Διαίρεση κλασμάτων ➗

Έχεις ένα χαρτόνι και θέλεις να φτιάξεις προσκλήσεις. Για κάθε πρόσκληση χρησιμοποιείς το $\frac{1}{6}$ του χαρτονιού. Αν έχεις στη διάθεσή σου τα $\frac{2}{3}$ του χαρτονιού, πόσες προσκλήσεις θα βγάλεις;

Η ερώτηση που κάνεις στην ουσία είναι: πόσες φορές χωράει το $\frac{1}{6}$ μέσα στα $\frac{2}{3}$; Αυτό ακριβώς είναι η διαίρεση.

Τι σημαίνει διαίρεση με κλάσματα 🤔

Στη διαίρεση $12:4$ ρωτάμε «πόσες φορές χωράει το 4 μέσα στο 12;». Η απάντηση είναι 3.

Ακριβώς το ίδιο κάνουμε και με τα κλάσματα. Στο $\frac{2}{3}:\frac{1}{6}$ ρωτάμε «πόσες φορές χωράει το $\frac{1}{6}$ μέσα στα $\frac{2}{3}$;».

Αν σκεφτείς ότι τα $\frac{2}{3}$ είναι το ίδιο με τα $\frac{4}{6}$, η απάντηση γίνεται φανερή: μέσα σε 4 έκτα χωράνε 4 φορές το ένα έκτο. Άρα βγάζεις 4 προσκλήσεις.

Διαίρεση ομώνυμων κλασμάτων ✅

Όταν τα κλάσματα έχουν ίδιο παρονομαστή, τα κομμάτια είναι ίδιου μεγέθους και η δουλειά γίνεται απλή.

Για να διαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, διαιρούμε τους αριθμητές τους.

Δες πόσο λογικό είναι: «πόσες φορές χωράνε 3 όγδοα μέσα σε 6 όγδοα;». Δύο φορές. Ο παρονομαστής εξαφανίζεται, γιατί μετράμε κομμάτια του ίδιου μεγέθους.

Διαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων 🔄

Αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, τα κομμάτια δεν έχουν το ίδιο μέγεθος και δεν μπορούμε να τα συγκρίνουμε απευθείας.

Τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και έπειτα διαιρούμε τους αριθμητές τους.

Λυμένο παράδειγμα

Να υπολογίσουμε το $\frac{2}{3}:\frac{6}{5}$.

Κοινός παρονομαστής των 3 και 5 είναι το 15:

Τώρα διαιρούμε τους αριθμητές:

Και το πρόβλημα με τις προσκλήσεις

Τέσσερις προσκλήσεις, όπως το είχαμε βρει και με το μυαλό.

Όταν οι αριθμοί έχουν διαφορετική μορφή 🧩

Μερικές φορές σε μια διαίρεση συναντάμε δεκαδικούς, μεικτούς και κλάσματα μαζί. Τότε τους μετατρέπουμε όλους στην ίδια μορφή — συνήθως σε κλάσματα.

Τα βήματα ήταν: ο δεκαδικός $2{,}5$ έγινε $\frac{25}{10}$, ο μεικτός $3\frac{1}{2}$ έγινε $\frac{7}{2}$, μετά τα κάναμε ομώνυμα με παρονομαστή 10 και τέλος διαιρέσαμε τους αριθμητές.

Ο δεύτερος τρόπος: πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο 🔁

Υπάρχει και ένας πιο γρήγορος τρόπος, που πολλοί τον προτιμούν.

Για να διαιρέσουμε με ένα κλάσμα, αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος και, αντί για διαίρεση, κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Δηλαδή: αναποδογυρίζω το δεύτερο κλάσμα και αλλάζω το «:» σε «×».

Γιατί δουλεύει αυτός ο κανόνας;

Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις. Ας το δούμε με ένα απλό παράδειγμα.

Μοιράζω 6 μπαλόνια σε 3 παιδιά.

• Με διαίρεση: $6:3=2$ μπαλόνια το καθένα.
• Με πολλαπλασιασμό: αφού τα παιδιά είναι 3, το καθένα θα πάρει το $\frac{1}{3}$ των μπαλονιών, δηλαδή $6\times\frac{1}{3}=\frac{6}{3}=2$ μπαλόνια.

Επομένως:

Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα. Η διαίρεση με το 3 είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό με το $\frac{1}{3}$, δηλαδή με τον αντίστροφο του 3. Ο ίδιος κανόνας ισχύει και όταν ο διαιρέτης είναι κλάσμα.

Οι τρεις τρόποι σε ένα πρόβλημα 🍰

Στη γιορτή της Δανάης οι καλεσμένοι μοιράστηκαν εξίσου τα $\frac{3}{4}$ ενός ταψιού με μουσακά. Κάθε κομμάτι ήταν το $\frac{1}{16}$ του ταψιού. Πόσοι ήταν οι καλεσμένοι;

Ρωτάμε: πόσες φορές χωράει το $\frac{1}{16}$ μέσα στα $\frac{3}{4}$; Δηλαδή $\frac{3}{4}:\frac{1}{16}$.

α΄ τρόπος — με σκέψη σε ίσα μέρη. Χωρίζουμε το ταψί σε 16 ίσα κομμάτια. Τα $\frac{3}{4}$ του ταψιού είναι $\frac{12}{16}$, δηλαδή 12 κομμάτια. Άρα οι καλεσμένοι είναι 12.

β΄ τρόπος — ομώνυμα κλάσματα.

γ΄ τρόπος — αντιστροφή του διαιρέτη.

Και οι τρεις δρόμοι φτάνουν στους 12 καλεσμένους. Διάλεξε αυτόν που καταλαβαίνεις καλύτερα.

Ακόμα μια έκπληξη 😲

Στους φυσικούς αριθμούς η διαίρεση μικραίνει: $12:4=3$, μικρότερο από το 12.

Στα κλάσματα, όταν διαιρούμε με έναν αριθμό μικρότερο του 1, το αποτέλεσμα βγαίνει μεγαλύτερο από τον διαιρετέο!

Είναι λογικό: όταν τα κομμάτια είναι πολύ μικρά, χωράνε πολλά. Ρωτάμε «πόσες φορές χωράει», και τα μικρά κομμάτια χωράνε πολλές φορές.

Σύνοψη 📋