Συμμετρία 🦋

Κοίταξε μια πεταλούδα. Το δεξί της φτερό είναι ίδιο με το αριστερό. Αν μπορούσες να τη διπλώσεις στη μέση, τα δύο φτερά θα έπεφταν το ένα ακριβώς πάνω στο άλλο. Αυτό λέγεται συμμετρία, και τη συναντάς παντού: σε πρόσωπα, σε φύλλα δέντρων, σε γράμματα, σε σήματα αυτοκινήτων.

Τι είναι ο άξονας συμμετρίας ✂️

Ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας μία ευθεία γραμμή, όταν μπορεί να χωριστεί σε δύο τμήματα, ώστε το ένα να συμπίπτει με το άλλο, διπλώνοντας το χαρτί κατά μήκος αυτής της γραμμής.

Η ευθεία αυτή ονομάζεται άξονας συμμετρίας του σχήματος.

Η λέξη συμπίπτω είναι το κλειδί: δεν φτάνει τα δύο κομμάτια να μοιάζουν λίγο. Πρέπει να ταιριάζουν τέλεια, χωρίς να περισσεύει ούτε ένα κομματάκι.

Πώς ελέγχουμε με δίπλωμα 📄

Ο πιο σίγουρος τρόπος να βρεις αν μια γραμμή είναι άξονας συμμετρίας είναι το δίπλωμα:

1ο βήμα: Σχεδιάζουμε το σχήμα σε χαρτί.

2ο βήμα: Διπλώνουμε το χαρτί ακριβώς πάνω στη γραμμή που υποψιαζόμαστε.

3ο βήμα: Κοιτάμε τα δύο μισά. Αν το ένα πέφτει ακριβώς πάνω στο άλλο και συμπίπτουν τέλεια, τότε η γραμμή είναι άξονας συμμετρίας.

4ο βήμα: Αν περισσεύει κάτι έστω και λίγο, ή αν τα δύο μισά δεν ταιριάζουν, τότε η γραμμή δεν είναι άξονας συμμετρίας.

Αν το σχήμα είναι σχεδιασμένο σε τετραγωνισμένο ή μιλιμετρέ χαρτί, μπορούμε να ελέγξουμε και μετρώντας τετραγωνάκια: για κάθε σημείο του σχήματος, μετράμε πόσα τετραγωνάκια απέχει από τη γραμμή. Αν στην άλλη μεριά υπάρχει σημείο στην ίδια ακριβώς απόσταση, τότε η γραμμή είναι άξονας συμμετρίας.

Πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα σχήμα; 🔢

Ένα σχήμα μπορεί να έχει κανέναν, έναν, δύο ή περισσότερους άξονες συμμετρίας. Δεν υπάρχει κανόνας που να ισχύει για όλα: κάθε σχήμα το ελέγχουμε ξεχωριστά.

Ας δούμε τα βασικά σχήματα:

Γιατί το ορθογώνιο έχει μόνο δύο και όχι τέσσερις

Πολλά παιδιά νομίζουν ότι και οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι άξονες συμμετρίας. Δεν είναι! Αν διπλώσεις ένα ορθογώνιο κατά μήκος της διαγωνίου του, τα δύο μισά δεν συμπίπτουν: το ένα «ξεφεύγει» από το άλλο. Στο τετράγωνο συμπίπτουν, γιατί εκεί όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Το συμμετρικό ενός σχήματος ως προς άξονα 🪞

Μέχρι τώρα ψάχναμε αν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας. Τώρα κάνουμε το αντίστροφο: έχουμε ένα σχήμα και μια ευθεία, και θέλουμε να φτιάξουμε το «καθρεφτισμένο» του.

Μπορούμε να βρούμε το συμμετρικό ενός σχήματος ως προς κάποια ευθεία, που την ονομάζουμε άξονα συμμετρίας, όταν διπλώσουμε το χαρτί κατά μήκος της ευθείας αυτής.

Ο βασικός κανόνας που κάνει τη δουλειά:

Τα συμμετρικά σημεία απέχουν το ίδιο από τον άξονα συμμετρίας.

Δηλαδή αν ένα σημείο απέχει 3 τετραγωνάκια από τον άξονα, το συμμετρικό του θα απέχει επίσης 3 τετραγωνάκια, αλλά από την άλλη μεριά.

Λυμένο παράδειγμα: Σχεδιάζω το συμμετρικό σχήμα ✏️

Έχουμε ένα σχήμα ΑΒΓΔ και μια ευθεία που θα είναι ο άξονας συμμετρίας. Θέλουμε να σχεδιάσουμε το συμμετρικό του.

α. Η ιδέα με το δίπλωμα
Αν διπλώσουμε το χαρτί κατά μήκος της ευθείας, το σχήμα ΑΒΓΔ θα αποτυπωθεί στην άλλη μεριά. Το νέο σχήμα που προκύπτει το ονομάζουμε ΕΖΗΘ. Τα συμμετρικά σημεία των Α, Β, Γ, Δ είναι αντίστοιχα τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ. Με τη δίπλωση γίνεται φανερό ότι τα συμμετρικά σημεία απέχουν το ίδιο από τον άξονα.

β. Η ακριβής μέθοδος, σημείο προς σημείο
Δουλεύουμε με κάθε κορυφή χωριστά:

1. Ξεκινάμε από το σημείο Α. Βρίσκουμε την απόσταση του Α από τον άξονα, δηλαδή το κάθετο τμήμα από το Α προς την ευθεία. Σε τετραγωνισμένο χαρτί, απλώς μετράμε τετραγωνάκια.
2. Περνάμε στην άλλη μεριά του άξονα και μετράμε την ίδια ακριβώς απόσταση, πάνω στην ίδια κάθετη γραμμή.
3. Εκεί σημειώνουμε το σημείο Ε. Αυτό είναι το συμμετρικό του Α.
4. Επαναλαμβάνουμε ακριβώς την ίδια διαδικασία για τα σημεία Β, Γ και Δ, βρίσκοντας τα Ζ, Η και Θ.

γ. Ενώνουμε
Ενώνουμε τα σημεία Ε, Ζ, Η, Θ με τη σειρά, όπως ήταν ενωμένα και τα Α, Β, Γ, Δ. Το σχήμα ΕΖΗΘ που προκύπτει είναι το συμμετρικό του ΑΒΓΔ ως προς την ευθεία, που είναι ο άξονας συμμετρίας.

Τι αλλάζει αν ο άξονας κόβει το σχήμα 🔄

Ο άξονας συμμετρίας μπορεί να βρίσκεται σε δύο θέσεις σε σχέση με το αρχικό σχήμα:

• Ο άξονας βρίσκεται έξω από το σχήμα: το συμμετρικό σχήμα εμφανίζεται ολόκληρο στην άλλη μεριά, χωριστά από το αρχικό. Όσο πιο μακριά είναι ο άξονας, τόσο πιο μακριά πέφτει το είδωλο.
• Ο άξονας κόβει το σχήμα: τότε τα δύο σχήματα, το αρχικό και το συμμετρικό του, έχουν κοινό κομμάτι — επικαλύπτονται εκεί που περνάει ο άξονας.

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε διαδοχικά άξονες συμμετρίας: παίρνουμε το συμμετρικό ενός σχήματος, μετά το συμμετρικό του νέου σχήματος ως προς έναν άλλο άξονα, και ούτω καθεξής. Έτσι μετακινούμε ένα σχήμα από τη μια θέση στην άλλη με διαδοχικά «καθρεφτίσματα».

Συμμετρία στα τρίγωνα 🔺

Ας απαντήσουμε σε τρεις ερωτήσεις που μας βοηθούν να καταλάβουμε καλύτερα:

Ποια κορυφή ισοσκελούς τριγώνου βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας του;
Η κορυφή που σχηματίζεται από τις δύο ίσες πλευρές. Ο μοναδικός άξονας συμμετρίας του ισοσκελούς τριγώνου ξεκινά από αυτή την κορυφή και φτάνει στο μέσο της τρίτης πλευράς, της βάσης.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να έχει άξονα συμμετρίας;
Ναι, αλλά μόνο αν είναι και ισοσκελές, δηλαδή αν οι δύο κάθετες πλευρές του είναι ίσες. Τότε έχει έναν άξονα συμμετρίας, που ξεκινά από την κορυφή της ορθής γωνίας. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με άνισες κάθετες πλευρές δεν έχει κανέναν άξονα συμμετρίας.

Οι άξονες συμμετρίας ενός ισόπλευρου τριγώνου τι άλλο είναι στο τρίγωνο;
Είναι ταυτόχρονα και τα ύψη του! Καθένας από τους τρεις άξονες ξεκινά από μια κορυφή και πέφτει κάθετα στο μέσο της απέναντι πλευράς — που είναι ακριβώς ο ορισμός του ύψους.