Εμβαδό τετραγώνου, ορθογωνίου και ορθογώνιου τριγώνου 🟩

Ξέρουμε ήδη τι είναι το εμβαδό: πόσα τετραγωνάκια χωράνε μέσα σε ένα σχήμα. Αλλά το να μετράμε τετραγωνάκι-τετραγωνάκι είναι κουραστικό και αργό. Σήμερα θα μάθουμε τρεις τύπους που μας δίνουν το εμβαδό αμέσως, χωρίς μέτρημα.

Πρώτα: περίμετρος ή εμβαδό; 🤔

Πριν προχωρήσουμε, ας ξεκαθαρίσουμε δύο έννοιες που μπερδεύονται συνέχεια.

	Περίμετρος	Εμβαδό
Τι μετράει	το γύρω-γύρω του σχήματος	πόση επιφάνεια καλύπτει το σχήμα
Πώς το βρίσκουμε	προσθέτουμε τις πλευρές	πολλαπλασιάζουμε διαστάσεις
Μονάδες	μήκους: εκ., μ., χμ.	τετραγωνικές: τ.εκ., τ.μ., τ.χμ.
Καθημερινό παράδειγμα	πόσο φράχτη θα βάλω γύρω από τον κήπο	πόσο γρασίδι θα στρώσω μέσα στον κήπο

Η διαφορά που πρέπει να μη μπερδέψεις ΠΟΤΕ

Η περίμετρος είναι μήκος. Μετριέται σε εκατοστά, μέτρα, χιλιόμετρα.

Το εμβαδό είναι επιφάνεια. Μετριέται σε τετραγωνικά εκατοστά, τετραγωνικά μέτρα, τετραγωνικά χιλιόμετρα.

Αν κάποιος πει «η περίμετρος αυτού του τριγώνου είναι 10 τ.εκ.», έχει κάνει λάθος: τα τ.εκ. μετράνε επιφάνεια, όχι μήκος. Και αν πει «το εμβαδό του κήπου είναι 36 μ.», πάλι λάθος: το εμβαδό θέλει τ.μ.

Ένας εύκολος έλεγχος: αν η μονάδα σου έχει «τετραγωνικό» μπροστά, μιλάς για εμβαδό. Αν όχι, μιλάς για μήκος ή περίμετρο.

Το εμβαδό του τετραγώνου 🟦

Ας ξεκινήσουμε από το πιο απλό. Σχεδιάζουμε σε τετραγωνισμένο χαρτί ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 5 μονάδες.

Πόσα τετραγωνάκια χωράνε; Σε κάθε σειρά χωράνε 5. Και υπάρχουν 5 σειρές. Άρα:

5 \times 5 = 25

Το εμβαδό είναι 25 τετραγωνικές μονάδες.

Ο κανόνας: για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός τετραγώνου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος της πλευράς του επί τον εαυτό της.

Ε_{τετραγώνου} = μήκος\ πλευράς \times μήκος\ πλευράς

Αν ονομάσουμε την πλευρά α:

Ε = α \times α

Παράδειγμα

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 2 μονάδες:

Ε = 2 \times 2 = 4\ τετ.\ μονάδες

Το εμβαδό του ορθογωνίου 🟨

Το ορθογώνιο έχει δύο διαφορετικές διαστάσεις: το μήκος (η μεγάλη πλευρά) και το πλάτος (η μικρή πλευρά).

Σχεδιάζουμε ένα ορθογώνιο με μήκος 5 μονάδες και πλάτος 3 μονάδες. Σε κάθε σειρά χωράνε 5 τετραγωνάκια, και υπάρχουν 3 σειρές:

5 \times 3 = 15

Το εμβαδό είναι 15 τετραγωνικές μονάδες.

Ο κανόνας: για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός ορθογωνίου, πολλαπλασιάζουμε το μήκος επί το πλάτος του — όταν αυτά μετριούνται με την ίδια μονάδα μέτρησης.

Ε_{ορθογωνίου} = μήκος \times πλάτος

Αν ονομάσουμε το μήκος μ και το πλάτος π:

Ε = μ \times π

Ίδια μονάδα — αλλιώς το αποτέλεσμα δεν βγάζει νόημα

Δεν μπορούμε να βρούμε το εμβαδό ενός ορθογωνίου αν το μήκος και το πλάτος του είναι μετρημένα με διαφορετικές μονάδες.

Γιατί; Επειδή το εμβαδό μετράει πόσα ίδια τετραγωνάκια χωράνε μέσα. Αν το μήκος είναι σε μέτρα και το πλάτος σε εκατοστά, δεν υπάρχει κοινό τετραγωνάκι για να μετρήσουμε.

Παράδειγμα: ένα ορθογώνιο 3 μ. επί 40 εκ. Αν πολλαπλασιάσουμε 3 × 40 = 120, το 120 δεν είναι ούτε τ.μ. ούτε τ.εκ. — δεν είναι τίποτα.

Το σωστό: μετατρέπουμε πρώτα, π.χ. 40 εκ. = 0,4 μ. Και μετά $3 \times 0,4 = 1,2$ τ.μ.

Το τετράγωνο είναι ειδικό ορθογώνιο

Πρόσεξε: ο τύπος του τετραγώνου δεν είναι κάτι καινούριο. Το τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο που τυχαίνει να έχει μήκος ίσο με το πλάτος. Γι' αυτό ο τύπος $α \times α$ είναι απλώς ο τύπος $μ \times π$ όταν $μ = π$ .

Το εμβαδό του ορθογώνιου τριγώνου 🔺

Και τώρα το πιο ενδιαφέρον. Πάρε ένα ορθογώνιο και τράβα τη μία διαγώνιό του, ενώνοντας δύο απέναντι κορυφές.

Τι έγινε; Το ορθογώνιο χωρίστηκε σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Κάθε τρίγωνο είναι ακριβώς το μισό του ορθογωνίου.

Άρα το εμβαδό του καθενός είναι το μισό εμβαδό του ορθογωνίου!

Ο κανόνας: για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός ορθογώνιου τριγώνου, πολλαπλασιάζουμε τα μήκη των κάθετων πλευρών του — όταν αυτά μετριούνται με την ίδια μονάδα μέτρησης — και μετά διαιρούμε το γινόμενο με το 2.

Ε_{ορθ.\ τριγώνου} = \frac{μήκος\ κάθ.\ πλευράς \times μήκος\ κάθ.\ πλευράς}{2}

Αν ονομάσουμε τη μία κάθετη πλευρά β (βάση) και την άλλη υ (ύψος):

Ε = \frac{β \times υ}{2}

Παράδειγμα

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 3 και 5 μονάδες:

Ε = \frac{3 \times 5}{2} = \frac{15}{2} = 7,5\ τετ.\ μονάδες

Και πράγματι: το ορθογώνιο 5 × 3 έχει εμβαδό 15, και το μισό του είναι 7,5. Ταιριάζει!

Το τρίγωνο κρύβεται μέσα στο ορθογώνιο

Αν κόψεις ένα ορθογώνιο κομμάτι χαρτί κατά μήκος της διαγωνίου του, θα πάρεις δύο τρίγωνα. Βάλε το ένα πάνω στο άλλο: ταιριάζουν τέλεια. Γι' αυτό ακριβώς ο τύπος του ορθογώνιου τριγώνου έχει το «διά 2» — δεν είναι κανόνας που κάποιος έβγαλε από το κεφάλι του, είναι το μισό ενός ορθογωνίου.

Ο πίνακας των τύπων 📋

Σχήμα	Εμβαδό	Περίμετρος
Τετράγωνο με πλευρά α	$α \times α$	$4 \times α$
Ορθογώνιο με μήκος μ, πλάτος π	$μ \times π$	$2 \times μ + 2 \times π$
Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές β, υ	$\frac{β \times υ}{2}$	άθροισμα των τριών πλευρών

Λυμένα παραδείγματα βήμα-βήμα ✍️

Παράδειγμα 1: Από το εμβαδό στην περίμετρο

Ένας κήπος σε σχήμα τετραγώνου έχει εμβαδό 36 τ.μ. Να βρεθεί η περίμετρός του.

Βήμα 1. Ξέρουμε ότι το εμβαδό τετραγώνου είναι πλευρά × πλευρά. Άρα ψάχνουμε τον αριθμό που, πολλαπλασιασμένος με τον εαυτό του, δίνει 36.

Βήμα 2. Δοκιμάζουμε: $5 \times 5 = 25$ (μικρό), $6 \times 6 = 36$ . Βρήκαμε! Η πλευρά είναι 6 μ.

Βήμα 3. Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 4 φορές η πλευρά:

Π = 4 \times 6 = 24\ μ.

Απάντηση: Η περίμετρος του κήπου είναι 24 μ.

Πρόσεξε τις μονάδες: το εμβαδό ήταν σε τ.μ., η περίμετρος βγήκε σε μ.

Παράδειγμα 2: Ποιες διαστάσεις δίνουν εμβαδό 12 τ.μ.;

Το εμβαδό ενός ορθογωνίου είναι 12 τ.μ. Ποια από τα παρακάτω ζευγάρια μήκους-πλάτους είναι δυνατά;
α. 1 μ. και 12 μ. β. 2 μ. και 6 μ. γ. 3 μ. και 4 μ. δ. 6 μ. και 6 μ.

Βήμα 1. Ελέγχουμε κάθε ζευγάρι με τον τύπο $Ε = μ \times π$ :

Ζευγάρι	Γινόμενο	Σωστό;
1 μ. και 12 μ.	$1 \times 12 = 12$	ναι
2 μ. και 6 μ.	$2 \times 6 = 12$	ναι
3 μ. και 4 μ.	$3 \times 4 = 12$	ναι
6 μ. και 6 μ.	$6 \times 6 = 36$	όχι

Απάντηση: Σωστά είναι τα α, β και γ. Το δ δίνει 36 τ.μ., όχι 12.

Ενδιαφέρον: το ίδιο εμβαδό μπορεί να προκύψει από πολλά διαφορετικά σχήματα. Ένα ορθογώνιο 1 × 12 είναι μακρύ και στενό, ένα 3 × 4 είναι κοντό και φαρδύ — αλλά καλύπτουν την ίδια επιφάνεια.

Παράδειγμα 3: Περίμετρος από εμβαδό 144 τ.μ.

Το εμβαδό ενός τετραγώνου είναι 144 τ.μ. Πόση είναι η περίμετρός του;
α. 12 μ. β. 48 τ.μ. γ. 0,48 μ. δ. 480 δεκ. ε. 480 εκ.

Βήμα 1. Βρίσκουμε την πλευρά: ποιος αριθμός επί τον εαυτό του δίνει 144; Το $12 \times 12 = 144$ . Άρα η πλευρά είναι 12 μ.

Βήμα 2. Περίμετρος: $4 \times 12 = 48$ μ.

Βήμα 3. Ελέγχουμε τις επιλογές:

Επιλογή	Κρίση
α. 12 μ.	λάθος — αυτή είναι η πλευρά, όχι η περίμετρος
β. 48 τ.μ.	λάθος — σωστός αριθμός, λάθος μονάδα: η περίμετρος δεν είναι τετραγωνική
γ. 0,48 μ.	λάθος — 0,48 μ. είναι λιγότερο από μισό μέτρο
δ. 480 δεκ.	σωστό — $48\ μ. = 48 \times 10 = 480$ δεκ.
ε. 480 εκ.	λάθος — $48\ μ. = 4.800$ εκ.

Απάντηση: Η σωστή είναι η δ (480 δεκ.), που ισοδυναμεί με 48 μ.

Παράδειγμα 4: Ορθογώνιο τρίγωνο σε μέτρα

Ένα τρίγωνο οικόπεδο έχει ορθή γωνία, με τις κάθετες πλευρές του 8 μ. και 6 μ. Ποιο είναι το εμβαδό του;

Βήμα 1. Και οι δύο πλευρές είναι σε μέτρα, άρα δεν χρειάζεται μετατροπή.

Βήμα 2. Εφαρμόζουμε τον τύπο:

Ε = \frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} = 24

Απάντηση: Το εμβαδό είναι 24 τ.μ.

Τι να θυμάσαι 🎯

Το εμβαδό βγαίνει από πολλαπλασιασμό διαστάσεων, η περίμετρος από πρόσθεση πλευρών.
Οι διαστάσεις πρέπει να είναι πάντα στην ίδια μονάδα πριν πολλαπλασιάσεις.
Το αποτέλεσμα του εμβαδού παίρνει τετραγωνική μονάδα.
Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι το μισό ενός ορθογωνίου — γι' αυτό διαιρούμε με το 2.