Κύκλος και μήκος κύκλου ⭕

Η ρόδα του ποδηλάτου, το χείλος του ποτηριού, ένα νόμισμα, ο ήλιος στο σχέδιό σου. Ο κύκλος είναι ίσως το πιο τέλειο σχήμα που υπάρχει, γιατί κάθε σημείο του απέχει το ίδιο από το κέντρο του. Σήμερα θα μάθουμε τα μέρη του και θα υπολογίσουμε πόσο «μακρύς» είναι.

Τα κύρια στοιχεία του κύκλου 🎯

Κάθε κύκλος έχει τρία βασικά στοιχεία:

Το κέντρο Ο
Είναι το σημείο στη μέση του κύκλου. Απέχει την ίδια απόσταση από όλα τα σημεία της γραμμής του κύκλου. Το συμβολίζουμε συνήθως με το γράμμα Ο.

Η ακτίνα ρ
Είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο με ένα οποιοδήποτε σημείο του κύκλου. Όλες οι ακτίνες ενός κύκλου είναι ίσες μεταξύ τους. Ένας κύκλος έχει άπειρες ακτίνες.

Η διάμετρος δ
Είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου περνώντας από το κέντρο. Η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μισά. Και ένας κύκλος έχει άπειρες διαμέτρους.

Η σχέση ακτίνας και διαμέτρου

Η διάμετρος είναι φτιαγμένη από δύο ακτίνες στη σειρά: μία από τη μια μεριά του κέντρου και μία από την άλλη. Άρα:

Και αντίστροφα, αν ξέρουμε τη διάμετρο και θέλουμε την ακτίνα:

Τι είναι το μήκος του κύκλου 📏

Μήκος του κύκλου ονομάζουμε την απόσταση που έχει η ίδια η γραμμή του κύκλου, δηλαδή πόσο μακρύ θα ήταν το σκοινί αν το τυλίγαμε ακριβώς γύρω του και μετά το ξετυλίγαμε ίσιο.

Μπορούμε να το μετρήσουμε πραγματικά: τυλίγουμε μια μεζούρα ή ένα κομμάτι σπάγκο γύρω από ένα στρογγυλό αντικείμενο, σημειώνουμε πού συναντιούνται οι άκρες και μετράμε τον σπάγκο με τον χάρακα.

Η μεγάλη ανακάλυψη: ο αριθμός π 🌟

Δοκίμασε το εξής πείραμα με πολλά στρογγυλά αντικείμενα: ένα ποτήρι, ένα καπάκι, μια ρόδα, ένα νόμισμα. Για το καθένα, μέτρησε το μήκος του κύκλου και τη διάμετρό του, και μετά κάνε τη διαίρεση:

μήκος κύκλου : διάμετρος

Τι θα βρεις; Πάντα περίπου τον ίδιο αριθμό, γύρω στο 3,14! Δεν έχει σημασία αν το αντικείμενο είναι μεγάλο σαν ρόδα αυτοκινήτου ή μικρό σαν νόμισμα.

Για παράδειγμα, ένα ποτήρι με μήκος κύκλου 24,7 εκ. και διάμετρο 7,8 εκ. δίνει:

Αυτός ο σταθερός αριθμός συμβολίζεται σε όλον τον κόσμο με το ελληνικό γράμμα π (πι).

Ο τύπος για το μήκος του κύκλου 🧮

Αφού το μήκος κάθε κύκλου διά τη διάμετρό του δίνει πάντα το π, τότε το μήκος βρίσκεται με πολλαπλασιασμό:

Για να υπολογίσουμε το μήκος κύκλου, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό π με τη διάμετρο του κύκλου.

Και επειδή $δ = 2 \times ρ$, αν μας δίνουν την ακτίνα αντί για τη διάμετρο, γράφουμε:

Λυμένο παράδειγμα 1: Ξέρω τη διάμετρο 📝

Πρόβλημα: Ένας κύκλος έχει διάμετρο 3 εκ. Να υπολογίσετε το μήκος του.

Βήμα 1 — Γράφω τον τύπο:

Βήμα 2 — Βάζω τους αριθμούς. Ξέρω ότι $π = 3,14$ και $δ = 3$ εκ.:

Βήμα 3 — Κάνω τον πολλαπλασιασμό:

Απάντηση: Το μήκος του κύκλου είναι 9,42 εκ.

Λυμένο παράδειγμα 2: Ξέρω την ακτίνα 📝

Πρόβλημα: Να υπολογίσετε το μήκος ενός κύκλου με ακτίνα 3 εκ.

Βήμα 1 — Προσοχή! Ο τύπος θέλει τη διάμετρο, όχι την ακτίνα. Βρίσκω πρώτα τη διάμετρο:

Βήμα 2 — Τώρα εφαρμόζω τον τύπο:

Βήμα 3 — Υπολογίζω:

Απάντηση: Το μήκος του κύκλου είναι 18,84 εκ.

Λυμένο παράδειγμα 3: Το αντίστροφο πρόβλημα 🔙

Πρόβλημα: Να υπολογίσετε την ακτίνα ενός κύκλου που το μήκος του είναι 15,7 εκ.

Εδώ ξέρουμε το αποτέλεσμα και ψάχνουμε το μέγεθος. Θα δουλέψουμε αντίστροφα, με διαίρεση.

Βήμα 1 — Ξεκινώ από τον τύπο:

Ξέρω ότι $Μ = 15,7$ εκ., άρα:

Βήμα 2 — Για να βρω τη διάμετρο, κάνω τη διαίρεση:

Βήμα 3 — Έχω τη διάμετρο, αλλά μου ζητούν την ακτίνα. Διαιρώ τη διάμετρο διά δύο:

Απάντηση: Η ακτίνα του κύκλου είναι 2,5 εκ.

Λυμένο παράδειγμα 4: Η ρόδα του ποδηλάτου 🚲

Πρόβλημα: Η ρόδα ενός ποδηλάτου έχει διάμετρο 60 εκ. Πόσο δρόμο διανύει το ποδήλατο με μία πλήρη περιστροφή της ρόδας;

Σκέψη: Όταν η ρόδα κάνει μία πλήρη στροφή, το ποδήλατο προχωράει ακριβώς όσο είναι το μήκος του κύκλου της ρόδας — σαν να ξετύλιξε τη γραμμή του κύκλου πάνω στον δρόμο.

Βήμα 1:

Βήμα 2:

Απάντηση: Με μία πλήρη περιστροφή το ποδήλατο διανύει 188,4 εκ., δηλαδή σχεδόν 1 μέτρο και 90 εκατοστά.

Ερωτήσεις για σκέψη 🤔

Μπορούν δύο κύκλοι με διαφορετική ακτίνα να έχουν το ίδιο μήκος;
Όχι. Το μήκος υπολογίζεται με τον τύπο $Μ = 3,14 \times 2 \times ρ$. Αφού το 3,14 και το 2 είναι σταθερά, το μήκος εξαρτάται μόνο από την ακτίνα. Μεγαλύτερη ακτίνα δίνει πάντα μεγαλύτερο μήκος, μικρότερη ακτίνα δίνει μικρότερο. Άρα δύο κύκλοι με ίδιο μήκος έχουν αναγκαστικά και ίδια ακτίνα.

Πόσες ακτίνες και πόσες διαμέτρους έχει ένας κύκλος;
Άπειρες και τις δύο! Από το κέντρο μπορούμε να τραβήξουμε ακτίνα προς οποιοδήποτε από τα άπειρα σημεία του κύκλου. Το ίδιο και με τις διαμέτρους: κάθε ευθεία που περνάει από το κέντρο δίνει μία διάμετρο. Όλες οι ακτίνες είναι ίσες μεταξύ τους, και όλες οι διαμέτροι είναι επίσης ίσες μεταξύ τους.