Επανάληψη 6ης Ενότητας 🎯

Η έκτη ενότητα μάς έμαθε τρία πράγματα που φαίνονται ξεχωριστά αλλά συνδέονται μεταξύ τους: τους αρνητικούς αριθμούς, τα μοτίβα και τις ισότητες με τις ανισότητες. Και τα τρία μιλάνε για την ίδια βαθιά ιδέα: ότι οι αριθμοί έχουν τάξη και ότι αυτή η τάξη μάς επιτρέπει να προβλέπουμε.

Σε αυτά τα κεφάλαια έμαθα:

• να επεκτείνω την αριθμογραμμή και να τοποθετώ σε αυτήν τους αρνητικούς αριθμούς,
• να συγκρίνω και να διατάσσω ακέραιους αριθμούς,
• να αναγνωρίζω, να περιγράφω και να επεκτείνω αριθμητικά και γεωμετρικά μοτίβα,
• να διερευνώ και να συμπληρώνω ισότητες και ανισότητες με τον κατάλληλο αριθμό.

Μέρος Α: Οι αρνητικοί αριθμοί 🌡️

Πού τους συναντάμε

Οι αρνητικοί αριθμοί έχουν μπροστά το σύμβολο «−» και δείχνουν καταστάσεις κάτω από ένα σημείο αναφοράς, το μηδέν.

Η αριθμογραμμή

Βάζουμε το 0 στη μέση. Δεξιά μπαίνουν οι φυσικοί αριθμοί, αριστερά οι αρνητικοί, όλοι σε ίσες αποστάσεις:

Οι φυσικοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς λέγονται ακέραιοι αριθμοί.

Σύγκριση και διάταξη

Ένας κανόνας τα λύνει όλα: όσο πιο δεξιά βρίσκεται ένας αριθμός, τόσο πιο μεγάλος είναι.

• Κάθε αρνητικός είναι μικρότερος από το 0.
• Κάθε θετικός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό.
• Ανάμεσα σε δύο αρνητικούς, μεγαλύτερος είναι ο πιο κοντινός στο μηδέν.

Παράδειγμα διάταξης: $-7 < -4 < -1 < 0 < 3 < 5$.

Αντίθετοι αριθμοί

Δύο αριθμοί που απέχουν την ίδια απόσταση από το μηδέν, ο ένας δεξιά και ο άλλος αριστερά, λέγονται αντίθετοι: το $7$ και το $-7$, το $12$ και το $-12$. Στη μέση της απόστασής τους βρίσκεται πάντα το 0.

Λυμένο πρόβλημα: οι πόντοι στο παιχνίδι

Ένας ήρωας ξεκινά μια πίστα με $0$ πόντους. Στο τέλος έχει μαζέψει 2 κέρματα ($+5$ το καθένα) και 1 κλειδί ($+10$), αλλά έχει αγγίξει 2 φορές νερό ($-3$ κάθε φορά) και 1 φορά φράχτη ($-4$). Πόσους πόντους έχει;

Βήμα 1 — Τα κέρδη. $5 + 5 + 10 = 20$. Προχωράμε 20 βήματα δεξιά στην αριθμογραμμή.

Βήμα 2 — Οι ζημιές. $3 + 3 + 4 = 10$. Προχωράμε 10 βήματα αριστερά.

Βήμα 3 — Πού καταλήξαμε.

Απάντηση: Ο ήρωας έχει 10 πόντους.

Πρόσεξε τον κανόνα κίνησης: προσθέτω → δεξιά, αφαιρώ → αριστερά.

Μέρος Β: Μοτίβα 🔷

Τα δύο είδη

Πώς βρίσκουμε τον κανόνα

1. Παρατηρώ τι υπάρχει και με ποια σειρά.
2. Ψάχνω τι επαναλαμβάνεται ή τι συνδέει δύο διαδοχικούς όρους.
3. Διατυπώνω τον κανόνα με λόγια.
4. Ελέγχω τον κανόνα σε όλους τους όρους που ήδη ξέρω.

Λυμένη άσκηση: συμπληρώνουμε αριθμητικά μοτίβα

α. $0{,}001,\ 0{,}01,\ \_\_,\ 1,\ 10,\ \_\_,\ 1.000$

Το $0{,}01$ είναι το $0{,}001$ επί 10. Ο κανόνας: πολλαπλασιάζουμε με 10.

Πρώτο κενό: $0{,}01 \times 10 = 0{,}1$. Δεύτερο κενό: $10 \times 10 = 100$.

Απάντηση: $0{,}001,\ 0{,}01,\ 0{,}1,\ 1,\ 10,\ 100,\ 1.000$.

β. $5.000,\ 500,\ 50,\ \_\_,\ 0{,}5,\ \_\_,\ 0{,}005$

Εδώ οι αριθμοί μικραίνουν. Ο κανόνας: διαιρούμε με 10.

Πρώτο κενό: $50 : 10 = 5$. Δεύτερο κενό: $0{,}5 : 10 = 0{,}05$.

Απάντηση: $5.000,\ 500,\ 50,\ 5,\ 0{,}5,\ 0{,}05,\ 0{,}005$.

γ. $18,\ 26,\ 34,\ \_\_,\ 50,\ \_\_,\ 66$

Οι διαφορές: $26 - 18 = 8$ και $34 - 26 = 8$. Το βήμα είναι $+8$.

Πρώτο κενό: $34 + 8 = 42$, και $42 + 8 = 50$ που ταιριάζει. Δεύτερο κενό: $50 + 8 = 58$, και $58 + 8 = 66$ που ταιριάζει.

Απάντηση: $18,\ 26,\ 34,\ 42,\ 50,\ 58,\ 66$.

Γεωμετρικά μοτίβα που επαναλαμβάνονται

Βρίσκουμε την ομάδα σχημάτων που ξαναγυρίζει και μετράμε πόσα σχήματα έχει. Μετά κάνουμε διαίρεση και κοιτάζουμε το υπόλοιπο:

• Το υπόλοιπο δείχνει τη θέση μέσα στην ομάδα.
• Υπόλοιπο 0 σημαίνει το τελευταίο σχήμα της ομάδας.

Παράδειγμα: σε μοτίβο που επαναλαμβάνει πεντάδες, το 20ό σχήμα βρίσκεται από το $20 : 5 = 4$ χωρίς υπόλοιπο, άρα είναι το τελευταίο σχήμα της πεντάδας.

Γεωμετρικά μοτίβα που μεγαλώνουν

Άλλα μοτίβα δεν επαναλαμβάνονται αλλά μεγαλώνουν κατά σταθερό ποσό.

Κάθε σχήμα έχει 3 τετραγωνάκια περισσότερα από το προηγούμενο. Έτσι βρίσκουμε ότι το 5ο έχει 13 και το 6ο έχει 16, χωρίς να τα μετρήσουμε.

Ένα άλλο τέτοιο μοτίβο είναι η πυραμίδα από τενεκεδάκια, όπου η 1η σειρά έχει 1, η 2η έχει 2 και ούτω καθεξής:

Κάθε νέα σειρά προσθέτει τόσα τενεκεδάκια όσος είναι ο αριθμός της.

Λυμένο πρόβλημα: οι θέσεις του θεάτρου

Σε ένα θέατρο η πρώτη σειρά από τη σκηνή έχει 30 θέσεις. Κάθε επόμενη σειρά έχει 2 θέσεις περισσότερες από την προηγούμενη. Οι σειρές είναι 10 συνολικά. Πόσες θέσεις έχει το θέατρο;

Βήμα 1 — Ο κανόνας. Ξεκινάμε από 30 και προσθέτουμε 2 σε κάθε σειρά.

Βήμα 2 — Ζευγαρώνουμε. Πρώτη με τελευταία, δεύτερη με προτελευταία, και ούτω καθεξής:

Βήμα 3 — Πολλαπλασιάζουμε. Πέντε ζευγάρια των 78:

Απάντηση: Το θέατρο έχει 390 θέσεις.

Μέρος Γ: Ισότητες και ανισότητες ⚖️

Τι σημαίνει το ίσον

Το ίσον ($=$) είναι το σύμβολο της ισότητας και φανερώνει πως ό,τι βρίσκεται αριστερά του έχει την ίδια αξία (τιμή) με ό,τι βρίσκεται δεξιά του. Τα δύο κομμάτια τα λέμε μέλη.

Γι' αυτό είναι σωστό το $10 + 2 = 4 \times 3$: και τα δύο μέλη αξίζουν 12.

Το καλύτερο μοντέλο είναι η ζυγαριά: κάθε δίσκος αντιστοιχεί σε ένα μέλος, και όταν ισορροπεί ισχύει το ίσον.

Τα τρία σύμβολα

Το άνοιγμα του συμβόλου κοιτάζει πάντα προς τη μεγάλη πλευρά.

Λυμένη άσκηση: βρίσκουμε τον αριθμό που λείπει

Η στρατηγική: υπολογίζω το πλήρες μέλος, μετά κάνω την αντίστροφη πράξη.

Πάντα ελέγχουμε: $5 + 33 = 38$ και $30 + 8 = 38$. Ισχύει.

Ίδια ποσότητα και στα δύο μέλη

Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε την ίδια ακριβώς ποσότητα και στα δύο μέλη μιας ισότητας, η ισότητα εξακολουθεί να ισχύει.

Η ζυγαριά που ισορροπεί συνεχίζει να ισορροπεί αν βάλουμε το ίδιο βάρος και στους δύο δίσκους. Αν όμως αλλάξουμε μόνο τον έναν, η ισορροπία χάνεται.

Από την ίδια λογική βγαίνει και η αλυσίδα: αν $11 + 6 = 29 - 12$ και $29 - 12 = 4 + 13$, τότε $11 + 6 = 4 + 13$.

Συμπληρώνουμε ανισότητες

Στις ανισότητες η απάντηση είναι συνήθως πολλοί αριθμοί.

Παράδειγμα: $9 + \square < 23 - 7$.

Υπολογίζουμε $23 - 7 = 16$. Το άθροισμα πρέπει να είναι το πολύ 15, άρα το κουτάκι το πολύ $15 - 9 = 6$. Οι φυσικοί αριθμοί που κάνουν: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Έλεγχος στο όριο: με το 7, $9 + 7 = 16$ και το $16 < 16$ δεν ισχύει.

Παράδειγμα: $6 + \square > 10$.

Το άθροισμα πρέπει να είναι τουλάχιστον 11, άρα το κουτάκι τουλάχιστον 5. Κάνουν το $5$ και όλοι οι μεγαλύτεροί του, χωρίς τέλος.

Λίστα ελέγχου πριν το διαγώνισμα ✅