Οι αρνητικοί αριθμοί 🌡️

Μέχρι τώρα δουλεύαμε με αριθμούς που δείχνουν πόσα έχουμε: 1, 2, 3, 10, 250. Όλοι αυτοί ξεκινούν από το μηδέν και πάνε προς τα πάνω. Όμως στην καθημερινή ζωή υπάρχουν και καταστάσεις που πάνε κάτω από το μηδέν. Ο υδράργυρος στο θερμόμετρο κατεβαίνει πιο χαμηλά από το 0. Το ασανσέρ κατεβαίνει πιο χαμηλά από το ισόγειο. Για αυτές τις καταστάσεις χρειαζόμαστε νέους αριθμούς.

Πού συναντάμε αρνητικούς αριθμούς 🔎

Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε αριθμούς που έχουν μπροστά τους το σύμβολο «−». Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται αρνητικοί αριθμοί.

Δες πού τους συναντάμε:

Πρόσεξε ένα κοινό στοιχείο: παντού υπάρχει ένα «μηδέν» που είναι το σημείο αναφοράς. Οι θετικοί αριθμοί δείχνουν πόσο πάνω από αυτό είμαστε, οι αρνητικοί πόσο κάτω.

Η αριθμογραμμή με το μηδέν στη μέση ➖0️⃣➕

Ο καλύτερος τρόπος για να «δούμε» τους αρνητικούς αριθμούς είναι η αριθμογραμμή.

Βάζουμε το 0 στη μέση. Οι φυσικοί αριθμοί μπαίνουν δεξιά από το μηδέν, σε ίσες αποστάσεις. Οι αρνητικοί μπαίνουν αριστερά από το μηδέν, στις ίδιες ακριβώς ίσες αποστάσεις.

Έτσι η αριθμογραμμή απλώνεται και προς τις δύο μεριές:

Οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς λέγονται ακέραιοι αριθμοί.

Οι τρεις τελείες στην αρχή και στο τέλος σημαίνουν ότι η αριθμογραμμή δεν τελειώνει ποτέ: υπάρχει πάντα ένας ακόμα αριθμός δεξιά και ένας ακόμα αριστερά.

Πώς τοποθετούμε έναν αριθμό

Δουλεύουμε με δύο βήματα:

1. Βρίσκουμε το 0.
2. Μετράμε τόσα βήματα όσα λέει ο αριθμός — δεξιά αν είναι θετικός, αριστερά αν είναι αρνητικός.

Για τον $-4$: ξεκινάμε από το 0 και κάνουμε 4 βήματα αριστερά.
Για το $4$: ξεκινάμε από το 0 και κάνουμε 4 βήματα δεξιά.

Σύγκριση: ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος; ⚖️

Εδώ κρύβεται η πιο σημαντική ιδέα του μαθήματος. Ο κανόνας είναι απλός και δεν αλλάζει ποτέ:

Όσο πιο δεξιά βρίσκεται ένας αριθμός στην αριθμογραμμή, τόσο πιο μεγάλος είναι. Όσο πιο αριστερά, τόσο πιο μικρός.

Από αυτόν τον κανόνα βγαίνουν αμέσως τρία πράγματα:

• Όλοι οι αρνητικοί αριθμοί είναι μικρότεροι από το 0, γιατί βρίσκονται αριστερά του.
• Όλοι οι θετικοί αριθμοί είναι μεγαλύτεροι από κάθε αρνητικό, γιατί ένας θετικός είναι δεξιά του μηδενός και ένας αρνητικός αριστερά του.
• Ανάμεσα σε δύο αρνητικούς, μεγαλύτερος είναι αυτός που βρίσκεται πιο δεξιά, δηλαδή αυτός που είναι πιο κοντά στο μηδέν.

Λυμένο παράδειγμα: διάταξη αριθμών

Να διατάξουμε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς: $3,\ -4,\ 0,\ -1,\ 5,\ -7$.

Βήμα 1 — Χωρίζουμε σε τρεις ομάδες.
Αρνητικοί: $-4,\ -1,\ -7$. Το μηδέν: $0$. Θετικοί: $3,\ 5$.

Βήμα 2 — Ξέρουμε ήδη τη σειρά των ομάδων. Πρώτα όλοι οι αρνητικοί, μετά το μηδέν, μετά όλοι οι θετικοί.

Βήμα 3 — Βάζουμε σε σειρά τους αρνητικούς. Πιο μικρός είναι αυτός που είναι πιο μακριά αριστερά, δηλαδή ο $-7$. Μετά ο $-4$, μετά ο $-1$.

Βήμα 4 — Βάζουμε σε σειρά τους θετικούς. Πρώτα το $3$, μετά το $5$.

Απάντηση:

Λυμένο παράδειγμα: το θερμόμετρο που κατεβαίνει

Στη Βασιλίτσα η ελάχιστη θερμοκρασία ήταν 4 βαθμοί κάτω από το μηδέν και η μέγιστη 3 βαθμοί πάνω από το μηδέν. Πόση είναι η διαφορά τους; Και αν την επόμενη μέρα η ελάχιστη πέσει άλλους 2 βαθμούς, πόση θα γίνει;

Βήμα 1 — Γράφουμε τις θερμοκρασίες με αριθμούς.
Ελάχιστη: $-4$ °C. Μέγιστη: $3$ °C.

Βήμα 2 — Μετράμε τα βήματα στην αριθμογραμμή. Από το $-4$ μέχρι το $0$ κάνουμε 4 βήματα. Από το $0$ μέχρι το $3$ κάνουμε άλλα 3 βήματα.

Η διαφορά είναι 7 °C.

Βήμα 3 — Κατεβαίνουμε άλλους 2 βαθμούς. Ξεκινάμε από το $-4$ και κάνουμε 2 βήματα αριστερά: $-5$, μετά $-6$.

Η νέα ελάχιστη θερμοκρασία είναι $-6$ °C.

Αντίθετοι αριθμοί 🔄

Κοίτα τα ζευγάρια $3$ και $-3$, ή $10$ και $-10$. Κάθε ζευγάρι έχει κάτι κοινό: και οι δύο αριθμοί απέχουν την ίδια ακριβώς απόσταση από το μηδέν, απλώς ο ένας είναι δεξιά και ο άλλος αριστερά.

Τέτοιοι αριθμοί λέγονται αντίθετοι αριθμοί.

Το μηδέν είναι ο μοναδικός αριθμός που είναι αντίθετος του εαυτού του, γιατί βρίσκεται ακριβώς στη μέση.

Αν βάλουμε στην αριθμογραμμή δύο αντίθετους αριθμούς, π.χ. το $-4$ και το $4$, τότε στη μέση της απόστασής τους βρίσκεται πάντα το 0.

Οι μάρκες που αλληλοεξουδετερώνονται

Ένα ωραίο παιχνίδι για να καταλάβεις τους αντίθετους: φαντάσου κόκκινες και μπλε μάρκες. Κάθε κόκκινη μάρκα δείχνει το $1$ και κάθε μπλε μάρκα δείχνει το $-1$. Μία κόκκινη και μία μπλε μαζί αλληλοεξουδετερώνονται και δεν μένει τίποτα, δηλαδή $0$.

Πώς δείχνουμε τον αριθμό $-3$;

• Ο πιο απλός τρόπος: 3 μπλε μάρκες.
• Ένας άλλος τρόπος: 4 μπλε και 1 κόκκινη. Η κόκκινη σβήνει μία μπλε και μένουν 3 μπλε.
• Και άλλος: 5 μπλε και 2 κόκκινες. Οι 2 κόκκινες σβήνουν 2 μπλε και μένουν 3 μπλε.

Ο κανόνας: κάθε συνδυασμός όπου οι μπλε είναι 3 περισσότερες από τις κόκκινες μάς δίνει τον αριθμό $-3$.

Πράξεις με τη βοήθεια της αριθμογραμμής 🚶

Δεν χρειάζεται να μάθεις κανόνες απέξω. Αρκεί να περπατάς στην αριθμογραμμή:

• Όταν προσθέτουμε, προχωράμε δεξιά.
• Όταν αφαιρούμε, προχωράμε αριστερά.

Παράδειγμα: Ένας ήρωας σε παιχνίδι ξεκινά με $0$ πόντους. Παίρνει 2 κέρματα ($+5$ ο καθένας), 1 κλειδί ($+10$), αγγίζει 2 φορές νερό ($-3$ κάθε φορά) και 1 φορά φράχτη ($-4$).

Βήμα 1 — Τα κέρδη: $5 + 5 + 10 = 20$. Προχωράμε 20 βήματα δεξιά, φτάνουμε στο $20$.
Βήμα 2 — Οι ζημιές: $3 + 3 + 4 = 10$. Προχωράμε 10 βήματα αριστερά.
Βήμα 3 — Πού καταλήξαμε: $20 - 10 = 10$.

Ο ήρωας τελειώνει την πίστα με 10 πόντους.

Παράδειγμα με βάθος: Μια δύτρια είναι στα $-30$ μ. και ανεβαίνει στα $-10$ μ. Πόσα μέτρα κολύμπησε; Από το $-30$ στο $-10$ υπάρχουν $30 - 10 = 20$ βήματα προς τα πάνω. Κολύμπησε 20 μέτρα. Για να φτάσει στην επιφάνεια ($0$ μ.) χρειάζεται άλλα 10 μέτρα.