8ο Επαναληπτικό: Μετρήσεις 📐

Φτάσαμε στο τέλος της Ενότητας 8. Μάθαμε να μετράμε μήκος, περίμετρο, επιφάνεια, όγκο, χωρητικότητα, μάζα και χρόνο.

Εδώ τα μαζεύουμε όλα σε ένα μέρος. Είναι το κεφάλαιο που ξαναδιαβάζεις πριν το διαγώνισμα.

Ο μεγάλος χάρτης των μεγεθών 🗺️

Κάθε μέγεθος έχει τη δική του βασική μονάδα και τον δικό του κανόνα μετατροπής.

Μέγεθος	Τι μετράει	Βασική μονάδα	Βήμα μετατροπής
Μήκος	Πόσο μακρύ είναι κάτι	μέτρο (μ.)	×10 ή :10
Επιφάνεια	Πόσο χώρο καλύπτει	τετραγωνικό μέτρο (τ.μ.)	×100 ή :100
Όγκος	Πόσο χώρο πιάνει	κυβικό μέτρο (κ.μ.)	×1.000 ή :1.000
Χωρητικότητα	Πόσο υγρό χωράει	λίτρο (L)	×1.000 ή :1.000
Μάζα	Πόση ύλη έχει	κιλό (κ.)	×1.000 ή :1.000
Χρόνος	Πόσο κρατάει	δευτερόλεπτο (δ.)	αλλάζει!

Γιατί 10, 100 και 1.000;

Δεν είναι τυχαίοι αριθμοί. Το μήκος έχει μία διάσταση, άρα 10. Η επιφάνεια έχει δύο, άρα $10 \times 10 = 100$ . Ο όγκος έχει τρεις, άρα $10 \times 10 \times 10 = 1.000$ .
Ένας κανόνας, τρεις εφαρμογές!

1. Μήκος 📏

Βασική μονάδα: το μέτρο (μ.).

Μονάδα	Σχέση
1 χιλιόμετρο (χμ.)	= 1.000 μ.
1 μέτρο (μ.)	= 10 δεκ. = 100 εκ. = 1.000 χιλ.
1 δεκατόμετρο (δεκ.)	= 10 εκ.
1 εκατοστόμετρο (εκ.)	= 10 χιλ.

Κανόνας: σε αμέσως μικρότερη μονάδα ×10, σε αμέσως μεγαλύτερη :10.

Το χιλιόμετρο δεν πάει με το 10

Το χιλιόμετρο δεν είναι η αμέσως μεγαλύτερη μονάδα από το μέτρο. Ισχύει 1 χμ. = 1.000 μ., άρα από μέτρα σε χιλιόμετρα διαιρούμε με το 1.000, όχι με το 10.

2. Περίμετρος 🔲

Περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του. Μετριέται σε μονάδες μήκους (μ., εκ., χμ.).

Σχήμα	Περίμετρος
Τετράγωνο με πλευρά α	$4 \times α$
Ορθογώνιο με μήκος μ και πλάτος π	$2 \times (μ + π)$
Τρίγωνο με πλευρές α, β, γ	$α + β + γ$

3. Επιφάνεια και εμβαδό 🟦

Εμβαδό είναι το μέγεθος της επιφάνειας ενός σχήματος. Μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες.

Μονάδα	Σχέση
1 τ.μ.	= 100 τ.δεκ. = 10.000 τ.εκ.
1 τ.δεκ.	= 100 τ.εκ.
1 τ.εκ.	= 100 τ.χιλ.
1 στρέμμα	= 1.000 τ.μ.
1 τ.χμ.	= 1.000 στρέμματα = 1.000.000 τ.μ.

Οι τύποι των εμβαδών:

\text{Εμβαδό τετραγώνου} = α \times α

\text{Εμβαδό ορθογωνίου} = \text{μήκος} \times \text{πλάτος}

\text{Εμβαδό ορθογωνίου τριγώνου} = \frac{\text{βάση} \times \text{ύψος}}{2}

Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι το μισό ενός ορθογωνίου, γι' αυτό διαιρούμε με το 2.

Περίμετρος ή εμβαδό;

Η περίμετρος είναι η γραμμή γύρω-γύρω και μετριέται σε μέτρα ή εκατοστά. Το εμβαδό είναι η επιφάνεια μέσα και μετριέται σε τετραγωνικά μέτρα ή τετραγωνικά εκατοστά.
Αν θέλεις κορδέλα για να τυλίξεις ένα δώρο, χρειάζεσαι περίμετρο. Αν θέλεις χαρτί για να το τυλίξεις, χρειάζεσαι εμβαδό.

4. Στερεά και όγκος 🧊

Τα γεωμετρικά στερεά έχουν τρεις διαστάσεις. Τα πιο γνωστά είναι ο κύβος, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ο κύλινδρος, ο κώνος, η πυραμίδα και η σφαίρα.

Οι μονάδες του όγκου:

Ισοδυναμία
1 κ.μ. = 1.000 κ.δεκ.
1 κ.δεκ. = 1.000 κ.εκ.
1 κ.εκ. = 1.000 κ.χιλ.
1 κ.μ. = 1.000.000 κ.εκ.

Οι τύποι του όγκου:

\text{Όγκος κουτιού} = \text{μήκος} \times \text{πλάτος} \times \text{ύψος}

\text{Όγκος κύβου} = α \times α \times α

\text{Όγκος} = \text{εμβαδό βάσης} \times \text{ύψος}

5. Χωρητικότητα 🥤

Χωρητικότητα ενός δοχείου είναι ο όγκος του υγρού που χωράει. Βασική μονάδα: το λίτρο (L).

Ισοδυναμία
1 L = 1.000 mL
1 L = 1 κ.δεκ. = 1.000 κ.εκ.
1 κ.μ. = 1.000 L

Όγκος ή χωρητικότητα;

Όγκο λέμε τον χώρο που πιάνει ένα στερεό (ντουλάπα, τούβλο) και τον μετράμε σε κυβικά.
Χωρητικότητα λέμε το υγρό που χωράει ένα δοχείο (μπουκάλι, πισίνα) και τη μετράμε σε λίτρα.
Συνδέονται όμως: επειδή 1 L = 1 κ.δεκ., μια δεξαμενή 1.000 λίτρων έχει όγκο ακριβώς 1 κ.μ.

6. Μάζα ⚖️

Η μάζα εκφράζει το ποσό της ύλης ενός σώματος και είναι σταθερή παντού. Το βάρος είναι η δύναμη λόγω της έλξης της Γης και αλλάζει από τόπο σε τόπο.

Βασική μονάδα: το κιλό (κ.) ή χιλιόγραμμο.

Ισοδυναμία
1 t = 1.000 κ.
1 κ. = 1.000 γρ.
1 γρ. = 1.000 mg

Μετράμε τη μάζα με τον ζυγό σύγκρισης: όταν ισορροπεί, οι δύο πλευρές έχουν ίσες μάζες.

7. Χρόνος ⏰

Βασική μονάδα: το δευτερόλεπτο (δ.).

Ισοδυναμία
1 λεπτό = 60 δευτερόλεπτα
1 ώρα = 60 λεπτά = 3.600 δευτερόλεπτα
1 ημέρα = 24 ώρες
1 εβδομάδα = 7 ημέρες
1 μήνας = 30 ημέρες
1 έτος = 12 μήνες = 365 ημέρες (δίσεκτο: 366)
1 αιώνας = 100 έτη
1 χιλιετία = 10 αιώνες = 1.000 έτη

ΠΡΟΣΟΧΗ: ο χρόνος ΔΕΝ είναι δεκαδικό σύστημα!

Η ώρα δεν έχει 100 λεπτά, έχει 60. Στις προσθαφαιρέσεις ΜΗΝ κάνεις δεκαδική αριθμητική.

Λυμένο παράδειγμα: 2 ώρες 45 λεπτά + 30 λεπτά.

Προσθέτουμε λεπτά με λεπτά: $45 + 30 = 75$ λεπτά.
Τα 75 ξεπερνούν τα 60, άρα κρατούμενο: 75 λεπτά = 1 ώρα και 15 λεπτά.
Προσθέτουμε ώρες με ώρες: $2 + 1 = 3$ ώρες.

Σωστό: 3 ώρες και 15 λεπτά. ΟΧΙ 3,15!

Πώς διαλέγω τη σωστή μονάδα 🎯

Τι μετράω	Σωστή μονάδα
Απόσταση δύο πόλεων	χιλιόμετρα (χμ.)
Επιφάνεια ενός χαλιού	τετραγωνικά μέτρα (τ.μ.)
Όγκος μιας ντουλάπας	κυβικά μέτρα (κ.μ.)
Χωρητικότητα μιας πισίνας	λίτρα (L)
Διάρκεια αγώνα ποδοσφαίρου	ώρες ή λεπτά
Ηλικία ενός πλάτανου	έτη
Μάζα ενός ψωμιού	γραμμάρια ή κιλά

Ο κανόνας: διαλέγουμε τη μονάδα που δίνει τον πιο βολικό αριθμό. Καλύτερα «5 χμ.» παρά «5.000.000 χιλ.».

Λυμένα προβλήματα επανάληψης ✏️

Πρόβλημα 1: Κορδέλα γύρω από κουτί (περίμετρος)

Ένα κουτί έχει πλάτος 25 εκ. και ύψος 10 εκ. Δένουμε γύρω του μια κορδέλα, που περνάει πάνω από το καπάκι κατά πλάτος, κατεβαίνει από τη μία πλαϊνή πλευρά, περνάει κάτω από τον πάτο και ανεβαίνει από την άλλη πλαϊνή. Πόση κορδέλα χρειάζεται;

Βήμα 1 — Δούμε από πού περνάει η κορδέλα. Κάνει έναν κλειστό γύρο: δύο φορές το πλάτος (πάνω και κάτω) και δύο φορές το ύψος (τα δύο πλαϊνά).

Βήμα 2 — Υπολογίζουμε:

(2 \times 25) + (2 \times 10) = 50 + 20 = 70\ \text{εκ.}

Απάντηση: Χρειάζεται 70 εκ. κορδέλα, δηλαδή 0,7 μέτρα. Το μήκος του κουτιού δεν χρησιμοποιήθηκε καθόλου, γιατί η κορδέλα δεν περνάει από εκείνη τη διεύθυνση.

Παρατήρησε ότι ο υπολογισμός είναι ακριβώς η περίμετρος ενός ορθογωνίου με πλευρές 25 εκ. και 10 εκ.

Πρόβλημα 2: Το κολάζ (περίμετρος και εμβαδό)

Ο Γιάννης κόλλησε 6 τετράγωνα με πλευρά 12 εκ. το ένα δίπλα στο άλλο, σε δύο γραμμές των τριών, και έφτιαξε ένα ορθογώνιο κολάζ. Πόση είναι η περίμετρος και πόσο το εμβαδό του;

Βήμα 1 — Οι διαστάσεις του κολάζ:

Μήκος: $3 \times 12 = 36$ εκ.
Πλάτος: $2 \times 12 = 24$ εκ.

Βήμα 2 — Η περίμετρος:

2 \times (36 + 24) = 2 \times 60 = 120\ \text{εκ.}

Βήμα 3 — Το εμβαδό:

36 \times 24 = 864\ \text{τ.εκ.}

Έλεγχος: Το ίδιο εμβαδό βγαίνει και αν προσθέσουμε τα εμβαδά των 6 τετραγώνων: $6 \times (12 \times 12) = 6 \times 144 = 864$ τ.εκ. Συμφωνούν!

Απάντηση: Περίμετρος 120 εκ. και εμβαδό 864 τ.εκ.

Πρόβλημα 3: Ο όγκος μιας σύνθετης εξέδρας

Μια εξέδρα αποτελείται από δύο ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ενωμένα. Το κάτω έχει μήκος 6 μ., πλάτος 3 μ. και ύψος 0,5 μ. Το πάνω έχει μήκος 3 μ., πλάτος 3 μ. και ύψος 0,5 μ. Ποιος είναι ο όγκος της;

Βήμα 1 — Κάτω μέρος:

6 \times 3 \times 0,5 = 9\ \text{κ.μ.}

Βήμα 2 — Πάνω μέρος:

3 \times 3 \times 0,5 = 4,5\ \text{κ.μ.}

Βήμα 3 — Προσθέτουμε:

9 + 4,5 = 13,5\ \text{κ.μ.}

Απάντηση: Ο όγκος της εξέδρας είναι 13,5 κ.μ.

Το κόλπο με τα σύνθετα στερεά

Όταν ένα στερεό δεν είναι απλό κουτί, το χωρίζουμε σε απλά κομμάτια, βρίσκουμε τον όγκο του καθενός και τους προσθέτουμε. Το ίδιο κάνουμε και με τα εμβαδά σύνθετων σχημάτων.

Πρόβλημα 4: Η πισίνα (όγκος, χωρητικότητα και κλάσμα)

Μια πισίνα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει εσωτερικά μήκος 8 μ., πλάτος 6 μ. και ύψος 4,5 μ. Πόσα ευρώ ξοδεύει ο κύριος Γιώργος για να γεμίσει τα $\dfrac{5}{6}$ της πισίνας, αν κάθε κυβικό μέτρο νερού κοστίζει 2,7 €;

Βήμα 1 — Ο συνολικός όγκος της πισίνας:

8 \times 6 \times 4,5 = 216\ \text{κ.μ.}

Βήμα 2 — Τα $\dfrac{5}{6}$ του όγκου:

216 : 6 = 36 \quad\text{και}\quad 36 \times 5 = 180\ \text{κ.μ.}

Βήμα 3 — Το κόστος:

180 \times 2,7 = 486\ \text{€}

Απάντηση: Ο κύριος Γιώργος ξοδεύει 486 ευρώ.

Πρόβλημα 5: Οι ημερομηνίες (χρόνος)

Ο Γιάννης γεννήθηκε στις 31 Δεκεμβρίου 2010. Η αδερφή του, η Μαρία, είναι έναν χρόνο και μία ημέρα μεγαλύτερή του. Πότε γεννήθηκε η Μαρία;

Βήμα 1 — «Μεγαλύτερη» σημαίνει ότι γεννήθηκε νωρίτερα. Πάμε πίσω έναν χρόνο:

31 Δεκεμβρίου 2010 − 1 χρόνο = 31 Δεκεμβρίου 2009

Βήμα 2 — Πάμε πίσω και μία ημέρα:

31 Δεκεμβρίου 2009 − 1 ημέρα = 30 Δεκεμβρίου 2009

Απάντηση: Η Μαρία γεννήθηκε στις 30 Δεκεμβρίου 2009.

Πρόβλημα 6: Μάζα με μικτές μονάδες

Ένα φορτηγό μεταφέρει 3 τόνους πατάτες και 450 κιλά κρεμμύδια. Πόσα κιλά είναι το συνολικό φορτίο;

Βήμα 1 — Οι τόνοι σε κιλά:

3 \times 1.000 = 3.000\ \text{κ.}

Βήμα 2 — Πρόσθεση:

3.000 + 450 = 3.450\ \text{κ.}

Απάντηση: Το φορτίο είναι 3.450 κιλά, δηλαδή 3,45 τόνοι.

Ο χρυσός κανόνας κάθε προβλήματος μέτρησης 🏆

Διάβασε τι ζητάει. Μήκος, εμβαδό, όγκο, χωρητικότητα, μάζα ή χρόνο;
Έλεγξε τις μονάδες. Αν δεν είναι όλες ίδιες, κάνε μετατροπές πρώτα.
Διάλεξε τον τύπο. Περίμετρος, εμβαδό ή όγκος;
Κάνε τις πράξεις βήμα-βήμα.
Γράψε τη μονάδα στην απάντηση. Ένας σκέτος αριθμός δεν είναι απάντηση!

Το λάθος που κοστίζει πιο συχνά

Ξεχνάμε τη μονάδα στην απάντηση ή γράφουμε λάθος μονάδα.
Το εμβαδό είναι πάντα σε τετραγωνικές μονάδες (τ.μ., τ.εκ.), ο όγκος σε κυβικές (κ.μ., κ.εκ.) και η περίμετρος σε απλές μονάδες μήκους (μ., εκ.).
Αν βρήκες εμβαδό και έγραψες «864 εκ.» αντί για «864 τ.εκ.», η απάντηση είναι λάθος.