Ισότητες και ανισότητες ⚖️

Το σύμβολο $=$ το χρησιμοποιείς από την πρώτη τάξη. Και όμως, οι περισσότεροι μαθητές έχουν στο μυαλό τους μια λάθος εικόνα γι' αυτό. Νομίζουν ότι σημαίνει «και τώρα γράφω το αποτέλεσμα». Δεν σημαίνει αυτό. Σε αυτό το μάθημα θα δούμε τι πραγματικά λέει το ίσον — και θα το καταλάβουμε με μια ζυγαριά.

Το ίσον σημαίνει ίδια αξία 🟰

Το ίσον ( $=$ ) είναι το σύμβολο της ισότητας και φανερώνει πως ό,τι βρίσκεται αριστερά του έχει την ίδια αξία (τιμή) με ό,τι βρίσκεται δεξιά του.

Τα δύο κομμάτια μιας ισότητας τα λέμε μέλη: το αριστερό μέλος και το δεξί μέλος.

Δες αυτές τις ισότητες:

5 = 2 \times 2{,}5

10 + 2 = 4 \times 3

Και στις δύο, τα δύο μέλη είναι διαφορετικά γραμμένα αλλά έχουν την ίδια αξία. Το $10 + 2$ αξίζει 12. Το $4 \times 3$ αξίζει επίσης 12. Άρα το ίσον ανάμεσά τους είναι σωστό.

Το ίσον ΔΕΝ σημαίνει «το αποτέλεσμα είναι»

Πολλά παιδιά διαβάζουν το $=$ σαν εντολή: «κάνε την πράξη και γράψε το αποτέλεσμα». Γι' αυτό τους φαίνεται περίεργο το $10 + 2 = 4 \times 3$ , όπου δεξιά δεν υπάρχει «αποτέλεσμα» αλλά άλλη μια πράξη.

Το ίσον είναι ζυγαριά, όχι κουμπί. Λέει «αυτά τα δύο αξίζουν το ίδιο». Μπορεί δεξιά να υπάρχει αριθμός, πράξη, ή ακόμα και κενό κουτάκι. Αρκεί τα δύο μέλη να έχουν την ίδια αξία.

Η ζυγαριά ως μοντέλο

Φαντάσου μια ζυγαριά με δύο δίσκους. Όταν ισορροπεί, τα δύο μέρη ζυγίζουν το ίδιο. Δεν είναι απαραίτητο να έχουν τα ίδια αντικείμενα — αρκεί να έχουν το ίδιο βάρος.

Αυτό ακριβώς κάνει το ίσον στα μαθηματικά:

Ζυγαριά	Ισότητα
Ο αριστερός δίσκος	Το αριστερό μέλος
Ο δεξιός δίσκος	Το δεξί μέλος
Η ζυγαριά ισορροπεί	Ισχύει το $=$
Ο ένας δίσκος κατεβαίνει	Ισχύει το $>$ ή το $<$

Παράδειγμα με ζυγαριές που ισορροπούν: Σε μια ζυγαριά, ένας κύβος ισορροπεί με δύο σφαίρες. Άρα ο κύβος ζυγίζει περισσότερο από μία σφαίρα — χρειάζονται δύο σφαίρες για να τον φτάσουν. Σε άλλη ζυγαριά, ένας κύλινδρος ισορροπεί με μία σφαίρα, οπότε ζυγίζουν το ίδιο.

Αν μας πουν ότι ο κύλινδρος ζυγίζει 200 γρ., τότε:

Η σφαίρα ζυγίζει επίσης 200 γρ. (ισορροπεί με τον κύλινδρο).
Ο κύβος ζυγίζει όσο δύο σφαίρες, δηλαδή $200 + 200 = 400$ γρ.

Τα σύμβολα της ανισότητας 🔼🔽

Όταν τα δύο μέλη δεν έχουν την ίδια αξία, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα της ανισότητας: το μεγαλύτερο ( $>$ ) και το μικρότερο ( $<$ ).

Φανερώνουν πως ό,τι βρίσκεται αριστερά τους είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο, αντίστοιχα, από ό,τι βρίσκεται δεξιά τους.

Σύμβολο	Πώς διαβάζεται	Παράδειγμα
$=$	ίσο με	$10 + 2 = 4 \times 3$
$>$	μεγαλύτερο από	$4 + 5 > 6$
$<$	μικρότερο από	$5 < 2 \times 3{,}5$

Ένα κόλπο για να μην τα μπερδεύεις: το άνοιγμα του συμβόλου κοιτάζει πάντα προς τη μεγάλη πλευρά, ενώ η μύτη δείχνει τη μικρή. Σκέψου το σαν στόμα κροκόδειλου που θέλει πάντα να φάει τη μεγαλύτερη ποσότητα.

Πώς επιλέγουμε το σωστό σύμβολο

Δουλεύουμε πάντα με τρία βήματα:

Υπολογίζω την αξία του αριστερού μέλους.
Υπολογίζω την αξία του δεξιού μέλους.
Συγκρίνω τους δύο αριθμούς και βάζω το κατάλληλο σύμβολο.

Παράδειγμα: Ποιο σύμβολο μπαίνει ανάμεσα στο $5 \times 4$ και στο $30 - 8$ ;

Αριστερά: $5 \times 4 = 20$ . Δεξιά: $30 - 8 = 22$ . Επειδή $20 < 22$ , γράφουμε:

5 \times 4 < 30 - 8

Συμπληρώνουμε ισότητες 🔢

Πολύ συχνά μια ισότητα έχει ένα κενό κουτάκι και μας ζητούν να βρούμε τον αριθμό που λείπει. Η στρατηγική είναι πάντα η ίδια: υπολογίζω πρώτα το μέλος που είναι πλήρες, και μετά ψάχνω τι χρειάζεται το άλλο μέλος για να το φτάσει.

Λυμένο παράδειγμα 1

Να συμπληρώσετε το κουτάκι: $12 + \square = 4 \times 5$ .

Βήμα 1 — Υπολογίζω το πλήρες μέλος. Δεξιά από το ίσον έχουμε $4 \times 5 = 20$ .

Βήμα 2 — Θυμάμαι τι λέει το ίσον. Το αριστερό μέλος πρέπει να έχει την ίδια αξία, δηλαδή 20.

Βήμα 3 — Βρίσκω τι λείπει. Έχουμε $12 + \square = 20$ , άρα $\square = 20 - 12 = 8$ .

Έλεγχος: $12 + 8 = 20$ και $4 \times 5 = 20$ . Ισχύει.

Λυμένο παράδειγμα 2

Να βρείτε τους αριθμούς: $5 + \square = 30 + 8$ και $3 \times \square = 24 - 9$ και $21 : \square = 30 - 23$ .

Ισότητα	Πλήρες μέλος	Τι λείπει	Απάντηση
$5 + \square = 30 + 8$	$30 + 8 = 38$	$38 - 5$	$\square = 33$
$3 \times \square = 24 - 9$	$24 - 9 = 15$	$15 : 3$	$\square = 5$
$2 \times \square = 10 + 6$	$10 + 6 = 16$	$16 : 2$	$\square = 8$
$21 : \square = 30 - 23$	$30 - 23 = 7$	$21 : 7$	$\square = 3$

Παρατήρησε ότι σε κάθε γραμμή κάνουμε την αντίστροφη πράξη από αυτή που βλέπουμε: όταν το κουτάκι είναι σε πρόσθεση, αφαιρούμε· όταν είναι σε πολλαπλασιασμό, διαιρούμε.

Τι συμβαίνει όταν αλλάζουμε και τα δύο μέλη ⚖️➕

Εδώ βρίσκεται η πιο δυνατή ιδέα του μαθήματος, και πάλι φαίνεται καθαρά στη ζυγαριά.

Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε την ίδια ακριβώς ποσότητα και στα δύο μέλη μιας ισότητας, η ισότητα εξακολουθεί να ισχύει.

Σκέψου μια ζυγαριά που ισορροπεί. Αν βάλεις 3 κιλά στον έναν δίσκο και 3 κιλά στον άλλον, η ζυγαριά συνεχίζει να ισορροπεί. Αν πάρεις 2 κιλά από τον έναν και 2 από τον άλλον, πάλι ισορροπεί.

Αν όμως αλλάξεις μόνο τον έναν δίσκο, η ισορροπία χάνεται.

Λυμένο παράδειγμα: ισορροπούμε τη ζυγαριά

Μια ζυγαριά έχει αριστερά 5 μπίλιες και δεξιά 8 μπίλιες. Δεν ισορροπεί:

5 < 8

Τρόπος 1 — Προσθέτουμε. Βάζουμε 3 μπίλιες αριστερά: $5 + 3 = 8$ και δεξιά 8. Ισορροπεί.

Τρόπος 2 — Αφαιρούμε. Παίρνουμε 3 μπίλιες από τα δεξιά: αριστερά 5 και δεξιά $8 - 3 = 5$ . Ισορροπεί.

Δύο διαφορετικοί τρόποι, ίδιο αποτέλεσμα: αρκεί η διαφορά των 3 μπιλιών να εξαφανιστεί.

Λυμένο παράδειγμα: χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες

α. Αν $7 + 8 = 20 - 5$ , τότε $20 - \square = 7 + 8$ .

Η ισότητα δεν αλλάζει αν αντιστρέψουμε τα δύο μέλη της: αν το Α ισούται με το Β, τότε και το Β ισούται με το Α. Άρα $\square = 5$ .

β. Αν $11 + 6 = 29 - 12$ και $29 - 12 = 4 + 13$ , τότε $11 + 6 = 4 + \square$ .

Εδώ δουλεύει μια αλυσίδα: το $11 + 6$ έχει την ίδια αξία με το $29 - 12$ , και το $29 - 12$ έχει την ίδια αξία με το $4 + 13$ . Άρα το $11 + 6$ έχει την ίδια αξία με το $4 + 13$ , οπότε $\square = 13$ .

Έλεγχος: $11 + 6 = 17$ και $4 + 13 = 17$ . Ισχύει.

γ. $(5 + 7) + \square = 5 + (7 + 4)$ .

Οι παρενθέσεις στην πρόσθεση μπορούν να μετακινηθούν χωρίς να αλλάξει η αξία. Δεξιά προσθέτουμε τα 5, 7 και 4. Αριστερά έχουμε ήδη τα 5 και 7, άρα λείπει το $4$ . Οπότε $\square = 4$ .

Έλεγχος: $(5+7) + 4 = 16$ και $5 + (7+4) = 16$ . Ισχύει.

Η αλυσίδα των ισοτήτων

Αν δύο ποσότητες είναι ίσες με μια τρίτη, τότε είναι ίσες και μεταξύ τους. Αυτή η απλή ιδέα λέγεται μεταβατική ιδιότητα και είναι από τους παλαιότερους κανόνες των μαθηματικών: την είχε γράψει ο Ευκλείδης πριν από περισσότερα από 2.300 χρόνια. Την ίδια ιδέα χρησιμοποιείς κάθε φορά που λύνεις εξίσωση.

Συμπληρώνουμε ανισότητες 🔍

Στις ανισότητες η απάντηση σπάνια είναι ένας μόνο αριθμός. Συνήθως υπάρχουν πολλοί αριθμοί που κάνουν.

Λυμένο παράδειγμα: $9 + \square < 23 - 7$

Βήμα 1 — Υπολογίζω το δεξί μέλος. $23 - 7 = 16$ .

Βήμα 2 — Ξαναγράφω την ανισότητα: $9 + \square < 16$ .

Βήμα 3 — Σκέφτομαι. Το άθροισμα πρέπει να είναι μικρότερο από 16, δηλαδή το πολύ 15. Άρα το κουτάκι πρέπει να είναι το πολύ $15 - 9 = 6$ .

Βήμα 4 — Γράφω όλες τις λύσεις. Οι φυσικοί αριθμοί που κάνουν είναι:

0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6

Έλεγχος στο όριο: Με το 6 έχουμε $9 + 6 = 15$ , και $15 < 16$ . Σωστό. Με το 7 έχουμε $9 + 7 = 16$ , και το $16 < 16$ δεν ισχύει. Άρα το 7 δεν κάνει.

Λυμένο παράδειγμα: $6 + \square > 10$

Το άθροισμα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 10, δηλαδή τουλάχιστον 11. Άρα το κουτάκι πρέπει να είναι τουλάχιστον $11 - 6 = 5$ .

Οι φυσικοί αριθμοί που κάνουν είναι το $5$ και όλοι οι μεγαλύτεροί του: $5, 6, 7, 8, \ldots$ — δεν τελειώνουν ποτέ.

Προσοχή στο 4: $6 + 4 = 10$ , και το $10 > 10$ δεν ισχύει, γιατί το 10 δεν είναι μεγαλύτερο από τον εαυτό του. Άρα το 4 δεν κάνει.

Ποτέ μην γράφεις αλυσίδα με λάθος ίσον

Ο Νίκος, για να προσθέσει $3+5+3+1$ , έγραψε: $3+5=8+3=11+1=12$ . Βρήκε σωστό αποτέλεσμα, αλλά αυτό που έγραψε είναι λάθος.

Γιατί; Επειδή λέει ότι $8 = 11$ και ότι $11 = 12$ , που φυσικά δεν ισχύουν. Χρησιμοποίησε το ίσον σαν «και μετά», ενώ το ίσον σημαίνει «ίδια αξία».

Ο σωστός τρόπος είναι να γράφουμε κάθε βήμα ξεχωριστά:

3 + 5 = 8

8 + 3 = 11

11 + 1 = 12