Διάταξη δεκαδικών – Αξία θέσης ψηφίου ⚖️

Στους δεκαδικούς αριθμούς, όπως και στους φυσικούς, κάθε ψηφίο έχει διαφορετική αξία ανάλογα με τη θέση του. Το 5 στο 15,258 δεν αξίζει το ίδιο με το 5 στο 5,283. Ας δούμε πώς λειτουργεί αυτό και πώς μας βοηθάει να συγκρίνουμε δεκαδικούς.

1. Ο πίνακας αξίας θέσης 🏛️

Κάθε θέση δεξιά από την υποδιαστολή έχει τη δική της αξία:

Θέση	Δεκάδες	Μονάδες	Δέκατα	Εκατοστά	Χιλιοστά
Αξία	10	1	0,1	0,01	0,001
Με κλάσμα			$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{1.000}$
Στο 15,258	1	5	2	5	8

Καθώς προχωράμε προς τα δεξιά, η αξία κάθε θέσης γίνεται δέκα φορές μικρότερη. Καθώς προχωράμε προς τα αριστερά, γίνεται δέκα φορές μεγαλύτερη.

Στο δεκαδικό μέρος, όσο πιο κοντά στο κόμμα, τόσο μεγαλύτερη αξία!

Στους φυσικούς αριθμούς το τελευταίο ψηφίο δεξιά έχει τη μικρότερη αξία — και το ίδιο ισχύει και στους δεκαδικούς. Στο 15,258 το ψηφίο με τη μεγαλύτερη αξία μέσα στο δεκαδικό μέρος είναι το 2, γιατί βρίσκεται στα δέκατα. Το 8 στα χιλιοστά έχει τη μικρότερη αξία, παρόλο που είναι το μεγαλύτερο ψηφίο!

2. Το δεκαδικό ανάπτυγμα 🧱

Ένας δεκαδικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί, δηλαδή να γραφτεί ως άθροισμα των αξιών των ψηφίων του. Αυτό λέγεται δεκαδικό ανάπτυγμα.

Λυμένο παράδειγμα: ο αριθμός 3,315

Πρώτα διαβάζουμε τη θέση κάθε ψηφίου: 3 μονάδες, 3 δέκατα, 1 εκατοστό, 5 χιλιοστά.

Με δεκαδικούς:

3,315 = (3\times 1) + (3\times 0,1) + (1\times 0,01) + (5\times 0,001)

Με κλάσματα:

3,315 = 3 + \frac{3}{10} + \frac{1}{100} + \frac{5}{1.000}

Λυμένο παράδειγμα: ο αριθμός 15,258

15,258 = (1\times 10) + (5\times 1) + (2\times 0,1) + (5\times 0,01) + (8\times 0,001)

Πρόσεξε τα δύο πεντάρια: το πρώτο αξίζει 5 ολόκληρες μονάδες, το δεύτερο μόνο 5 εκατοστά, δηλαδή 0,05. Η θέση κάνει τη διαφορά.

3. Γράφω τον δεκαδικό με λέξεις 🗣️

Έναν δεκαδικό μπορούμε να τον γράψουμε με ψηφία ή με λέξεις. Διαβάζουμε πρώτα το ακέραιο μέρος, μετά λέμε «και», και τέλος το δεκαδικό μέρος με το όνομα της τελευταίας του θέσης.

Με ψηφία	Με λέξεις
32,006	τριάντα δύο και έξι χιλιοστά
0,4	τέσσερα δέκατα
7,25	επτά και είκοσι πέντε εκατοστά
1,308	ένα και τριακόσια οκτώ χιλιοστά

Στο 32,006 το δεκαδικό μέρος έχει 3 ψηφία, άρα μιλάμε για χιλιοστά, και το «006» διαβάζεται «έξι χιλιοστά».

4. Σύγκριση δεκαδικών αριθμών 📏

Για να βρούμε ποιος από δύο δεκαδικούς είναι μεγαλύτερος, ακολουθούμε δύο κανόνες, με τη σειρά.

Κανόνας 1: Κοιτάμε πρώτα το ακέραιο μέρος

Μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει μεγαλύτερο ακέραιο μέρος.

26,5 > 24,998 \quad \text{γιατί } 26 > 24

Δεν μας πειράζει που το 24,998 έχει περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Τα δεκαδικά ψηφία είναι πάντα μέρη μιας μονάδας, οπότε δεν μπορούν ποτέ να καλύψουν μια ολόκληρη μονάδα διαφοράς.

Κανόνας 2: Αν το ακέραιο μέρος είναι ίδιο, συγκρίνουμε το δεκαδικό μέρος

Και το συγκρίνουμε ψηφίο-ψηφίο, από αριστερά προς τα δεξιά: πρώτα τα δέκατα, μετά τα εκατοστά, μετά τα χιλιοστά. Σταματάμε στην πρώτη διαφορά που θα βρούμε.

Λυμένο παράδειγμα: 19,76 και 19,7499

Βήμα	Σύγκριση	Αποτέλεσμα
Ακέραιο μέρος	19 και 19	Ίδια, συνεχίζουμε
Δέκατα	7 και 7	Ίδια, συνεχίζουμε
Εκατοστά	6 και 4	6 > 4, σταματάμε!

Άρα $19,76 > 19,7499$ .

Ο μεγαλύτερος αριθμός ΔΕΝ είναι αυτός με τα περισσότερα ψηφία!

Είναι το πιο συχνό λάθος με τους δεκαδικούς. Το 19,7499 έχει τέσσερα δεκαδικά ψηφία και το 19,76 μόνο δύο, όμως το 19,76 είναι μεγαλύτερο. Στους δεκαδικούς μετράει η αξία των ψηφίων, όχι το πλήθος τους.

5. Τα μηδενικά στο τέλος 0️⃣

Αν προσθέσουμε μηδενικά στο τέλος του δεκαδικού μέρους, η αξία του αριθμού δεν αλλάζει:

1,4 = 1,40 = 1,400

Γιατί; Επειδή $1,4=1\frac{4}{10}$ και $1,40=1\frac{40}{100}$ , και τα κλάσματα $\frac{4}{10}$ και $\frac{40}{100}$ είναι ισοδύναμα. Στην αριθμογραμμή το 1,4 και το 1,40 πέφτουν στο ίδιο ακριβώς σημείο.

Αυτό μας δίνει ένα πολύ χρήσιμο κόλπο για τη σύγκριση: συμπληρώνουμε με μηδενικά ώστε οι αριθμοί να έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων.

Σύγκρινε το 0,9 με το 0,85. Γράφουμε το 0,9 ως 0,90. Τώρα συγκρίνουμε 90 εκατοστά με 85 εκατοστά και βλέπουμε αμέσως ότι $0,9 > 0,85$ .

Μηδενικό στο τέλος ναι, μηδενικό στη μέση όχι!

Το $1,4=1,40$ ισχύει επειδή προσθέσαμε το μηδενικό μετά από όλα τα ψηφία. Αν όμως το βάλουμε στη μέση, ο αριθμός αλλάζει τελείως: το 1,04 δεν έχει καμία σχέση με το 1,4. Κάθε ψηφίο πρέπει να μείνει στη θέση του.

6. Διάταξη πολλών αριθμών 🔢

Όταν έχουμε πολλούς αριθμούς και θέλουμε να τους βάλουμε στη σειρά, τους συγκρίνουμε ανά δύο με τους ίδιους κανόνες.

Λυμένο παράδειγμα: οι βαθμολογίες των αθλητών

Σε έναν αγώνα ενόργανης γυμναστικής οι αθλητές πήραν τις εξής βαθμολογίες:

Χώρα	Αθλητής	Βαθμολογία
Ουκρανία	Ραντιβίλοφ	14,933
Τουρκία	Τσολάκ	15,066
Ρωσία	Αμπλιάζιν	15,333
Γαλλία	Αΐτ Σαΐντ	15,258
Ελλάδα	Πετρούνιας	15,433
Κίνα	Λιου	15,266

Βήμα 1 — Ακέραιο μέρος. Ο Ραντιβίλοφ έχει 14, όλοι οι άλλοι 15. Άρα ο Ραντιβίλοφ είναι τελευταίος.

Βήμα 2 — Δέκατα των υπολοίπων. Τσολάκ 0, Αμπλιάζιν 3, Αΐτ Σαΐντ 2, Πετρούνιας 4, Λιου 2. Ο Τσολάκ έχει τα λιγότερα, ο Πετρούνιας τα περισσότερα.

Βήμα 3 — Εκατοστά, όπου τα δέκατα είναι ίδια. Ο Αΐτ Σαΐντ και ο Λιου έχουν και οι δύο 2 δέκατα. Συγκρίνουμε εκατοστά: 5 και 6. Άρα $15,258 < 15,266$ .

Η διάταξη από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο:

14,933 < 15,066 < 15,258 < 15,266 < 15,333 < 15,433

Παγκόσμιος πρωταθλητής ήταν ο Πετρούνιας, με 15,433.

Ποιος έχει βαθμολογία κοντά στο $15\frac{1}{2}$ ; Το $15\frac{1}{2}$ είναι 15,5. Πιο κοντά του βρίσκεται το 15,433 του Πετρούνια.

7. Δεκαδικοί στην αριθμογραμμή 📍

Πάνω στην αριθμογραμμή, ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς ακεραίους χωράνε άπειροι δεκαδικοί.

Αν χωρίσουμε το διάστημα από το 0 ως το 1 σε 10 ίσα μέρη, κάθε σημάδι είναι ένα δέκατο: 0,1 - 0,2 - 0,3 και ούτω καθεξής.
Αν το χωρίσουμε σε 100 ίσα μέρη, κάθε σημάδι είναι ένα εκατοστό: 0,01 - 0,02 - 0,03 και ούτω καθεξής.

Το ένα εκατοστό (0,01) βρίσκεται πολύ πιο κοντά στο μηδέν από το ένα δέκατο (0,1), και το ένα χιλιοστό (0,001) ακόμα πιο κοντά.

Ανάμεσα σε δύο δεκαδικούς κρύβονται άπειροι άλλοι

Ποιος αριθμός βρίσκεται ανάμεσα στο 3,74 και το 3,75; Με μια πρώτη ματιά μοιάζουν «γειτονικοί». Και όμως, ανάμεσά τους χωράνε το 3,741, το 3,742, το 3,7415 και άπειροι ακόμα. Όσο κοντά κι αν είναι δύο διαφορετικοί δεκαδικοί, πάντα υπάρχει άλλος ανάμεσά τους. Αρκεί να προσθέσουμε άλλο ένα δεκαδικό ψηφίο.

8. Πολλαπλασιάζω και διαιρώ με το 10 ✖️

Επειδή κάθε θέση αξίζει δέκα φορές περισσότερο από τη διπλανή της προς τα δεξιά, ισχύει ένας πολύ βολικός κανόνας:

Πράξη	Τι κάνει η υποδιαστολή	Παράδειγμα
$\times 10$	Μετακινείται 1 θέση δεξιά	$3,25\times 10=32,5$
$\times 100$	Μετακινείται 2 θέσεις δεξιά	$3,25\times 100=325$
$:10$	Μετακινείται 1 θέση αριστερά	$3,25:10=0,325$
$:100$	Μετακινείται 2 θέσεις αριστερά	$3,25:100=0,0325$

Έτσι, ο αριθμός 0,07 είναι 100 φορές μικρότερος από το 7, και το 4,5 είναι 10 φορές μεγαλύτερο από το 0,45.