Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων – Μέση τιμή 🎯
Όταν έχουμε πολλά δεδομένα, δύσκολα τα κρατάμε όλα στο μυαλό μας. Θέλουμε έναν αριθμό που να τα αντιπροσωπεύει, να μας λέει «περίπου εδώ βρίσκονται τα δεδομένα μου». Αυτούς τους αριθμούς τους λέμε χαρακτηριστικές τιμές.
Θα γνωρίσουμε τρεις: τη μέση τιμή, την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο.
1. Η μέση τιμή (μέσος όρος) ➗
Η μέση τιμή ή μέσος όρος είναι το «δίκαιο μοίρασμα» των δεδομένων. Είναι ο αριθμός που θα είχε κάθε δεδομένο, αν όλα μοιράζονταν εξίσου.
Δηλαδή: προσθέτουμε όλα τα δεδομένα και διαιρούμε με το πόσα είναι.
Λυμένο παράδειγμα 1: οι πόντοι του Τζέιμς
Ο Τζέιμς σημείωσε στους δέκα πρώτους αγώνες της ομάδας του τους εξής πόντους:
| Αγώνας | 1ος | 2ος | 3ος | 4ος | 5ος | 6ος | 7ος | 8ος | 9ος | 10ος |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Πόντοι | 13 | 25 | 23 | 17 | 26 | 25 | 11 | 15 | 30 | 25 |
Βήμα 1 — Άθροισμα των δεδομένων:
Βήμα 2 — Πλήθος των δεδομένων: οι αγώνες είναι 10.
Βήμα 3 — Διαίρεση:
Ο Τζέιμς έχει μέσο όρο 21 πόντους ανά αγώνα. Αν οι 210 πόντοι μοιράζονταν εξίσου στους 10 αγώνες, θα σημείωνε 21 σε κάθε έναν.
Λυμένο παράδειγμα 2: το ύψος των παικτών
Πέντε παίκτες έχουν ύψη 189, 203, 196, 202 και 198 εκατοστά.
Παρατήρησε ότι το 197,6 δεν είναι το ύψος κανενός παίκτη. Η μέση τιμή είναι υπολογισμός, όχι απαραίτητα μία από τις τιμές μας.
Δεν είναι λάθος αν η μέση τιμή βγει δεκαδικός αριθμός ή αριθμός που δεν υπάρχει στα δεδομένα μας. Είναι το αποτέλεσμα ενός δίκαιου μοιράσματος. Ο μέσος όρος 2,3 παιδιά ανά οικογένεια δεν σημαίνει ότι κάποια οικογένεια έχει τρία τέταρτα ενός παιδιού!
Πώς επηρεάζεται η μέση τιμή από μια ακραία τιμή
Έξι παιδιά έχουν ύψη 151, 150, 146, 178, 145 και 143 εκατοστά.
Με όλες τις τιμές:
Χωρίς την τιμή 178, που ξεφεύγει πολύ από τις υπόλοιπες:
Μία και μόνο πολύ μεγάλη τιμή ανέβασε τη μέση τιμή κατά 5 ολόκληρα εκατοστά. Γι' αυτό οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν και άλλες χαρακτηριστικές τιμές.
2. Η επικρατούσα τιμή 👑
Η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές. Τη βρίσκουμε αμέσως από τον πίνακα συχνοτήτων: είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα.
Λυμένο παράδειγμα
Φτιάχνουμε τον πίνακα συχνοτήτων για τους πόντους του Τζέιμς:
| Πόντοι | 11 | 13 | 15 | 17 | 23 | 25 | 26 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Συχνότητα | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 1 | 1 |
Η τιμή 25 εμφανίζεται 3 φορές, όλες οι άλλες από 1. Άρα η επικρατούσα τιμή είναι 25 πόντοι.
Αν δύο διαφορετικές τιμές έχουν την ίδια μεγαλύτερη συχνότητα, τότε έχουμε δύο επικρατούσες τιμές. Αν πάλι κάθε τιμή εμφανίζεται μόνο μία φορά, τότε δεν υπάρχει επικρατούσα τιμή.
3. Η διάμεσος 🔷
Η διάμεσος είναι η τιμή που βρίσκεται στη μέση, όταν βάλουμε τα δεδομένα στη σειρά, από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Χωρίζει τα δεδομένα σε δύο ίσα μέρη: από τη μία οι μικρότερες τιμές, από την άλλη οι μεγαλύτερες.
Πρώτο βήμα πάντα: βάζουμε τα δεδομένα στη σειρά!
Μετά, ο κανόνας αλλάζει ανάλογα με το πλήθος:
| Πλήθος δεδομένων | Τι κάνουμε |
|---|---|
| Μονό (π.χ. 5, 7, 9) | Διάμεσος είναι η μεσαία τιμή |
| Ζυγό (π.χ. 4, 6, 10) | Παίρνουμε τις δύο μεσαίες τιμές και βρίσκουμε τη μέση τιμή τους |
Λυμένο παράδειγμα με μονό πλήθος
Πέντε παιδιά έχουν ύψη: 143, 151, 145, 150, 146 εκατοστά.
Βήμα 1 — Στη σειρά: 143, 145, 146, 150, 151
Βήμα 2 — Πλήθος 5, μονό. Η μεσαία τιμή είναι η 3η: δύο τιμές πριν από αυτήν, δύο μετά.
Διάμεσος = 146 εκατοστά.
Λυμένο παράδειγμα με ζυγό πλήθος
Οι πόντοι του Τζέιμς: 13, 25, 23, 17, 26, 25, 11, 15, 30, 25.
Βήμα 1 — Στη σειρά: 11, 13, 15, 17, 23, 25, 25, 25, 26, 30
Βήμα 2 — Πλήθος 10, ζυγό. Δεν υπάρχει μία μεσαία τιμή. Οι δύο μεσαίες είναι η 5η και η 6η, δηλαδή το 23 και το 25.
Βήμα 3 — Βρίσκουμε τη μέση τιμή τους:
Διάμεσος = 24 πόντοι.
Το πιο συχνό λάθος είναι να πάρουμε τη μεσαία τιμή όπως είναι γραμμένη στον πίνακα. Στους πόντους του Τζέιμς, η 5η τιμή του πίνακα είναι το 26, αλλά η διάμεσος είναι 24. Η ταξινόμηση δεν είναι προαιρετική.
4. Οι τρεις τιμές μαζί 🧮
Για τα δεδομένα του Τζέιμς βρήκαμε:
| Χαρακτηριστική τιμή | Πώς τη βρίσκουμε | Αποτέλεσμα |
|---|---|---|
| Μέση τιμή | Άθροισμα ÷ πλήθος | 21 πόντοι |
| Επικρατούσα τιμή | Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα | 25 πόντοι |
| Διάμεσος | Η μεσαία τιμή, με τα δεδομένα στη σειρά | 24 πόντοι |
Οι τρεις τιμές είναι διαφορετικές, και η καθεμία μάς λέει κάτι άλλο. Ο μέσος όρος δείχνει το δίκαιο μοίρασμα, η επικρατούσα δείχνει τι συμβαίνει πιο συχνά, και η διάμεσος δείχνει το κέντρο της διάταξης — και δεν την ταράζουν οι ακραίες τιμές.
Όταν διαβάζουμε για μισθούς σε μια χώρα, συχνά αναφέρεται ο διάμεσος μισθός και όχι ο μέσος όρος. Ο λόγος: λίγοι πάρα πολύ υψηλοί μισθοί ανεβάζουν πολύ τον μέσο όρο και δίνουν λάθος εικόνα. Η διάμεσος μένει σταθερή, γιατί κοιτάζει ποιος βρίσκεται στη μέση, όχι πόσα έχει ο πρώτος.
5. Τι μπορούμε να προβλέψουμε 🔮
Οι χαρακτηριστικές τιμές μάς βοηθούν να κάνουμε προβλέψεις. Αν ο Τζέιμς έχει μέσο όρο 21 πόντους, περιμένουμε ότι στους επόμενους αγώνες θα κινείται γύρω σε αυτόν τον αριθμό.
Οι προβλέψεις όμως δεν είναι βεβαιότητες. Ένας τραυματισμός, μια αλλαγή προπονητή ή ένας δυνατός αντίπαλος μπορούν να τις ανατρέψουν.
Το ίδιο ισχύει και για τον καιρό: αν ξέρουμε τη μέση θερμοκρασία μιας εβδομάδας, μπορούμε να κάνουμε μια λογική εκτίμηση για την επόμενη, όχι όμως ακριβή πρόβλεψη.