Επαναληπτικό: όλη η Γεωμετρία μαζί 🧭

Ήρθε η ώρα να μαζέψουμε σε ένα μέρος όλα όσα μάθαμε στη Γεωμετρία. Κλίμακες, προσανατολισμός, γωνίες, τρίγωνα, ύψη, συμμετρία και κύκλος. Πάμε να τα ξαναδούμε ένα ένα, με τους κανόνες και τα βήματα που χρειάζεσαι.

Τι έμαθα σε αυτά τα κεφάλαια ✅

• Να αναγνωρίζω και να περιγράφω τη μεγέθυνση και τη σμίκρυνση ενός σχεδίου ή μιας εικόνας σε διάφορες κλίμακες.
• Να περιγράφω τοποθεσίες και διαδρομές σε απλούς χάρτες.
• Να διακρίνω τα είδη των γωνιών και να τις συγκρίνω και να τις σχηματίζω.
• Να διακρίνω τα είδη των τριγώνων ως προς τις γωνίες και ως προς τις πλευρές.
• Να χαράζω γεωμετρικά σχήματα με τη βοήθεια οργάνων, και να χαράζω τα ύψη ενός τριγώνου.
• Να υπολογίζω το μήκος ενός κύκλου.
• Να αναγνωρίζω συμμετρικά σχήματα, να εντοπίζω τους άξονες συμμετρίας και να κατασκευάζω το συμμετρικό ενός σχήματος σε τετραγωνισμένο χαρτί.

1. Κλίμακες: μεγέθυνση και σμίκρυνση 🔍

Η κλίμακα μας λέει πώς συνδέεται το σχέδιο με την πραγματικότητα.

• Κλίμακα σμίκρυνσης (π.χ. 1:100): το σχέδιο είναι μικρότερο από το πραγματικό. Το 1 εκ. του σχεδίου αντιστοιχεί σε 100 εκ. στην πραγματικότητα. Τη χρησιμοποιούμε στους χάρτες και στα σχέδια σπιτιών.
• Κλίμακα μεγέθυνσης (π.χ. 2:1): το σχέδιο είναι μεγαλύτερο από το πραγματικό. Τη χρησιμοποιούμε για μικροσκοπικά πράγματα, όπως ένα έντομο ή ένα εξάρτημα ρολογιού.

Πώς λύνω πρόβλημα με κλίμακα

Από το σχέδιο στην πραγματικότητα: πολλαπλασιάζω την απόσταση του σχεδίου με τον αριθμό της κλίμακας.
Από την πραγματικότητα στο σχέδιο: διαιρώ την πραγματική απόσταση με τον αριθμό της κλίμακας.

Λυμένο παράδειγμα: Σε χάρτη με κλίμακα 1:100.000, δύο πόλεις απέχουν 18 εκ. Πόσο απέχουν στην πραγματικότητα;

Βήμα 1: Πολλαπλασιάζω με την κλίμακα.

Βήμα 2: Μετατρέπω σε μέτρα (διαιρώ με 100) και μετά σε χιλιόμετρα (διαιρώ με 1.000).

Απάντηση: Οι πόλεις απέχουν 18 χλμ.

2. Προσανατολισμός στον χώρο 🗺️

Για να περιγράψουμε πού βρίσκεται κάτι σε έναν χάρτη με τετράγωνα, χρησιμοποιούμε ζευγάρια αριθμών, όπως το (3, 2).

Ο κανόνας: πρώτα μετράμε οριζόντια (πόσο μπροστά ή πόσα τετράγωνα δεξιά), μετά κατακόρυφα (πόσο επάνω). Δηλαδή το σημείο (3, 2) σημαίνει: 3 μπροστά και 2 επάνω.

Για τις διαδρομές χρησιμοποιούμε τα τέσσερα σημεία του ορίζοντα:

Λυμένο παράδειγμα: Είμαι στο σημείο (4, 4) και κινούμαι 3 τετράγωνα δυτικά και 2 τετράγωνα νότια. Πού βρίσκομαι;

Βήμα 1: Δυτικά σημαίνει αριστερά, άρα αφαιρώ από τον πρώτο αριθμό: $4 - 3 = 1$.
Βήμα 2: Νότια σημαίνει κάτω, άρα αφαιρώ από τον δεύτερο αριθμό: $4 - 2 = 2$.
Απάντηση: Βρίσκομαι στο σημείο (1, 2).

3. Είδη γωνιών ⌒

Γωνία είναι το άνοιγμα που σχηματίζουν δύο γραμμές οι οποίες ξεκινούν από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται κορυφή και οι δύο γραμμές πλευρές.

Πολύ σημαντικό: το μέγεθος μιας γωνίας εξαρτάται μόνο από το άνοιγμα, ποτέ από το μήκος των πλευρών της.

Πώς σχεδιάζω γωνία με το μοιρογνωμόνιο

1. Χαράζω μια ευθεία γραμμή, που θα είναι η μία πλευρά της γωνίας.
2. Βάζω το κέντρο του μοιρογνωμόνιου στο σημείο που θα είναι η κορυφή, με την ένδειξη 0 πάνω στη γραμμή.
3. Βρίσκω στην κλίμακα τις μοίρες που θέλω και βάζω μια τελεία.
4. Ενώνω την τελεία με την κορυφή. Έτοιμη η γωνία.

4. Είδη τριγώνων 🔺

Κάθε τρίγωνο παίρνει δύο ονόματα: ένα από τις γωνίες του και ένα από τις πλευρές του.

Ως προς τις γωνίες

Ως προς τις πλευρές

5. Καθετότητα και ύψη τριγώνου 📐

Κάθετες ονομάζονται δύο ευθείες που τέμνονται σχηματίζοντας γωνία 90°. Το γράφουμε $α \perp β$ και το σχεδιάζουμε με τον γνώμονα.

Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από το σημείο και τέμνει κάθετα την ευθεία. Είναι η πιο σύντομη διαδρομή από το σημείο προς την ευθεία.

Ύψος τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή και είναι κάθετο στην απέναντι πλευρά. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη, και τα τρία διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Πώς χαράζω ύψος με τον γνώμονα

1. Βρίσκω την απέναντι πλευρά της κορυφής (αυτή που δεν περνάει από την κορυφή).
2. Ακουμπάω τη μία πλευρά της ορθής γωνίας του γνώμονα πάνω σε αυτή την πλευρά.
3. Σύρω τον γνώμονα μέχρι η άλλη πλευρά του να περάσει από την κορυφή.
4. Χαράζω το τμήμα από την κορυφή μέχρι την πλευρά.

6. Συμμετρία 🦋

Ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας μία ευθεία, όταν διπλώνοντας το χαρτί κατά μήκος της τα δύο μισά συμπίπτουν ακριβώς.

Πώς κατασκευάζω το συμμετρικό σε τετραγωνισμένο χαρτί

Ο κανόνας: τα συμμετρικά σημεία απέχουν το ίδιο από τον άξονα.

1. Παίρνω μία μία τις κορυφές του σχήματος.
2. Για κάθε κορυφή, μετράω πόσα τετραγωνάκια απέχει από τον άξονα, κάθετα προς αυτόν.
3. Περνάω στην άλλη μεριά και μετράω τα ίδια ακριβώς τετραγωνάκια, πάνω στην ίδια γραμμή.
4. Σημειώνω εκεί το συμμετρικό σημείο.
5. Όταν βρω όλα τα συμμετρικά σημεία, τα ενώνω με τη σειρά.

7. Κύκλος και μήκος κύκλου ⭕

Τα στοιχεία του κύκλου: το κέντρο Ο, η ακτίνα ρ (από το κέντρο ως τη γραμμή του κύκλου) και η διάμετρος δ (ενώνει δύο σημεία περνώντας από το κέντρο).

Το μήκος του κύκλου το βρίσκουμε με τον τύπο:

όπου ο αριθμός π είναι 3,14159265… και στους υπολογισμούς τον παίρνουμε 3,14.

Λυμένο παράδειγμα: Ποιο είναι το μήκος ενός κύκλου με ακτίνα 4 εκ.;

Βήμα 1: Βρίσκω πρώτα τη διάμετρο, γιατί ο τύπος τη θέλει.

Βήμα 2: Εφαρμόζω τον τύπο.

Απάντηση: Το μήκος του κύκλου είναι 25,12 εκ.

Λυμένο επαναληπτικό πρόβλημα 🧠

Πρόβλημα: Σχεδιάζουμε ένα ισόπλευρο, ένα ισοσκελές και ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο. Τι χαρακτηριστικά έχει το καθένα και πώς το φτιάχνουμε;

Το ισόπλευρο τρίγωνο
Έχει και τις τρεις πλευρές ίσες, άρα και τις τρεις γωνίες ίσες, από 60°. Το κατασκευάζω ως εξής: χαράζω μια πλευρά με τον χάρακα, π.χ. 5 εκ. Στο ένα άκρο της φτιάχνω με το μοιρογνωμόνιο γωνία 60°, και το ίδιο στο άλλο άκρο. Προεκτείνω τις δύο πλευρές των γωνιών μέχρι να συναντηθούν. Έχει 3 άξονες συμμετρίας.

Το ισοσκελές τρίγωνο
Έχει μόνο δύο πλευρές ίσες, άρα δύο ίσες γωνίες, αυτές που είναι απέναντι από τις ίσες πλευρές. Το κατασκευάζω σχεδιάζοντας τη βάση και φτιάχνοντας στα δύο άκρα της δύο ίσες γωνίες, π.χ. 65° η καθεμία. Έχει 1 άξονα συμμετρίας, που περνάει από την κορυφή των ίσων πλευρών.

Το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο
Παίρνει και τα δύο ονόματα: ορθογώνιο επειδή έχει μία γωνία 90°, και ισοσκελές επειδή οι δύο κάθετες πλευρές του είναι ίσες. Οι άλλες δύο γωνίες του είναι από 45°, αφού $180° - 90° = 90°$ και μοιράζονται στα δύο. Το φτιάχνω εύκολα διπλώνοντας ένα τετράγωνο χαρτί από γωνία σε γωνία. Έχει 1 άξονα συμμετρίας.