Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες 🔺

Όλα τα τρίγωνα έχουν τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Και όμως, άλλο μοιάζει ένα τρίγωνο μυτερό σαν βουνοκορφή και άλλο ένα τρίγωνο πλατύ και απλωμένο. Η διαφορά κρύβεται στις γωνίες τους — και αυτή ακριβώς τη διαφορά θα μάθουμε να ονομάζουμε.

Τι ξέρουμε για κάθε τρίγωνο 📐

Ξεκινάμε από τρία πράγματα που ισχύουν για όλα τα τρίγωνα, χωρίς καμία εξαίρεση:

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις γωνίες και τρεις πλευρές.
Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°.
Κάθε τρίγωνο έχει τουλάχιστον δύο οξείες γωνίες.

Το δεύτερο είναι ο πιο χρήσιμος κανόνας ολόκληρου του μαθήματος. Αν οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου λέγονται $\widehat{θ}$ , $\widehat{φ}$ και $\widehat{ω}$ , τότε πάντα:

\widehat{θ} + \widehat{φ} + \widehat{ω} = 180°

Δεν έχει σημασία αν το τρίγωνο είναι τεράστιο ή μικροσκοπικό, μυτερό ή πλατύ. Το άθροισμα βγαίνει πάντα 180°.

Ένα πείραμα με ψαλίδι

Σχεδίασε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο σε χαρτόνι και κόψε το. Ύστερα κόψε και τις τρεις γωνίες του και τοποθέτησέ τις τη μία δίπλα στην άλλη, με τις κορυφές τους να ακουμπάνε στο ίδιο σημείο. Θα δεις ότι σχηματίζουν μια τέλεια ίσια γραμμή — δηλαδή μια ευθεία γωνία 180°. Δοκίμασέ το με όποιο τρίγωνο θέλεις: βγαίνει πάντα το ίδιο.

Θυμόμαστε τα είδη των γωνιών 📏

Πριν προχωρήσουμε, ας ξαναδούμε πώς λέγονται οι γωνίες ανάλογα με τις μοίρες τους:

Γωνία	Μοίρες
οξεία	μικρότερη από 90°
ορθή	ακριβώς 90°
αμβλεία	μεγαλύτερη από 90°

Άλλο η γωνία, άλλο το τρίγωνο!

Η γωνία λέγεται οξεία, ορθή ή αμβλεία. Το τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. Ποτέ δεν λέμε «ορθή τρίγωνο» ούτε «ορθογώνια γωνία». Πρόσεξε την κατάληξη: οι λέξεις που τελειώνουν σε -γώνιο χαρακτηρίζουν τρίγωνα, γιατί κρύβουν μέσα τους τη λέξη «γωνία».

Τα τρία είδη τριγώνων 🔻

Κάθε τρίγωνο ανήκει σε μία μόνο από τις παρακάτω ομάδες:

Είδος τριγώνου	Τι γωνίες περιέχει
Οξυγώνιο	και τις τρεις γωνίες του οξείες
Ορθογώνιο	μία ορθή γωνία (και δύο οξείες)
Αμβλυγώνιο	μία αμβλεία γωνία (και δύο οξείες)

Το οξυγώνιο τρίγωνο

Στο οξυγώνιο τρίγωνο και οι τρεις γωνίες είναι μικρότερες από 90°. Παράδειγμα: ένα τρίγωνο με γωνίες 80°, 65° και 35°.

Έλεγχος: $80 + 65 + 35 = 180$ ✓ και καμία γωνία δεν φτάνει τις 90°.

Το ορθογώνιο τρίγωνο

Στο ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία είναι ακριβώς 90°. Παράδειγμα: ένα τρίγωνο με γωνίες 90°, 75° και 15°.

Έλεγχος: $90 + 75 + 15 = 180$ ✓ και υπάρχει μία ορθή γωνία.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο το φτιάχνεις εύκολα κόβοντας μια κόλλα Α4 από τη μία γωνιά της στην απέναντι.

Το αμβλυγώνιο τρίγωνο

Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο μία γωνία είναι μεγαλύτερη από 90°. Παράδειγμα: ένα τρίγωνο με γωνίες 114°, 33° και 33°.

Έλεγχος: $114 + 33 + 33 = 180$ ✓ και υπάρχει μία αμβλεία γωνία.

Γιατί κάθε τρίγωνο έχει τουλάχιστον δύο οξείες γωνίες 🤔

Αυτό δεν είναι τυχαίο. Βγαίνει κατευθείαν από τον κανόνα των 180°.

Σκέψου. Ας υποθέσουμε ότι ένα τρίγωνο είχε δύο γωνίες που δεν είναι οξείες. Τότε καθεμία τους θα ήταν τουλάχιστον 90°, οπότε μόνο αυτές οι δύο θα έδιναν άθροισμα τουλάχιστον:

90° + 90° = 180°

Όμως το άθροισμα και των τριών γωνιών πρέπει να είναι ακριβώς 180°. Άρα για την τρίτη γωνία δεν θα έμενε τίποτα — θα ήταν 0°, δηλαδή δεν θα υπήρχε γωνία και δεν θα είχαμε τρίγωνο.

Συμπέρασμα: Το πολύ μία γωνία ενός τριγώνου μπορεί να είναι ορθή ή αμβλεία. Οι άλλες δύο είναι υποχρεωτικά οξείες.

Δεν υπάρχει τρίγωνο με δύο αμβλείες γωνίες

Ούτε με δύο ορθές, ούτε με μία ορθή και μία αμβλεία. Θα ξεπερνούσαν μόνες τους τις 180° ή θα τις έφταναν ακριβώς, χωρίς να μείνει τίποτα για την τρίτη γωνία. Γι' αυτό ακριβώς κάθε τρίγωνο ανήκει σε μία μόνο από τις τρεις ομάδες.

Πώς αναγνωρίζω το είδος ενός τριγώνου 🔍

Ακολούθησε αυτά τα βήματα, με τη σειρά:

1ο βήμα. Κοίτα τις τρεις γωνίες και βρες τη μεγαλύτερη από αυτές.

2ο βήμα. Σύγκρινέ τη με τις 90°:

Η μεγαλύτερη γωνία είναι	Το τρίγωνο είναι
μικρότερη από 90°	οξυγώνιο
ακριβώς 90°	ορθογώνιο
μεγαλύτερη από 90°	αμβλυγώνιο

Δεν χρειάζεται να κοιτάξεις τις άλλες δύο γωνίες: ξέρουμε ήδη ότι θα είναι οξείες.

Λυμένα παραδείγματα 💡

Παράδειγμα 1 — Τρία τρίγωνα, τρία είδη

Να βρεθεί το είδος καθενός τριγώνου από τις μοίρες των γωνιών του:
α. 80°, 65°, 35° β. 90°, 75°, 15° γ. 114°, 33°, 33°

α. Η μεγαλύτερη γωνία είναι 80°, που είναι μικρότερη από 90°. Άρα και οι τρεις είναι οξείες και το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

β. Η μεγαλύτερη γωνία είναι 90°, δηλαδή ορθή. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

γ. Η μεγαλύτερη γωνία είναι 114°, που ξεπερνάει τις 90°. Είναι αμβλεία, άρα το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

Και στις τρεις περιπτώσεις το άθροισμα βγαίνει 180°:
$80+65+35=180$ , $90+75+15=180$ , $114+33+33=180$ .

Παράδειγμα 2 — Βρίσκω τη γωνία που λείπει

Ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες 45° και 60°. Πόσες μοίρες είναι η τρίτη και τι είδους τρίγωνο είναι;

1ο βήμα. Προσθέτω τις δύο γωνίες που ξέρω:

45° + 60° = 105°

2ο βήμα. Αφαιρώ από τις 180°, γιατί τόσο πρέπει να είναι το άθροισμα και των τριών:

180° - 105° = 75°

3ο βήμα. Βρίσκω το είδος. Οι γωνίες είναι 45°, 60° και 75°. Η μεγαλύτερη είναι 75°, μικρότερη από 90°.

Απάντηση: Η τρίτη γωνία είναι 75° και το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

Παράδειγμα 3 — Ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία γωνία 40°. Πόσες μοίρες είναι η τρίτη του γωνία;

1ο βήμα. Επειδή είναι ορθογώνιο, ξέρω ότι μία γωνία του είναι 90°.

2ο βήμα. Προσθέτω τις δύο γνωστές:

90° + 40° = 130°

3ο βήμα. Αφαιρώ από τις 180°:

180° - 130° = 50°

Απάντηση: Η τρίτη γωνία είναι 50°.

Πρόσεξε ότι $40° + 50° = 90°$ . Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, οι δύο οξείες γωνίες μαζί κάνουν πάντα 90°, αφού η ορθή έχει ήδη πάρει τις μισές από τις 180°.

Γιατί οι μετρήσεις μας δεν βγαίνουν πάντα ακριβώς 180° 📊

Αν μετρήσεις με το μοιρογνωμόνιο τις γωνίες ενός τριγώνου που σχεδίασες, μπορεί να βρεις άθροισμα 179° ή 181° αντί για 180°. Δεν χάλασε ο κανόνας.

Ο λόγος είναι απλός: κάθε μέτρηση έχει μια μικρή ανακρίβεια. Οι γραμμές του μολυβιού έχουν πάχος, το μοιρογνωμόνιο δεν κάθεται ποτέ τελείως τέλεια πάνω στην κορυφή, και το μάτι μας διαβάζει τη χαρακιά με μια απόκλιση μιας μοίρας.

Ο τρόπος να πειστούμε με σιγουριά είναι το πείραμα με το κόψιμο των γωνιών και την τοποθέτησή τους δίπλα-δίπλα: εκεί βλέπουμε ότι σχηματίζουν πάντα ευθεία γωνία, όποιο τρίγωνο κι αν διαλέξουμε.