Πιθανότητες 🎲

Άλλα πράγματα τα ξέρουμε σίγουρα: αν αφήσουμε ένα μολύβι, θα πέσει κάτω. Άλλα όμως δεν μπορούμε να τα προβλέψουμε: αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποιος αριθμός θα έρθει; Σε αυτά τα δεύτερα μπαίνουν οι πιθανότητες.

1. Το πείραμα τύχης 🎰

Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα ονομάζεται πείραμα τύχης.

Παραδείγματα πειραμάτων τύχης:

• Ρίχνουμε ένα ζάρι.
• Στρίβουμε ένα νόμισμα.
• Περιστρέφουμε έναν τροχό με χρωματιστά μέρη.
• Τραβάμε στα τυφλά μια μπάλα από μια τσάντα.

Αν ρίξουμε ένα ζάρι 1.000 φορές, δεν μπορούμε να προβλέψουμε πόσες ακριβώς φορές θα εμφανιστεί κάθε αριθμός. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε πόσο πιθανό είναι το καθένα.

2. Η πιθανότητα ως κλάσμα 🧮

Σε ένα πείραμα τύχης, το πόσο πιθανό είναι να έρθει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα λέγεται πιθανότητα και υπολογίζεται με ένα κλάσμα:

• Αριθμητής: πόσα αποτελέσματα μας κάνουν, δηλαδή πόσα είναι αυτά που ρωτάμε.
• Παρονομαστής: πόσα αποτελέσματα υπάρχουν συνολικά.

Λυμένο παράδειγμα 1: το ζάρι

Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε 3 με ένα ζάρι;

Βήμα 1 — Όλα τα δυνατά αποτελέσματα: το ζάρι έχει τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Άρα είναι 6.

Βήμα 2 — Τα ευνοϊκά αποτελέσματα: το 3 υπάρχει μία μόνο φορά στο ζάρι. Άρα είναι 1.

Βήμα 3 — Το κλάσμα:

Λυμένο παράδειγμα 2: πολλαπλάσιο του 2 με ζάρι

Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε πολλαπλάσιο του 2;

Τα πολλαπλάσια του 2 στο ζάρι είναι το 2, το 4 και το 6, δηλαδή 3 αποτελέσματα. Τα δυνατά είναι 6.

Έχουμε μισές-μισές πιθανότητες.

3. Η κλίμακα των πιθανοτήτων 📏

Κάθε πιθανότητα είναι ένας αριθμός από το 0 μέχρι το 1. Τη φανταζόμαστε πάνω σε μια κλίμακα:

4. Λυμένη εφαρμογή: οι μπάλες στην τσάντα 🎒

Μέσα σε μια τσάντα υπάρχουν ανακατεμένες ίδιες μπάλες: 5 κόκκινες, 2 κίτρινες και 3 μπλε. Τραβάμε μία στα τυφλά.

Πρώτα βρίσκουμε τον παρονομαστή, που είναι ο ίδιος σε όλες τις ερωτήσεις: όλες οι μπάλες είναι $5+2+3=10$.

α. Κίτρινη μπάλα

β. Κόκκινη μπάλα

Μισές-μισές πιθανότητες: το ίδιο πιθανό να τραβήξουμε κόκκινη όσο και να μην τραβήξουμε.

γ. Πράσινη μπάλα

Η πιθανότητα είναι 0, δηλαδή αδύνατο να συμβεί, γιατί δεν υπάρχει καμία πράσινη μπάλα στην τσάντα.

δ. Κόκκινη ή κίτρινη ή μπλε μπάλα

Η πιθανότητα είναι 1, δηλαδή βέβαιο ότι θα συμβεί, γιατί οι μπάλες στην τσάντα είναι μόνο αυτών των τριών χρωμάτων.

5. Δίκαιο και άδικο παιχνίδι ⚖️

Ένα παιχνίδι είναι δίκαιο όταν όλοι οι παίκτες έχουν την ίδια πιθανότητα να κερδίσουν.

Λυμένο παράδειγμα

Ένας τροχός έχει 9 ίσα μέρη με τους αριθμούς 1 έως 9. Ο Νίκος κερδίζει αν έρθει μονός αριθμός, η Μαρία αν έρθει ζυγός.

• Μονοί: 1, 3, 5, 7, 9 → 5 αποτελέσματα → πιθανότητα $\frac{5}{9}$
• Ζυγοί: 2, 4, 6, 8 → 4 αποτελέσματα → πιθανότητα $\frac{4}{9}$

Επειδή $\frac{5}{9}>\frac{4}{9}$, το παιχνίδι δεν είναι δίκαιο: ο Νίκος έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει.

6. Πρόβλεψη και πραγματικότητα 🔮

Αν ξέρουμε την πιθανότητα, μπορούμε να εκτιμήσουμε πόσες φορές περιμένουμε να συμβεί κάτι.

Λυμένο παράδειγμα

Ένας τροχός έχει 4 ίσα μέρη: 1 κόκκινο, 1 κίτρινο, 1 μπλε, 1 πράσινο. Πόσες φορές περιμένουμε κόκκινο σε 8 περιστροφές;

Η πιθανότητα για κόκκινο είναι $\frac{1}{4}$. Σε 8 περιστροφές περιμένουμε:

Σε ένα ζάρι που ρίχνουμε 10.000 φορές, περιμένουμε ο κάθε αριθμός να έρθει περίπου $10.000:6\approx 1.667$ φορές. Δεν θα έρθουν ακριβώς τόσες, αλλά κάπου εκεί γύρω.

7. Καταγράφω τα αποτελέσματα ενός πειράματος 📋

Όταν κάνουμε πραγματικά ένα πείραμα τύχης, καταγράφουμε τα αποτελέσματα σε πίνακα συχνοτήτων και τα συγκρίνουμε με την πρόβλεψή μας.

Παράδειγμα: περιστρέψαμε 20 φορές έναν τροχό με 4 ίσα χρωματιστά μέρη.

Τα πραγματικά αποτελέσματα δεν είναι ίδια με τα αναμενόμενα, αλλά είναι κοντά τους. Αυτό είναι απόλυτα φυσιολογικό σε ένα πείραμα τύχης.