4ο επαναληπτικό: Δεδομένα και Πιθανότητες 🔁

Σε αυτή την ενότητα μάθαμε να δουλεύουμε με δεδομένα και με την τύχη. Ας τα βάλουμε όλα σε τάξη, ώστε να τα έχουμε μαζεμένα.

Συγκεκριμένα, έμαθα:

• να διατυπώνω ερωτήματα που μπορούν να απαντηθούν με δεδομένα,
• να συλλέγω δεδομένα μέσω ερευνών, μετρήσεων ή πειραμάτων,
• να οργανώνω τα δεδομένα σε πίνακες συχνοτήτων,
• να αναπαριστάνω τα δεδομένα σε διαγράμματα,
• να εξηγώ ένα διάγραμμα και να επιχειρηματολογώ με βάση τα δεδομένα,
• να βρίσκω τη μέση τιμή, την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο,
• να διατυπώνω προβλέψεις και να καταγράφω τη συχνότητα εμφάνισης σε πειράματα τύχης,
• να υπολογίζω την πιθανότητα ενός αποτελέσματος με κλάσμα.

1. Συλλογή και οργάνωση δεδομένων 📋

Τα δεδομένα τα μαζεύουμε με έρευνα, μέτρηση, πείραμα ή παρατήρηση. Έπειτα τα οργανώνουμε σε πίνακα συχνοτήτων, όπου η συχνότητα δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τιμή.

Λυμένο παράδειγμα: το αγαπημένο άθλημα

Τα παιδιά της Ε' και της ΣΤ' τάξης απάντησαν ποιο άθλημα τους αρέσει πιο πολύ. Κάθε παιδί διάλεξε ένα μόνο άθλημα. Οι 30 απαντήσεις, με τη σειρά που δόθηκαν, ήταν:

Π, Π, Π, Σ, Μ, Μ, Β, Μ, Σ, Π, Β, Σ, Σ, Μ, Κ, Κ, Σ, ΠΠ, Μ, Β, Π, Κ, Σ, Β, Β, Σ, Β, Μ, Π, Π

Οι συντομογραφίες σημαίνουν: Ποδόσφαιρο Π, Μπάσκετ Μ, Βόλεϊ Β, Κολύμβηση Κ, Πινγκ Πονγκ ΠΠ, Στίβος Σ.

Βήμα 1 — Καταμετρούμε κάθε άθλημα με γραμμούλες.

Βήμα 2 — Γράφουμε τις συχνότητες:

Βήμα 3 — Ελέγχουμε: $7+6+6+3+1+7=30$, όσα και τα παιδιά. Ο πίνακας είναι σωστός.

2. Τα διαγράμματα 📊

Κάθε διάγραμμα χρειάζεται τίτλο και άξονες χωρισμένους σε ίσα διαστήματα.

Λυμένο παράδειγμα: ερμηνεία διπλού ραβδογράμματος

Οι μέσες μηνιαίες θερμοκρασίες δύο πόλεων:

Διαβάζοντας τον πίνακα βρίσκουμε:

• Την υψηλότερη θερμοκρασία και οι δύο πόλεις την έχουν τον Ιούλιο, 28 °C.
• Οι μεγαλύτερες διαφορές ανάμεσα στις πόλεις είναι τον Ιανουάριο και τον Νοέμβριο, 6 °C και στις δύο περιπτώσεις.
• Στη Θεσσαλονίκη η διαφορά υψηλότερης-χαμηλότερης είναι $28-7=21$ °C, ενώ στο Ηράκλειο $28-13=15$ °C. Το Ηράκλειο έχει πιο ήπιο κλίμα.

3. Οι τρεις χαρακτηριστικές τιμές 🎯

Ο κανόνας της διαμέσου:

• Αν το πλήθος είναι μονό → διάμεσος είναι η μεσαία τιμή.
• Αν το πλήθος είναι ζυγό → παίρνουμε τις δύο μεσαίες και βρίσκουμε τη μέση τιμή τους.

Λυμένο παράδειγμα: τα μπουκάλια που ανακυκλώθηκαν

Ένα σχολείο ανακύκλωσε ανά μήνα: 350, 460, 700, 500, 700, 350 μπουκάλια.

Μέση τιμή:

Επικρατούσα τιμή: το 350 εμφανίζεται 2 φορές και το 700 επίσης 2 φορές. Έχουμε δύο επικρατούσες τιμές: 350 και 700.

Διάμεσος: ταξινομούμε: 350, 350, 460, 500, 700, 700. Το πλήθος είναι 6, ζυγό, άρα παίρνουμε τις δύο μεσαίες:

4. Πιθανότητες 🎲

Ένα πείραμα τύχης έχει αποτέλεσμα που δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα.

Η πιθανότητα βρίσκεται πάντα ανάμεσα στο 0 (αδύνατο) και το 1 (βέβαιο), με το $\frac{1}{2}$ στη μέση να σημαίνει «το ίδιο πιθανό να συμβεί όσο και να μη συμβεί».

Λυμένο παράδειγμα: ο τροχός με τα χρώματα

Ένας τροχός είναι χωρισμένος σε 8 ίσα μέρη: 4 μοβ, 3 κίτρινα, 1 κόκκινο.

5. Από την πιθανότητα στην πρόβλεψη 🔮

Λυμένο παράδειγμα: οι μπάλες στο κουτί

Σε ένα μαύρο κουτί έχουμε 1 κόκκινη, 1 πράσινη και 1 άσπρη μπάλα. Τραβάμε μία, σημειώνουμε το χρώμα και την ξαναβάζουμε μέσα. Επαναλαμβάνουμε 30 φορές.

Η πιθανότητα για άσπρη είναι $\frac{1}{3}$, άρα περιμένουμε:

Ας πούμε ότι το πείραμα έδωσε στην πραγματικότητα:

Τα αποτελέσματα δεν είναι ακριβώς 10-10-10, αλλά είναι πολύ κοντά. Αυτό περιμέναμε.

Το αντίστροφο: από τα αποτελέσματα στον τροχό

Επαναλάβαμε ένα πείραμα με τροχό 30 φορές και βρήκαμε 19 φορές μπλε και 11 φορές κόκκινο. Πώς μπορεί να ήταν χωρισμένος ο τροχός;

Το $\frac{19}{30}$ είναι κοντά στα $\frac{2}{3}$ και το $\frac{11}{30}$ κοντά στο $\frac{1}{3}$. Άρα ο τροχός θα μπορούσε να είχε 3 ίσα μέρη: 2 μπλε και 1 κόκκινο.

6. Γρήγορος πίνακας επανάληψης 📌