Πολλαπλασιασμός κλασμάτων και αντίστροφοι αριθμοί ✖️

Κάθε ξύλινο ράφι της βιβλιοθήκης έχει μήκος $\frac{2}{3}$ του μέτρου. Πόσο ξύλο χρειάζεσαι για 3 ράφια;

Θα μπορούσες να προσθέσεις: $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$. Αλλά υπάρχει πιο γρήγορος τρόπος — ο πολλαπλασιασμός. Ας δούμε πώς δουλεύει.

Φυσικός αριθμός επί κλάσμα 🔢

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια σύντομη πρόσθεση. Ο φυσικός αριθμός μάς δείχνει πόσες φορές προσθέτουμε το κλάσμα με τον εαυτό του.

Άρα ο κανόνας είναι απλός:

Το γινόμενο φυσικού αριθμού με κλάσμα είναι ένα κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο του αριθμητή με τον φυσικό αριθμό, και παρονομαστή τον ίδιο παρονομαστή.

Πολλαπλασιάζω μόνο τον πάνω αριθμό. Ο κάτω μένει ίδιος.

Άρα για τα 3 ράφια χρειαζόμαστε 2 μέτρα ξύλο.

Και αν αλλάξουμε τη σειρά; Δεν πειράζει καθόλου:

Κλάσμα επί κλάσμα 🍫

Τι σημαίνει «το $\frac{1}{3}$ από το $\frac{1}{2}$ μιας σοκολάτας»;

Πάρε μια σοκολάτα. Έχεις μισή. Από αυτή τη μισή, θέλεις το ένα τρίτο. Χωρίζεις τη μισή σε 3 ίσα κομμάτια και παίρνεις το ένα. Αν χωρίσεις το ίδιο και την άλλη μισή, βλέπεις ότι όλη η σοκολάτα έχει γίνει 6 κομμάτια — και εσύ κρατάς το ένα. Άρα το $\frac{1}{3}$ του $\frac{1}{2}$ είναι το $\frac{1}{6}$.

Με πολλαπλασιασμό βγαίνει αμέσως:

Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

Δηλαδή πολλαπλασιάζω «πάνω με πάνω» και «κάτω με κάτω».

Η μαγική λέξη: «του» 🔑

Όταν ζητάμε ένα μέρος ενός αριθμού — φυσικού ή κλασματικού — κάνουμε πολλαπλασιασμό.

Η λέξη «του», «της», «από το» μεταφράζεται σε πολλαπλασιασμό.

Λυμένο πρόβλημα

Τα $\frac{2}{3}$ ενός οικοπέδου είναι κήπος. Στο $\frac{1}{5}$ του κήπου φυτέψαμε λουλούδια. Τι μέρος του οικοπέδου καλύπτεται από λουλούδια;

Ζητάμε το $\frac{1}{5}$ του $\frac{2}{3}$, άρα πολλαπλασιάζουμε:

Τα λουλούδια καλύπτουν τα $\frac{2}{15}$ του οικοπέδου.

Πολλαπλασιασμός με μεικτούς αριθμούς 🧮

Να βρούμε το $2\times1\frac{1}{4}$. Πάλι δύο τρόποι.

α΄ τρόπος — σπάω τον μεικτό:

β΄ τρόπος — μετατροπή σε κλάσμα:

Ο δεύτερος τρόπος είναι συνήθως πιο ασφαλής, γιατί δουλεύουμε με έναν μόνο κανόνα.

Μια περίεργη έκπληξη 😲

Στους φυσικούς αριθμούς μάθαμε ότι ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει τα πράγματα: $3\times4=12$, μεγαλύτερο και από το 3 και από το 4.

Στα κλάσματα δεν είναι πάντα έτσι!

Το $\frac{5}{12}$ είναι μικρότερο και από το $\frac{5}{6}$ και από το $\frac{1}{2}$.

Και για να απαντήσουμε στην κλασική ερώτηση: τι είναι μεγαλύτερο, τα $\frac{3}{4}$ της μισής πίτσας ή το $\frac{1}{2}$ των $\frac{3}{4}$ της ίδιας πίτσας;

Είναι ακριβώς το ίδιο! Στον πολλαπλασιασμό η σειρά δεν μετράει.

Αντίστροφοι αριθμοί 🔁

Αντίστροφοι λέγονται δύο αριθμοί που το γινόμενό τους είναι 1.

Πώς βρίσκουμε τον αντίστροφο ενός κλάσματος; Το αναποδογυρίζουμε: ο αριθμητής γίνεται παρονομαστής και ο παρονομαστής γίνεται αριθμητής.

Άρα το $\frac{7}{5}$ και το $\frac{5}{7}$ είναι αντίστροφοι.

Και ο αντίστροφος ενός φυσικού αριθμού;

Κάθε φυσικός αριθμός γράφεται ως κλάσμα με παρονομαστή το 1. Το 5 είναι $\frac{5}{1}$. Αναποδογυρίζοντας παίρνουμε $\frac{1}{5}$:

Οι αντίστροφοι θα σου φανούν πολύ χρήσιμοι στη διαίρεση κλασμάτων. Κράτησέ τους καλά.

Σύνοψη 📋