Μαθηματικές κατασκευές 📐
Πριν διαβάσουμε 📖
Υπάρχει κι ένα άλλο είδος κατασκευής, που δεν την πιάνεις με τα χέρια σου: η γεωμετρική κατασκευή. Εδώ τα υλικά είναι ο χάρακας, το μοιρογνωμόνιο και το τρίγωνο, και το αποτέλεσμα είναι ένα σχήμα πάνω στο χαρτί.
Στη σελίδα του βιβλίου οι δύο κατασκευές είναι γραμμένες η μία δίπλα στην άλλη επίτηδες. Δεν διαφέρουν μόνο στο σχήμα που φτιάχνουν, αλλά και στη φωνή του ρήματος: η πρώτη μιλάει σε ενεργητική φωνή («χαράζουμε»), η δεύτερη σε παθητική («χαράζεται»). Δύο τρόποι να πεις ακριβώς την ίδια οδηγία.
Οι δύο κατασκευές ✍️
1η Κατασκευή — ενεργητική φωνή
Να κατασκευάσεις το πλάγιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, που έχει πλευρές ΑΒ = 4 εκ., ΑΔ = 3 εκ. και γωνία Α = 70°.
| Βήμα | Οδηγία |
|---|---|
| 1ο βήμα | Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4 εκ. |
| 2ο βήμα | Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο στην κορυφή Α και κατασκευάζουμε τη γωνία Α = 70° |
| 3ο βήμα | Μετράμε με τον χάρακα πάνω στην πλευρά ΑΧ 3 εκ. και σημειώνουμε την κορυφή Δ |
| 4ο βήμα | Από την κορυφή Δ σχεδιάζουμε παράλληλο ευθύγραμμο τμήμα ΔΓ = 4 εκ. |
| 5ο βήμα | Ενώνουμε τις κορυφές Β και Γ |
2η Κατασκευή — παθητική φωνή
Να κατασκευαστεί το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΔΕΖΗ, που έχει ΔΕ = 4 εκ. και ΔΗ = 3 εκ.
| Βήμα | Οδηγία |
|---|---|
| 1ο βήμα | Χαράζεται το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ = 4 εκ. |
| 2ο βήμα | Τοποθετείται το τρίγωνό μας στην κορυφή Δ και σχεδιάζεται η κάθετος ΔΗ = 3 εκ. |
| 3ο βήμα | Τοποθετείται το τρίγωνό μας στην κορυφή Η και χαράζεται η κάθετος ΗΖ = 4 εκ. |
| 4ο βήμα | Ενώνονται οι κορυφές Ε και Ζ |
users.thess.sch.gr
Στο πλάγιο παραλληλόγραμμο πρέπει να φτιάξουμε τη γωνία των 70° με το μοιρογνωμόνιο, και αυτό απαιτεί δικό του βήμα. Στο ορθογώνιο όλες οι γωνίες είναι ορθές, οπότε το τρίγωνο τις δίνει έτοιμες — δεν χρειάζεται μέτρημα μοιρών.
Οι λέξεις της γεωμετρίας 🔤
Οι λέξεις ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ευθύγραμμο και μοιρογνωμόνιο είναι λέξεις που χρησιμοποιούμε στη γεωμετρία. Οι περισσότερες είναι σύνθετες και περιέχουν κάποια ρίζα αρχαίας λέξης, αφού οι αρχαίοι Έλληνες ανέπτυξαν αυτή την επιστήμη.
| Λέξη | Από πού βγαίνει | Τι σημαίνει |
|---|---|---|
| γεωμετρία | γη + μετρώ | η μέτρηση της γης |
| ορθογώνιο | ορθή + γωνία | το σχήμα που έχει ορθές γωνίες |
| ευθύγραμμο τμήμα | ευθεία + γραμμή, τμήμα από το τέμνω = κόβω | κομμάτι ευθείας γραμμής |
| παραλληλόγραμμο | παρά + άλληλο + γραμμή | το σχήμα που έχει παράλληλες γραμμές |
Στην αρχαία Αίγυπτο ο Νείλος πλημμύριζε κάθε χρόνο και έσβηνε τα όρια των χωραφιών. Οι άνθρωποι έπρεπε να τα ξαναμετρήσουν, και έτσι γεννήθηκαν οι πρώτοι κανόνες μέτρησης. Οι αρχαίοι Έλληνες πήραν αυτή την πρακτική γνώση και την έκαναν επιστήμη — κρατώντας όμως το παλιό της όνομα.
Σύνθεση με στοιχεία από τα αρχαία ελληνικά 🏺
Πολλές λέξεις φτιάχνονται με ένα μικρό κομμάτι μπροστά, που δίνει τη σημασία του σε ολόκληρη τη λέξη.
| Πρώτο συνθετικό | Σημασία | Σύνθετες λέξεις |
|---|---|---|
| α- (αν-) | στερητικό, «χωρίς» | άκακος, ανάξιος, άτιμος, ακίνητος |
| αει- | πάντα, αδιάκοπα | αεικίνητος, αειθαλής |
| αλληλο- | ο ένας τον άλλο | αλληλοκατηγορούνται, αλληλογραφία |
| αμφι- | από τα δύο μέρη | αμφίβιο |
| αρχι- | πρώτος, ανώτερος | αρχιεργάτης, αρχιστράτηγος |
| αυτο- | από μόνος μου | αυτοτραυματίζομαι, αυτοκριτική |
| διχο- | μοιρασμένος σε δύο | διχόνοια, διχογνωμία |
| δυσ- | δύσκολα, κακά | δύσπιστος, δυστυχία |
| ευ- | καλά, εύκολα | εύπιστος, ευτυχία |
| ημι- | μισό | ημισφαίριο, ημίθεος |
| ομο- | μαζί, ίδια | ομόθρησκος, ομόφωνος |
| παν- | όλος | πάνθεο, πανελλήνιο |
| πυρο- | φωτιά | πυροσβέστης, πυρασφάλεια |
| τηλε- | μακριά | τηλέφωνο, τηλεόραση |
Με αυτόν τον τρόπο εξηγούμε πολλές λέξεις της γεωμετρίας. Για παράδειγμα: ημικύκλιο = ημι + κύκλος, δηλαδή μισός κύκλος.
Οι αρχαίες προθέσεις και το ρήμα βάλλω 🔍
Σε λέξεις της γεωμετρίας συναντάμε και κάποιες αρχαίες προθέσεις, συνήθως ως πρώτο συνθετικό. Για παράδειγμα: διαγώνιος = διά + γωνία.
Στα αρχαία ελληνικά κάθε πρόθεση από μόνη της σήμαινε κάτι, και αυτή τη σημασία τη μετέδιδε στη νέα λέξη. Δες τι γίνεται με το ρήμα βάλλω:
| Πρόθεση | Σημασία | Σύνθετο και η σημασία του |
|---|---|---|
| αμφί | και από τις δυο πλευρές | αμφιβάλλω: δεν είμαι βέβαιος, διστάζω |
| ανά | πάνω σε κάτι ή ξανά | αναβάλλω: λέω ότι θα το κάνω άλλη φορά |
| διά | μέσα από | διαβάλλω: κατηγορώ κάποιον, τον συκοφαντώ |
| εις | μέσα σε | εισβάλλω: μπαίνω μέσα με ορμητικό τρόπο |
| εκ | έξω ή μακριά από | εκβάλλω: ρίχνω έξω, βγάζω έξω με δύναμη |
| επί | πάνω σε | επιβάλλω: αναγκάζω κάποιον να κάνει κάτι |
| κατά | προς τα κάτω ή εναντίον | καταβάλλω: ρίχνω κάτω, αφαιρώ τη δύναμη |
| μετά | μαζί με ή κατόπιν | μεταβάλλω: αλλάζω κάτι |
| παρά | δίπλα, κοντά ή παράλληλα | παραβάλλω: συγκρίνω, βάζω δίπλα |
| περί | γύρω από | περιβάλλω: τοποθετώ γύρω |
| προ | μπροστά ή πριν | προβάλλω: βάζω μπροστά, εμφανίζω |
| προς | με κατεύθυνση σε | προσβάλλω: λέω κάτι κακό σε κάποιον |
| συν | μαζί με | συμβάλλω: βοηθάω μαζί με κάποιον |
| υπέρ | πάνω από, πάρα πολύ | υπερβάλλω: κάνω κάτι να φαίνεται μεγαλύτερο |
| υπό | κάτω από | υποβάλλω: βάζω κάποιον κάτω από μια δοκιμασία |
Με ένα ή με δύο λ; ✏️
Τα ρήματα που έχουν δεύτερο συνθετικό το βάλλω γράφονται άλλοτε με λλ και άλλοτε με λ. Ο κανόνας είναι ξεκάθαρος και εξαρτάται από τον χρόνο.
| Γράφονται με λλ | Γράφονται με λ |
|---|---|
| Ενεστώτας οριστικής: αναβάλλω | Αόριστος οριστικής: ανέβαλα |
| Εξακολουθητική υποτακτική: να αναβάλλω | Συνοπτική υποτακτική: να αναβάλω |
| Παρατατικός: ανέβαλλα | Συνοπτικός μέλλοντας: θα αναβάλω |
| Εξακολουθητικός μέλλοντας: θα αναβάλλω | Παρακείμενος: έχω αναβάλει |
| Υπερσυντέλικος: είχα αναβάλει | |
| Συντελεσμένος μέλλοντας: θα έχω αναβάλει |
Ο λόγος είναι ότι οι πρώτοι χρόνοι έχουν θέμα βάλλ-, ενώ οι δεύτεροι έχουν θέμα βαλ-.
Δες τη διαφορά μέσα σε προτάσεις:
- Ανέβαλλε συνεχώς το ταξίδι που ήθελε να κάνει. (παρατατικός)
- Ανέβαλε την εκδρομή λόγω βροχής. (αόριστος)
- Κάθε φορά που θα κάνει κάτι κακό, θα του επιβάλλουν τιμωρία. (εξακολουθητικός μέλλοντας)
- Θα του επιβάλουν αυστηρή ποινή στο δικαστήριο. (συνοπτικός μέλλοντας)
- Θέλει να επιβάλλει πάντα τη γνώμη του. (εξακολουθητική υποτακτική)
- Κατόρθωσε να επιβάλει σε όλους τη γνώμη του. (συνοπτική υποτακτική)
Αν η πράξη επαναλαμβάνεται ή κρατάει (κάθε φορά, συνεχώς, πάντα), γράφουμε λλ. Αν γίνεται μία φορά και τελειώνει, γράφουμε λ. Γι' αυτό «θα του επιβάλλουν τιμωρία κάθε φορά» αλλά «θα του επιβάλουν ποινή στο δικαστήριο».
Ελέγχω αν κατάλαβα 🤔
- Ποια βήματα χρειάζεται το πλάγιο παραλληλόγραμμο και ποια το ορθογώνιο;
- Σε ποιο βήμα χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο και σε ποιο το τρίγωνο;
- Τι σημαίνει η λέξη γεωμετρία και από πού βγαίνει;
- Τι σημαίνουν τα συνθετικά ημι-, διχο-, ομο- και τηλε-;
- Πότε γράφουμε ένα λ και πότε δύο στα σύνθετα του βάλλω;