Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς ✖️

Στην πρόσθεση έπρεπε να ευθυγραμμίσουμε τις υποδιαστολές. Στον πολλαπλασιασμό συμβαίνει κάτι εντελώς διαφορετικό — και πολύ πιο εύκολο.

Ο κανόνας των τριών βημάτων 📝

Όταν πολλαπλασιάζουμε δεκαδικούς αριθμούς ή δεκαδικό αριθμό με φυσικό αριθμό:

1. Κάνουμε εκτίμηση του γινομένου.
2. Κάνουμε την πράξη κάθετα, σαν να ήταν οι παράγοντες φυσικοί αριθμοί, και έπειτα τοποθετούμε την υποδιαστολή στη σωστή θέση.
3. Ελέγχουμε το γινόμενο με βάση την εκτίμησή μας.

Ο κανόνας των δεκαδικών ψηφίων 🎯

Πώς ξέρουμε πού μπαίνει η υποδιαστολή στο τέλος;

Μετράμε πόσα δεκαδικά ψηφία έχουν συνολικά οι δύο παράγοντες μαζί. Τόσα ακριβώς δεκαδικά ψηφία θα έχει και το γινόμενο.

Ας το δούμε στο $4,16 \times 3,2$:

• Το 4,16 έχει 2 δεκαδικά ψηφία.
• Το 3,2 έχει 1 δεκαδικό ψηφίο.
• Σύνολο: $2 + 1 = 3$ δεκαδικά ψηφία στο γινόμενο.

Κάνουμε την πράξη σαν να ήταν $416 \times 32 = 13.312$. Μετράμε 3 ψηφία από τα δεξιά και βάζουμε την υποδιαστολή:

Η εκτίμηση $4 \times 3 = 12$ μας επιβεβαιώνει: το 13,312 είναι κοντά στο 12. Αν είχαμε βάλει την υποδιαστολή αλλού και βγάζαμε 133,12 ή 1,3312, θα καταλαβαίναμε αμέσως ότι κάτι πάει στραβά.

Γιατί δουλεύει αυτός ο κανόνας 🔍

Ας μετατρέψουμε τους δεκαδικούς σε κλάσματα και θα δούμε τον λόγο:

Ο πρώτος παράγοντας έφερε έναν παρονομαστή 10 (ένα δεκαδικό ψηφίο) και ο δεύτερος έναν ακόμα 10 (άλλο ένα δεκαδικό ψηφίο). Μαζί έδωσαν παρονομαστή 100, δηλαδή δύο δεκαδικά ψηφία. Ο κανόνας δεν είναι μαγικός: είναι απλή λογική των δεκαδικών κλασμάτων.

Λυμένο παράδειγμα με τρεις τρόπους ✏️

Να υπολογίσουμε το γινόμενο $0,8 \times 3,2$.

α. Εκτίμηση. Το $0,8 \times 3,2$ είναι περίπου $1 \times 3 = 3$.

β. Υπολογισμός.

α΄ τρόπος — με κλάσματα:

β΄ τρόπος — κάθετη πράξη: Κάνουμε $8 \times 32 = 256$. Οι παράγοντες έχουν συνολικά $1 + 1 = 2$ δεκαδικά ψηφία, άρα το γινόμενο είναι 2,56.

γ΄ τρόπος — με μοντέλο: Χωρίζουμε ένα τετράγωνο-μονάδα σε 100 μικρά τετραγωνάκια. Παίρνουμε τα 8 δέκατα από κάθε τμήμα του 3,2 και μετράμε τα κομμάτια που προκύπτουν. Βρίσκουμε πάλι 2,56.

γ. Έλεγχος. Το 2,56 είναι κοντά στο 3, όπως εκτιμήσαμε.

Πολλαπλασιασμός με 10, 100, 1.000 ⏩

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν δεκαδικό αριθμό με 10, 100 ή 1.000, ο αριθμός μεγαλώνει 10, 100 ή 1.000 φορές αντίστοιχα. Επομένως η υποδιαστολή μετακινείται 1, 2 ή 3 θέσεις δεξιά αντίστοιχα.

Στο δεύτερο, η υποδιαστολή έπρεπε να μετακινηθεί 2 θέσεις δεξιά, αλλά υπήρχε μόνο ένα ψηφίο εκεί. Συμπληρώνουμε ένα μηδενικό και γράφουμε 340.

Πολλαπλασιασμός με 0,1 / 0,01 / 0,001 ⏪

Εδώ γίνεται το αντίθετο. Το 0,1 είναι το $\frac{1}{10}$, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας με 0,1 στην πραγματικότητα παίρνουμε το ένα δέκατο του αριθμού — τον μικραίνουμε.

Άρα η υποδιαστολή μετακινείται 1, 2 ή 3 θέσεις αριστερά αντίστοιχα.

Η σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει τίποτα 🔄

Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.

Αυτό μας επιτρέπει να διαλέγουμε τη βολικότερη σειρά. Αν σε μια σειρά πολλαπλασιασμών υπάρχει ένα 10 ή ένα 100, βάλε το πρώτο για να απλοποιήσεις τα υπόλοιπα.