Καθετότητα και ύψη τριγώνου 📐

Φαντάσου ότι στέκεσαι σε μια πλατεία και θέλεις να φτάσεις σε έναν δρόμο. Ποια διαδρομή θα διαλέξεις; Τη συντομότερη, φυσικά. Αυτό ακριβώς μελετάμε σήμερα: ποια είναι η πιο σύντομη διαδρομή από ένα σημείο προς μια ευθεία, και πώς αυτή η ιδέα μάς δίνει τα ύψη ενός τριγώνου.

Πότε δύο ευθείες είναι κάθετες ✖️

Κάθετες ονομάζονται δύο ευθείες που τέμνονται, έτσι ώστε να σχηματίζουν γωνία 90°.

Η γωνία των 90° λέγεται ορθή γωνία. Τη βλέπεις παντού γύρω σου: στη γωνία του θρανίου, στη γωνία της κόλλας χαρτιού, στη γωνία ενός βιβλίου.

Πώς το γράφουμε: $α \perp β$
Πώς το διαβάζουμε: «η ευθεία α είναι κάθετη στην ευθεία β».

Πρόσεξε ότι η καθετότητα λειτουργεί και προς τις δύο κατευθύνσεις: αν η α είναι κάθετη στη β, τότε και η β είναι κάθετη στην α.

Πώς σχεδιάζουμε κάθετες ευθείες

Για να σχεδιάσουμε κάθετες ευθείες χρησιμοποιούμε τον γνώμονα:

1. Ακουμπάμε τη μία πλευρά της ορθής γωνίας του γνώμονα πάνω στην ευθεία που έχουμε ήδη.
2. Σύρουμε τον γνώμονα πάνω στην ευθεία, μέχρι να φτάσουμε στο σημείο που θέλουμε.
3. Χαράζουμε τη γραμμή κατά μήκος της άλλης πλευράς της ορθής γωνίας.

Η γραμμή που χαράξαμε είναι κάθετη στην πρώτη.

Η απόσταση σημείου από ευθεία 🚶

Το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από ένα σημείο και τέμνει κάθετα μια ευθεία ονομάζεται απόσταση του σημείου από την ευθεία.

Και εδώ είναι το σημαντικό: η απόσταση αυτή είναι η πιο σύντομη διαδρομή που ενώνει το σημείο με την ευθεία. Όσες άλλες γραμμές κι αν τραβήξεις από το σημείο προς την ευθεία, όλες θα είναι μεγαλύτερες. Μόνο η κάθετη είναι η πιο κοντινή.

Ευθύγραμμο τμήμα είναι ένα τμήμα μιας ευθείας που έχει δύο σημεία για άκρα.

Παράδειγμα από τη ζωή

Στέκεσαι στη στάση του λεωφορείου και θέλεις να φτάσεις σε έναν δρόμο. Αν πάρεις μια λοξή διαδρομή, θα περπατήσεις περισσότερο. Αν πας «ίσια», δηλαδή κάθετα προς τον δρόμο, θα κάνεις τη μικρότερη διαδρομή. Γι' αυτό, όταν μας ρωτούν «πόσο απέχει το σημείο Α από την ευθεία;», εννοούν πάντα το κάθετο τμήμα.

Πώς βρίσκουμε την απόσταση, βήμα βήμα

1. Βάζουμε τον γνώμονα με τη μία πλευρά της ορθής γωνίας του πάνω στην ευθεία.
2. Τον σύρουμε μέχρι η άλλη πλευρά της ορθής γωνίας να περνάει από το σημείο Α.
3. Χαράζουμε το τμήμα από το Α μέχρι την ευθεία. Το σημείο όπου το τμήμα συναντά την ευθεία το ονομάζουμε Δ.
4. Μετράμε με τον χάρακα το τμήμα ΑΔ. Αυτό είναι η απόσταση του Α από την ευθεία.

Τι είναι το ύψος ενός τριγώνου 📏

Το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή ενός τριγώνου και είναι κάθετο στην απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος του τριγώνου.

Με άλλα λόγια, το ύψος είναι η απόσταση της κορυφής από την απέναντι πλευρά. Είναι η ίδια ιδέα με πριν, μόνο που τώρα το σημείο είναι κορυφή τριγώνου και η ευθεία είναι η απέναντι πλευρά του.

Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές. Από την καθεμία μπορούμε να φέρουμε ένα κάθετο τμήμα προς την απέναντι πλευρά. Άρα:

Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.

Και κάτι ακόμα πιο ωραίο: τα τρία ύψη ενός τριγώνου διέρχονται όλα από το ίδιο σημείο. Όσο κι αν αλλάξεις το σχήμα του τριγώνου, τα τρία ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) πάντα θα συναντηθούν σε ένα και μοναδικό σημείο.

Σε ένα τρίγωνο ΔΕΖ, τα τρία ύψη είναι τα ΔΨ, ΕΧ και ΖΦ, και ισχύει:

• $ΔΨ \perp ΕΖ$ — το ύψος από την κορυφή Δ πέφτει κάθετα στην πλευρά ΕΖ
• $ΕΧ \perp ΔΖ$ — το ύψος από την κορυφή Ε πέφτει κάθετα στην πλευρά ΔΖ
• $ΖΦ \perp ΔΕ$ — το ύψος από την κορυφή Ζ πέφτει κάθετα στην πλευρά ΔΕ

Πώς χαράζουμε ένα ύψος με τον γνώμονα 🛠️

Ας πούμε ότι έχουμε τρίγωνο ΑΒΓ και θέλουμε το ύψος από την κορυφή Α:

1ο βήμα: Βρίσκουμε ποια πλευρά είναι απέναντι από την κορυφή Α. Είναι η ΒΓ, δηλαδή η πλευρά που δεν περνάει από το Α.

2ο βήμα: Ακουμπάμε τη μία πλευρά της ορθής γωνίας του γνώμονα πάνω στην πλευρά ΒΓ.

3ο βήμα: Σύρουμε τον γνώμονα κατά μήκος της ΒΓ, μέχρι η άλλη πλευρά της ορθής γωνίας να περάσει ακριβώς από την κορυφή Α.

4ο βήμα: Χαράζουμε το τμήμα από το Α μέχρι την πλευρά ΒΓ. Το σημείο όπου το τμήμα συναντά τη ΒΓ το ονομάζουμε, για παράδειγμα, Δ.

5ο βήμα: Το τμήμα ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α, και ισχύει $ΑΔ \perp ΒΓ$.

Επαναλαμβάνουμε τα ίδια βήματα για τις κορυφές Β και Γ, και έχουμε και τα τρία ύψη.

Τα ύψη στα διάφορα είδη τριγώνων 🔺

Ανάλογα με τις γωνίες του τριγώνου, τα ύψη συμπεριφέρονται λίγο διαφορετικά.

Στο οξυγώνιο τρίγωνο

Το οξυγώνιο τρίγωνο έχει και τα τρία ύψη του μέσα στο τρίγωνο. Το σημείο όπου συναντιούνται βρίσκεται κι αυτό μέσα στο τρίγωνο.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

Το ορθογώνιο τρίγωνο κρύβει μια έκπληξη: δύο από τα ύψη του είναι ήδη σχεδιασμένα! Είναι οι δύο πλευρές που σχηματίζουν την ορθή γωνία. Και γιατί; Επειδή αυτές οι δύο πλευρές είναι ήδη κάθετες μεταξύ τους, άρα η καθεμία είναι το ύψος που ξεκινά από τη μία κορυφή και πέφτει κάθετα στην άλλη.

Το τρίτο ύψος το φέρνουμε κανονικά με τον γνώμονα, από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την απέναντι πλευρά.

Το σημείο όπου συναντιούνται και τα τρία ύψη είναι ακριβώς η κορυφή της ορθής γωνίας.

Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο

Το αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι η πιο δύσκολη περίπτωση. Εδώ, δύο από τα ύψη δεν χωράνε μέσα στο τρίγωνο. Για να τα σχεδιάσουμε, χρειάζεται να προεκτείνουμε τις πλευρές.

Το σημείο όπου συναντιούνται τα τρία ύψη βρίσκεται εκτός του τριγώνου.

Λυμένο παράδειγμα: Τα ύψη αμβλυγώνιου τριγώνου 🧠

Έχουμε τρίγωνο ΑΒΓ που είναι αμβλυγώνιο, με την αμβλεία γωνία στην κορυφή Α. Θέλουμε να κατασκευάσουμε τα τρία ύψη και να βρούμε πού τέμνονται.

Βήμα 1 — Το ύψος από την κορυφή Α: Η απέναντι πλευρά είναι η ΒΓ. Το ύψος αυτό πέφτει κανονικά μέσα στο τρίγωνο. Το χαράζουμε με τον γνώμονα, όπως συνήθως.

Βήμα 2 — Το ύψος ΒΕ από την κορυφή Β: Η απέναντι πλευρά είναι η ΑΓ. Όταν πάμε να φέρουμε το κάθετο τμήμα από το Β, παρατηρούμε ότι δεν συναντά την πλευρά ΑΓ μέσα στο τρίγωνο. Χρειάζεται να προεκτείνουμε την ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται η ΑΓ. Το ύψος ΒΕ πέφτει κάθετα σε αυτή την προέκταση, έξω από το τρίγωνο.

Βήμα 3 — Το ύψος ΓΖ από την κορυφή Γ: Δουλεύουμε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Η απέναντι πλευρά είναι η ΑΒ. Προεκτείνουμε την ευθεία της ΑΒ και φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΓΖ.

Βήμα 4 — Το σημείο τομής: Προεκτείνουμε και τα τρία ύψη. Παρατηρούμε ότι συναντιούνται σε ένα σημείο, το οποίο βρίσκεται εκτός του τριγώνου.