόσο "πεπλατυσμένη" είναι μια έλλειψη. Ορίζεται ως ο λόγος της εστιακής απόστασης προς το μήκος του μεγάλου άξονα.</TooltipContent></Tooltip> της έλλειψης \( \frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1 \) και τη συμβολίζουμε με \( ε \), το λόγο \( ε = \frac{γ}{α} \).

Επειδή \( γ = \sqrt{α^2 - β^2} \), είναι \( ε = \frac{\sqrt{α^2 - β^2}}{α} \), οπότε:
\( ε^2 = \frac{α^2 - β^2}{α^2} = 1 - (\frac{β}{α})^2 \) και άρα \( \frac{β}{α} = \sqrt{1 - ε^2} \).

<Alert title='Προσοχή!'>
  Επειδή \( 0 \le γ < α \), ισχύει \( 0 \le \frac{γ}{α} < 1 \). Άρα, για την εκκεντρότητα \( ε \) μιας έλλειψης ισχύει πάντα \( 0 \le ε < 1 \).
</Alert>  

*   Όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα, τόσο μικραίνει ο λόγος \( \frac{β}{α} \) και κατά συνέπεια τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη.
*   Όταν το \( ε \) τείνει στο μηδέν, τότε ο λόγος \( \frac{β}{α} \) τείνει στο 1 και επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος ( \( ε = 0 \) για κύκλο). ⭕
*   Όταν, όμως, το \( ε \) τείνει στη μονάδα, τότε ο λόγος \( \frac{β}{α} \) τείνει στο 0 και επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα. ➖
*   Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα ίδιο λόγο \( \frac{β}{α} \), λέγονται **όμοιες**.

<Fact title='Εκκεντρότητες Πλανητών 🪐'>
  Είναι γνωστό από την Αστρονομία ότι οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ελλείψεις, των οποίων τη μία εστία κατέχει ο Ήλιος. Οι εκκεντρότητες των τροχιών αυτών είναι:
  
  | Πλανήτης | Εκκεντρότητα | Πλανήτης  | Εκκεντρότητα |
  | :------- | :----------- | :-------- | :----------- |
  | Ερμής    | 0,206        | Κρόνος    | 0,051        |
  | Αφροδίτη | 0,007        | Ουρανός   | 0,046        |
  | Γη       | 0,017        | Ποσειδώνας | 0,005        |
  | Άρης     | 0,093        | Πλούτωνας | 0,250        |
  | Δίας     | 0,049        |           |              |
</Fact>  

## Εφαπτομένη Έλλειψης 📉

Έστω μια έλλειψη \( C \) με εξίσωση \( \frac{x^2}{α^2} + \frac{y^2}{β^2} = 1 \) και ένα σημείο της \( M_1(x_1, y_1) \).

Η <Tooltip><TooltipTrigger>εφαπτομένη</TooltipTrigger><TooltipContent>Η ευθεία που "αγγίζει" την καμπύλη σε ένα μόνο σημείο κοντά στην περιοχή επαφής.</TooltipContent></Tooltip> της έλλειψης \( C \) στο σημείο \( M_1(x_1, y_1) \) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της παραβολής και αποδεικνύεται ότι έχει εξίσωση:

\( \frac{xx_1}{α^2} + \frac{yy_1}{β^2} = 1 \)

**Παράδειγμα:** Η εφαπτομένη της έλλειψης \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \) στο σημείο της \( M_1(2, \sqrt{3}) \) έχει εξίσωση:

\( \frac{x \cdot 2}{16} + \frac{y \sqrt{3}}{4} = 1 \)

\( \frac{x}{8} + \frac{y \sqrt{3}}{4} = 1 \)

\( x + 2y\sqrt{3} = 8 \)

\( 2y\sqrt{3} = -x + 8 \)

\( y = -\frac{1}{2\sqrt{3}}x + \frac{8}{2\sqrt{3}} \)

\( y = -\frac{\sqrt{3}}{6}x + \frac{4\sqrt{3}}{3} \)

### Ανακλαστική Ιδιότητα

Όπως η παραβολή, έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα:

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής \( M \) διχοτομεί τη γωνία \( E'ME \), όπου \( E', E \) οι εστίες της έλλειψης. 💡

Μαθηματικά Β' Λυκείου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία