Μέτρηση γωνιών 🧮
Ξέρεις πια να λες αν μια γωνία είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία. Όμως αυτό δεν αρκεί πάντα. Δύο οξείες γωνίες μπορεί να είναι πολύ διαφορετικές μεταξύ τους. Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο να πούμε πόσο ακριβώς ανοίγει μια γωνία — με αριθμό.
Τα μέρη της γωνίας 📍
Κάθε γωνία έχει:
- δύο πλευρές
- μία κορυφή
Η κορυφή είναι το σημείο απ' όπου ξεκινούν και οι δύο πλευρές. Όσο μεγάλες ή μικρές κι αν είναι οι πλευρές, η κορυφή είναι πάντα μία.
Πώς ονομάζουμε μια γωνία ✏️
Υπάρχουν δύο τρόποι να δώσουμε όνομα σε μια γωνία, και ο καθένας βολεύει σε διαφορετική περίπτωση.
1ος τρόπος: με ένα μικρό γράμμα
Γράφουμε ένα μικρό γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου στο εσωτερικό της γωνίας, ανάμεσα στις πλευρές της. Συνήθως χρησιμοποιούμε τα γράμματα , , , , , .
Πάνω από το γράμμα βάζουμε το ειδικό σύμβολο της γωνίας, το «καπελάκι»:
Διαβάζουμε: «γωνία ωμέγα».
2ος τρόπος: με τρία κεφαλαία γράμματα
Ονομάζουμε με κεφαλαία γράμματα τα τρία σημεία: ένα σημείο πάνω στη μία πλευρά, την κορυφή, και ένα σημείο πάνω στην άλλη πλευρά. Ύστερα τα γράφουμε στη σειρά, με το καπελάκι πάνω από το μεσαίο:
Διαβάζουμε: «γωνία Α Βήτα Γάμα».
Στη γραφή , το Β είναι η κορυφή της γωνίας — γι' αυτό και το καπελάκι μπαίνει πάνω του. Αν γράψεις , μιλάς για άλλη γωνία, με κορυφή το Α. Το γράμμα στη μέση δεν είναι ποτέ τυχαίο.
Οι μοίρες και ο κύκλος 🔄
Μετράμε τη γωνία σε μοίρες. Το σύμβολό τους είναι ένα μικρό κυκλάκι ψηλά: °. Γράφουμε π.χ. 45° και διαβάζουμε «σαράντα πέντε μοίρες».
Από πού βγήκαν οι μοίρες; Από τον κύκλο. Οι μαθηματικοί χώρισαν τον κύκλο σε 360 ίσα μέρη, και κάθε ένα από αυτά το ονόμασαν μία μοίρα.
Από αυτόν τον αριθμό προκύπτουν όλες οι υπόλοιπες σημαντικές γωνίες:
| Γωνία | Μοίρες | Πόσο μέρος του κύκλου |
|---|---|---|
| ολόκληρος κύκλος | 360° | το όλον |
| ευθεία γωνία | 180° | το μισό |
| ορθή γωνία | 90° | το ένα τέταρτο |
| μισή ορθή | 45° | το ένα όγδοο |
Δηλαδή:
Τον αριθμό 360 τον διάλεξαν πριν από χιλιάδες χρόνια οι Βαβυλώνιοι. Το 360 έχει πάρα πολλούς διαιρέτες — διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3, το 4, το 5, το 6, το 8, το 9, το 10, το 12 και πολλούς ακόμη. Έτσι, ο κύκλος μοιράζεται σε ίσα κομμάτια χωρίς να προκύπτουν δεκαδικοί.
Οι γωνίες που πρέπει να ξέρεις απ' έξω 📌
| Είδος γωνίας | Μοίρες |
|---|---|
| Οξεία | μικρότερη από 90° |
| Ορθή | ακριβώς 90° |
| Αμβλεία | μεγαλύτερη από 90° και μικρότερη από 180° |
| Ευθεία | ακριβώς 180° |
Το μοιρογνωμόνιο 📐
Το όργανο με το οποίο μετράμε τις γωνίες λέγεται μοιρογνωμόνιο.
Έχει σχήμα ημικυκλίου και στην καμπύλη του πλευρά είναι χαραγμένες οι μοίρες, από 0° έως 180°. Στη μέση της ίσιας πλευράς του υπάρχει ένα σημάδι, το κέντρο, που δείχνει πού πρέπει να μπει η κορυφή της γωνίας.
Τα περισσότερα μοιρογνωμόνια έχουν δύο κλίμακες: μία που ξεκινάει από τα αριστερά και μία που ξεκινάει από τα δεξιά. Αυτό βοηθάει ώστε να μετράς εύκολα και από τις δύο μεριές.
Πώς μετράμε μια γωνία βήμα-βήμα
1ο βήμα. Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμονίου ακριβώς πάνω στην κορυφή της γωνίας.
2ο βήμα. Γυρίζουμε το μοιρογνωμόνιο ώστε η μία πλευρά της γωνίας να περνάει από την ένδειξη 0 μιας κλίμακας.
3ο βήμα. Κοιτάμε πού συναντάει η άλλη πλευρά την κλίμακα.
4ο βήμα. Διαβάζουμε τον αριθμό — αλλά από την ίδια κλίμακα στην οποία βρήκαμε το 0.
Αν η μία πλευρά περνάει από το 0 της εξωτερικής κλίμακας, πρέπει να διαβάσεις το αποτέλεσμα κι αυτό στην εξωτερική κλίμακα. Αν μπερδέψεις τις κλίμακες, θα δεις δύο αριθμούς που μαζί κάνουν 180°, όπως 50° και 130°, και θα διαλέξεις τον λάθος. Ένα γρήγορο τεστ: αν η γωνία φαίνεται οξεία, η απάντηση πρέπει να είναι μικρότερη από 90°. Αν φαίνεται αμβλεία, μεγαλύτερη από 90°.
Πώς κατασκευάζουμε μια γωνία 70° βήμα-βήμα
1ο βήμα. Με τον γνώμονα ή τον χάρακα σχεδιάζουμε τη μία πλευρά της γωνίας. Σημειώνουμε την κορυφή Ο και ένα σημείο Α πάνω στην πλευρά.
2ο βήμα. Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμονίου πάνω στην κορυφή Ο.
3ο βήμα. Φροντίζουμε ώστε η πλευρά ΟΑ να περνάει από την ένδειξη 0 της κλίμακας.
4ο βήμα. Μετράμε πάνω στην ίδια κλίμακα που έχει το 0 που χρησιμοποιήσαμε. Βρίσκουμε την ένδειξη 70° και βάζουμε εκεί ένα σημείο Β.
5ο βήμα. Σχεδιάζουμε τη δεύτερη πλευρά, ενώνοντας το σημείο Β με την κορυφή Ο.
6ο βήμα. Η γωνία που κατασκευάσαμε είναι 70°.
Άλλοι τρόποι να συγκρίνουμε γωνίες ⚖️
Πριν από το μοιρογνωμόνιο, υπάρχουν και πιο απλοί τρόποι για να δούμε ποια από δύο γωνίες είναι μεγαλύτερη.
Με διαφανές χαρτί
Ξεσηκώνουμε τη μία γωνία πάνω σε διαφανές χαρτί και ύστερα τη βάζουμε πάνω στην άλλη, ταιριάζοντας κορυφή με κορυφή και μία πλευρά με μία πλευρά. Όποιας γωνίας η δεύτερη πλευρά μένει έξω, εκείνη είναι η μεγαλύτερη.
Με έναν κύκλο χωρισμένο σε ίσα μέρη
Παίρνουμε έναν κύκλο χωρισμένο σε ίσα κομμάτια και μετράμε σε πόσα κομμάτια αντιστοιχεί το άνοιγμα κάθε γωνίας. Όσο περισσότερα κομμάτια, τόσο μεγαλύτερη η γωνία.
Και εδώ υπάρχει ένα σπουδαίο συμπέρασμα: το μέγεθος του κύκλου δεν έχει καμία σημασία. Αν μετρήσουμε την ίδια γωνία με έναν μικρό ή έναν μεγάλο κύκλο, θα βρούμε πάντα τον ίδιο αριθμό κομματιών, αρκεί ο κύκλος να είναι χωρισμένος στα ίδια ίσα μέρη.
Το μοιρογνωμόνιο είναι στην ουσία ένας μισός κύκλος χωρισμένος σε 180 ίσα κομματάκια. Κάθε κομματάκι είναι μία μοίρα. Ό,τι κάναμε με τα κομμάτια του χάρτινου κύκλου, το κάνει αυτό με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια.
Λυμένα παραδείγματα 💡
Παράδειγμα 1 — Δύο διαφορετικές απαντήσεις
Δύο μαθήτριες μέτρησαν την ίδια γωνία με το μοιρογνωμόνιο. Η μία είπε ότι είναι 130° και η άλλη 50°. Ποιο λάθος έγινε;
Σκέψη. Παρατηρώ ότι:
Αυτό δεν είναι τυχαίο. Είναι το χαρακτηριστικό σημάδι ότι κάποια από τις δύο διάβασε τη λάθος κλίμακα του μοιρογνωμονίου.
Απάντηση. Η μία μαθήτρια χρησιμοποίησε τη μία κλίμακα για να ευθυγραμμίσει την πλευρά στο 0 και διάβασε το αποτέλεσμα από την άλλη. Για να δούμε ποια έχει δίκιο, αρκεί να κοιτάξουμε τη γωνία: αν είναι οξεία, σωστή είναι η απάντηση των 50°· αν είναι αμβλεία, σωστή είναι η απάντηση των 130°.
Παράδειγμα 2 — Οι πλευρές στην ίδια ευθεία
Οι πλευρές μιας γωνίας βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Πόσες μοίρες είναι η γωνία;
Σκέψη. Αν οι δύο πλευρές είναι πάνω στην ίδια ευθεία και ξεκινούν από την ίδια κορυφή προς αντίθετες κατευθύνσεις, το άνοιγμά τους είναι το μισό του κύκλου.
Απάντηση. Η γωνία είναι ευθεία και μετράει 180°.
Παράδειγμα 3 — Ονομάζω μια γωνία με δύο τρόπους
Μια γωνία έχει κορυφή το σημείο Ο, με ένα σημείο Κ πάνω στη μία πλευρά και ένα σημείο Λ πάνω στην άλλη. Πώς την ονομάζω;
Με τρία κεφαλαία: — προσοχή, το Ο στη μέση, γιατί είναι η κορυφή. Θα ήταν εξίσου σωστό και το , αφού και εκεί το Ο μένει στη μέση.
Με μικρό γράμμα: γράφω π.χ. ένα στο εσωτερικό της και τη λέω .