5ο επαναληπτικό: όλοι οι δεκαδικοί σε μία σελίδα 🏁

Φτάσαμε στο τέλος της ενότητας. Ας μαζέψουμε όλα όσα μάθαμε για τους δεκαδικούς αριθμούς, από τα δεκαδικά κλάσματα μέχρι τα ποσοστά.

Τι έμαθα σε αυτή την ενότητα ✅

Να μετατρέπω τα δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς και το αντίστροφο.
Να διατάσσω και να συγκρίνω δεκαδικούς αριθμούς.
Να στρογγυλοποιώ δεκαδικούς αριθμούς.
Να προσθέτω και να αφαιρώ δεκαδικούς αριθμούς.
Να πολλαπλασιάζω δεκαδικό με φυσικό αριθμό και δεκαδικό με δεκαδικό αριθμό.
Να διαιρώ φυσικούς και δεκαδικούς αριθμούς με φυσικούς ή δεκαδικούς αριθμούς.
Να εκφράζω με ποσοστά δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς.
Να λύνω προβλήματα με δεκαδικούς αριθμούς και ποσοστά.

1. Δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικοί αριθμοί 🔟

Το δεκαδικό κλάσμα και ο δεκαδικός αριθμός είναι δύο γραφές του ίδιου πράγματος.

\frac{7}{10} = 0,7 \qquad \frac{45}{100} = 0,45 \qquad \frac{236}{1.000} = 0,236

Ο κανόνας: τα μηδενικά του παρονομαστή δείχνουν πόσα δεκαδικά ψηφία θα έχει ο αριθμός.

2. Αξία θέσης και διάταξη 📍

Κάθε ψηφίο μετά την υποδιαστολή έχει τη δική του αξία:

Θέση	Αξία	Παράδειγμα στο 3,472
Δέκατα	$\frac{1}{10}$	4 δέκατα
Εκατοστά	$\frac{1}{100}$	7 εκατοστά
Χιλιοστά	$\frac{1}{1.000}$	2 χιλιοστά

Για να συγκρίνουμε δύο δεκαδικούς: πρώτα συγκρίνουμε τα ακέραια μέρη. Αν είναι ίσα, προχωράμε στα δέκατα, μετά στα εκατοστά και ούτω καθεξής.

Περισσότερα ψηφία δεν σημαίνει μεγαλύτερος αριθμός

Το 0,7 είναι μεγαλύτερο από το 0,45, παρόλο που το δεύτερο έχει περισσότερα ψηφία. Γράψε το 0,7 ως 0,70 και η σύγκριση γίνεται προφανής: 70 εκατοστά έναντι 45 εκατοστών.

3. Στρογγυλοποίηση 🎯

Διαλέγουμε τη θέση και κοιτάμε μόνο το αμέσως επόμενο ψηφίο δεξιά. Αν είναι 0-4, μένουμε· αν είναι 5-9, ανεβαίνουμε κατά ένα.

23,846 \approx 23,8 \quad \text{(στα δέκατα)} \qquad 14,728 \approx 14,73 \quad \text{(στα εκατοστά)}

4. Πρόσθεση και αφαίρεση ➕➖

Υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή. Προσθέτουμε μέρη ίδιας αξίας και συμπληρώνουμε μηδενικά όπου λείπουν ψηφία.

12,8 + 4,9 = 17,7 \qquad 50,00 - 19,15 = 30,85

5. Πολλαπλασιασμός ✖️

Κάνουμε την πράξη σαν να ήταν οι παράγοντες φυσικοί αριθμοί. Το γινόμενο έχει τόσα δεκαδικά ψηφία όσα έχουν συνολικά οι δύο παράγοντες.

4,16 \times 3,2 = 13,312

Δύο ψηφία συν ένα ψηφίο ίσον τρία ψηφία στο γινόμενο.

6. Διαίρεση ➗

Όταν ο διαιρέτης είναι δεκαδικός, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο αριθμούς με 10, 100 ή 1.000 μέχρι να γίνει ακέραιος. Το πηλίκο δεν αλλάζει.

3,2 : 0,25 = 320 : 25 = 12,8

7. Ο μεγάλος πίνακας με το 10 και το 0,1 🧭

Αυτός ο πίνακας συνοψίζει τέσσερις κανόνες που μπερδεύονται εύκολα:

Πράξη	Ο αριθμός	Η υποδιαστολή
$\times 10$ , $\times 100$ , $\times 1.000$	μεγαλώνει	1, 2, 3 θέσεις δεξιά
$: 10$ , $: 100$ , $: 1.000$	μικραίνει	1, 2, 3 θέσεις αριστερά
$\times 0,1$ , $\times 0,01$ , $\times 0,001$	μικραίνει	1, 2, 3 θέσεις αριστερά
$: 0,1$ , $: 0,01$ , $: 0,001$	μεγαλώνει	1, 2, 3 θέσεις δεξιά

Δύο ζευγάρια που κάνουν το ίδιο

Ο πολλαπλασιασμός με 0,1 δίνει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα με τη διαίρεση με 10. Και η διαίρεση με 0,1 δίνει το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό με 10. Αν το θυμάσαι αυτό, ο πίνακας γίνεται μισός!

8. Ποσοστά και διαφορετικές εκφράσεις 💯

Το ποσοστό στα εκατό είναι ένα μέρος από τα 100 ίσα μέρη της μονάδας.

40\% = \frac{40}{100} = 0,40

Κλάσμα	Δεκαδικός	Ποσοστό
$\frac{1}{2}$	0,5	50%
$\frac{1}{4}$	0,25	25%
$\frac{2}{5}$	0,4	40%
$\frac{3}{4}$	0,75	75%

Για να βρούμε ένα ποσοστό μιας ποσότητας, πολλαπλασιάζουμε με τον δεκαδικό του: $0,25 \times 200 = 50$ .

Λυμένη επαναληπτική άσκηση 1: Το χρωματισμένο τετράγωνο 🎨

Σε ένα τετράγωνο χρωματίζουμε τα $\frac{2}{5}$ με κόκκινο, το 0,03 με πράσινο και το 17% με κίτρινο. Πόσο μέρος έμεινε αχρωμάτιστο;

Βήμα 1: Όλα σε κοινή μορφή. Διαλέγουμε τα εκατοστά:

\frac{2}{5} = \frac{40}{100} \qquad 0,03 = \frac{3}{100} \qquad 17\% = \frac{17}{100}

Βήμα 2: Προσθέτουμε.

\frac{40}{100} + \frac{3}{100} + \frac{17}{100} = \frac{60}{100}

Βήμα 3: Αφαιρούμε από το όλο.

1 - \frac{60}{100} = \frac{40}{100}

Απάντηση: Το αχρωμάτιστο μέρος είναι $\frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ ως κλάσμα, 0,40 ως δεκαδικός και 40% ως ποσοστό.

Λυμένη επαναληπτική άσκηση 2: Το λάθος στην κάθετη πρόσθεση ⚠️

Η Αγγελική πρόσθεσε κάθετα τους αριθμούς 3,036 και 32,5 και βρήκε άθροισμα 6,286. Ποιο λάθος έκανε;

Η εκτίμηση μάς προδίδει το λάθος. Το $3,036 + 32,5$ είναι περίπου $3 + 33 = 36$ . Το 6,286 δεν είναι καν κοντά — άρα κάτι πήγε πολύ στραβά.

Το λάθος: Η Αγγελική ευθυγράμμισε τους αριθμούς από τα δεξιά, σαν να ήταν φυσικοί. Έτσι έβαλε το 5 των δεκάτων του 32,5 κάτω από το 6 των χιλιοστών του 3,036.

Ο σωστός τρόπος: Υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή. Γράφουμε το 32,5 ως 32,500 και προσθέτουμε:

3,036 + 32,500 = 35,536

Το 35,536 είναι κοντά στην εκτίμηση των 36. Σωστό!

Λυμένη επαναληπτική άσκηση 3: Η αριθμομηχανή 🔢

Ο Αντρέι πληκτρολόγησε έναν αριθμό, τον πολλαπλασίασε με το 100 και στην οθόνη εμφανίστηκε το 45,6. Ποιον αριθμό πληκτρολόγησε αρχικά;

Κάνουμε την αντίστροφη πράξη, δηλαδή διαιρούμε με 100. Η υποδιαστολή πάει δύο θέσεις αριστερά:

45,6 : 100 = 0,456

Ο αρχικός αριθμός ήταν 0,456.

Λυμένη επαναληπτική άσκηση 4: Οι δύο σοκολάτες 🍫

Δύο σοκολάτες: η πρώτη ζυγίζει 100 γραμμάρια με 70% κακάο, η δεύτερη 200 γραμμάρια με 45% κακάο. Ποια έχει μεγαλύτερη περιεκτικότητα σε κακάο και ποια περιέχει περισσότερα γραμμάρια;

Περιεκτικότητα: Συγκρίνουμε τα ποσοστά. Το 70% είναι μεγαλύτερο από το 45%, άρα η πρώτη σοκολάτα είναι πιο πλούσια σε κακάο.

Γραμμάρια κακάου:

0,70 \times 100 = 70 \text{ γραμμάρια} \qquad 0,45 \times 200 = 90 \text{ γραμμάρια}

Απάντηση: Η πρώτη έχει μεγαλύτερη περιεκτικότητα, αλλά η δεύτερη περιέχει περισσότερα γραμμάρια κακάου, γιατί είναι διπλάσια σε βάρος.

Ποσοστό και ποσότητα δεν είναι το ίδιο

Μεγαλύτερο ποσοστό δεν σημαίνει πάντα μεγαλύτερη ποσότητα. Το ποσοστό μιλάει για το πόσο πυκνό είναι κάτι, ενώ η ποσότητα εξαρτάται και από το μέγεθος του συνόλου.

Λυμένη επαναληπτική άσκηση 5: Τρεις αυξήσεις 5% 📈

Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε κατά 5%. Λίγο μετά αυξήθηκε πάλι 5%, και τρεις μήνες μετά τρίτη φορά κατά 5%. Η συνολική αύξηση ήταν 15%;

Όχι. Ας το δούμε με αρχική τιμή 100 €:

Αύξηση	Υπολογισμός	Νέα τιμή
1η	$0,05 \times 100 = 5$	105 €
2η	$0,05 \times 105 = 5,25$	110,25 €
3η	$0,05 \times 110,25 = 5,5125$	115,7625 €

Η συνολική αύξηση είναι $115,7625 - 100 = 15,7625$ €, δηλαδή περίπου 15,76% και όχι 15%.

Γιατί; Κάθε αύξηση υπολογίζεται πάνω στην τιμή που ισχύει εκείνη τη στιγμή, όχι στην αρχική. Η δεύτερη αύξηση βρίσκει μια τιμή ήδη μεγαλύτερη, οπότε δίνει μεγαλύτερο ποσό.

Ο τελικός έλεγχος πριν το διαγώνισμα 📝

Πρόσθεση και αφαίρεση: ευθυγράμμισα τις υποδιαστολές;
Πολλαπλασιασμός: μέτρησα σωστά τα δεκαδικά ψηφία και των δύο παραγόντων;
Διαίρεση με δεκαδικό διαιρέτη: πολλαπλασίασα και τους δύο αριθμούς;
Ποσοστό: σε ποια ποσότητα αναφέρεται;
Σε κάθε πράξη: έκανα εκτίμηση και ταιριάζει με το αποτέλεσμα;